Если взять октаву (например, на монохорде или в трубе) от 1. до 2., то целых чисел между этими границами нет и делить ее неудобно. Если взять следующую октаву, от 2. до 4., то между границами окажется число 3., которое и создаст условие для деления: октава будет разделена на два интервала: от 2. до 3. (квинта, 3/2) и от 3. до 4. (кварта, 4/3).

По внешности октава разделена вроде бы «пополам», ведь число 3. находится ровно посередине октавы, между 2. и 4., но фактически вовсе не на две равные части. Квинта «стоит» 702 цента, а кварта – 498 центов (при округлениях этих значений). С такою же двусмысленностью мы будем встречаться и далее.

Продолжим наши упражнения с числами, построим октаву 3.–6. В этой октаве между ее границами два числа: 4. и 5.; интервал от 4. до 6. равен квинте. Разделив эту квинту по числу 5., получаем две натуральные терции, большую – от 4. до 5. (5/4) и малую – от 5. до 6. (6/5). Большая натуральная терция «стоит» 386 центов, а малая – 316 центов.

Отметим, что ряд 1., 2., 3., 4., 5., 6. состоит из пяти равных по длине промежутков, а это означает, что, просверлив в трубке отверстия на равных расстояниях, мы получим некий натуральный строй.

Именно так, но часто с устранением одного или двух начальных интервалов, и были устроены простейшие флейты. Начиная с расстояния в три (иногда в две) единицы от источника звука, в флейте просверливались четыре (иногда пять) отверстий, отделенных друг от друга равными расстояниями длиной в такую же единицу. Эти расстояния давали натуральную кварту, большую терцию и малую терцию. Последние два интервала вместе составляли квинту, и к ним иногда добавлялась еще октава вверх от тона 4., верхняя граница которой, число 2., было на том же расстоянии от тона 3., что и все другие расстояния в этом строе.

Числом 6. оканчивается непрерывный строй, где числа идут подряд. В дальнейших построениях придется пропускать некоторые числа, а именно те из них, которые не способны образовать трезвучия 3:4:5 и производных от него трезвучий и интервалов.

Рассмотрим теперь октаву 5.–10., то есть ряд 5., 6., 8., 9., 10., в котором число 7. пропущено по указанным выше причинам. Числа 8. и 10. составляют отношение 5/4, большую терцию. Ровно посередине между ними расположено число 9., которое делит эту большую терцию на два тона: 9/8 – большой и 10/9 – натуральный малый. Большой тон, естественно, тоже натуральный, но его можно назвать и «пифагорейским». Укажем здесь на несовершенство музыкальной терминологии: «тоном» называются сам звук и интервал между двумя звуками. Будем здесь пользоваться этим словом только во втором смысле, в значении интервала. Большой тон «стоит» 204 цента, малый – 182 цента. (Следует помнить, что эти значения округленные.) Здесь вновь, как в случае квинты и кварты, а также при отыскании двух терций, деление точно посередине привело к образованию двух неравных величин. Большой тон можно получить еще как разницу между квинтой и квартой.

Можно заметить, что до сих пор числа, составляющие отношения рассматриваемых интервалов, шли подряд: 1, 2, 3 и 4 – две октавы, квинта и кварта; далее 4, 5 и 6 – две терции; затем 8, 9 и 10 – два тона. Поэтому нужный интервал – октава, квинта и большая терция – делился ровно посередине. В дальнейшем подобной симметрии наблюдаться уже не будет.

Интервал 16/15 (112 центов) получается при сравнении величин кварты (4/3, 498 центов) и большой терции (5/4, 386 центов). Его называют натуральный «большой полутон». В октаве 8.–16. имеется кварта 12.–16. и большая терция 12.–15. Разница между ними составляет 16/15. Интервал, называемый натуральный «малый полутон» (25/24, 70 центов), получается как разница между большой и малой терциями (386 и 316 центов). Вместе оба эти небольших интервала – большой и малый полутоны – составляют малый тон (10/9, 182 цента), и это могло бы быть основанием для именования их «полутонами». Фактически они получаются по несколько иным правилам. А именно, взяв интервал, равный малому тону (10/9), постараемся найти его положение в ряду чисел таким образом, чтобы его оказалось возможным разделить на большой и малый полутоны.

Таков интервал 45.–50. или 45., 48., 50., который содержит число 48. Это число отстоит на три единицы от 45., давая 16/15, и на две единицы от 50., давая 25/24. Как видно, интервал 45.–50. разделяется на две неравные части, находящиеся в отношении 3:2, в отличие от прежних случаев, где такие части были равными. Поэтому данные малые интервалы (16/15 и 25/24) в собственном смысле «полутонами» не являются и могут сохранить свое название лишь как условность.

Отметим, что все рассмотренные выше интервалы получаются делением двух чисел, отличающихся на единицу. Имеется еще один такой интервал: 81/80 (22 цента), называемый «коммой». Эта комма представляет собой разницу между большим и малым тоном, 9/8 и 10/9.