В современных музыкальных инструментах с фиксированным строем используется только одно натуральное отношение – октава. Частоты или длины волн звуков, составляющих октаву, относятся как целые числа 1:2. Это можно продемонстрировать, если взять струну определенной длины и разделить ее пополам. Звук, издаваемый половиной струны, будет на октаву выше звука целой струны. Все прочие музыкальные отношения – квинты, терции, тона, полутона наших роялей и органов – не являются отношениями целых натуральных чисел. Каждая из восьми октав, обнимающих в своей совокупности диапазон частот, используемых в музыке, разделена на двенадцать логарифмически равных интервалов – полутонов. Это означает, что логарифмы длин во всем прочем одинаковых струн, издающих тона, соответствующие любым двум соседним ступеням внутри октавы, отличаются друг от друга на постоянную величину. Если взять струну длиной L, точки, соответствующие n-ой ступени вниз от основного тона, можно найти по формуле (1):
тогда
То есть двенадцатая ступень соответствует струне удвоенной длины, октаве вниз от основного тона. Все промежуточные ступени выражаются иррациональными, а не натуральными числами. Такой темперированный строй является сейчас общепринятым. Он считается удобным для исполнения произведений, созданных исходя из совершенно других принципов, а именно – из принципов натурального лада, где отношения ступеней выражаются натуральными числами. Другие способы темперации оказались по разным причинам неприемлемыми.
Однако существует скептический взгляд, обращенный к двум основным моментам – к музыкальной практике, использующей этот строй, и к культуре самого строя. Несмотря на формальное равноправие двенадцати ступеней, в практике композиции некоторые тона играют более важную роль, чем другие. Это выражается, в частности, в разделении клавиш одной октавы на группы белых и черных. Увидев в этом нелогичное ограничение свободы композитора традициями лада, Шенберг предложил уравнять в правах все двенадцать тонов октавы и подал тому пример собственным творчеством. Однако оставалось неясным, почему же сохраняется натуральное, «ладовое» по природе, отношение октавы 1:2, и почему каждая из восьми октав разделяется на двенадцать, а не на какое-нибудь иное количество ступеней. Ведь формулу (1) можно записать в более общем виде:
где А – любое действительное число
N – целое число
Современному интеллекту выбор N=12 представляется основанным на столь же неоправданно мистических или косно традиционных соображениях, как и разделение года на 12 месяцев, небесной сферы – на 12 секторов, соответствующих 12 знакам Зодиака, счета – дюжинами и т. п. Однако разумные основания для выбора каких-либо иных значений А и N, по-видимому, отсутствуют, и критика успокоилась на том, чтобы принять существующие значения А=2 и N=12 как основанную на привычном удобстве конвенцию. С другой стороны, додекафония Шенберга, хотя и получившая известное развитие в XX веке, не заменила традиционной музыки. Причина этому, на наш взгляд, – в нарушении додекафонистами некоторых онтологических принципов музыкального строя, не компенсируемых ни формальной логикой теоретиков, ни мастерством и талантом композиторов. Ибо логика додекафонистов основывалась на предположении о самоочевидной необходимости темперированного строя и не принимала во внимание того обстоятельства, что сама темперация была лишь вынужденным компромиссом между онтологической структурой музыкального строя и техническими средствами исполнения музыки.
Автор видит свою задачу в том, чтобы объяснить необходимость выбора числа N=12 для ступеней октавы, тем самым обнаружив следы онтологических принципов в темперированном строе, и предложить двенадцатитоновый натуральный строй.
Ради простоты и наглядности все рассуждения проводятся на следующей физической модели. На достаточно длинной натянутой струне фиксируются две точки. Расстояние между ними соответствует длине звуковой волны, производимой этим «единичным» отрезком струны. Удвоение длины отрезка соответствует получению тона октавой ниже, то есть вдвое меньшей частоты. Впредь мы не будем упоминать ни о длинах волн, ни о частотах, а только о натуральных числах, определяющих количество единичных отрезков струны в отрезках, соответствующих тому или иному тону. Если ниже мы будем говорить о тоне 3. или о тоне 720., это будет означать, что речь идет о собственном тоне струны, длиной в 3 или 720 раз большей «единичного» отрезка.
Простейшим натуральным отношением, очевидно, является 1:1 – повторение двух одинаковых тонов, называемое примой. Отношение 1:2, как уже говорилось, называется октавой. Отношение 2:3 – натуральной квинтой. Если взять октаву вниз от верхнего тона квинты, то между этим новым звуком и нижним звуком квинты получится отношение 3:4, называемое натуральной квартой. Операция получения кварты из квинты, а также обратная и другие аналогичные операции называются обращением. Так, октаву можно получить обращением примы. Несколько расширяя общепринятое значение термина, можно называть обращением любое умножение или деление какого-либо тона на 2k, где k – целое число.
Следующее отношение 4:5 называется натуральной большой терцией, а 5:6 – малой терцией. Обращением малой терции можно получить большую сексту 3:5. Ряд тонов 1., 2., 3., 4., 5., 6. обладает тем свойством, что все его члены связаны между собой отношениями октавы, квинты, малой и большой терции или обращенными отношениями.
Ниже мы будем пользоваться вводимым из формальных соображений понятием «идеальный тон», неизвестным музыкальной теории. Однако фактически, говоря о ступенях до, ре, ми, фа и т. д. любой октавы, применяют именно это понятие. Наш термин просто придает количественный смысл обычным обозначениям положения тона в октаве. Например, если имеется тон 24., то, обратив его три раза, приходим к идеальному тону 3., которому могут соответствовать реальные тона 3., 6., 12., 24., 48. и т. д. Ряд 5., 10., 20., 40. … имеет в своей основе идеальный тон 5.; ряд 1., 2., 4., 8., … – идеальный тон 1. Иными словами, идеальным тонам соответствуют нечетные числа, а реальный тон Lr в какой-либо октаве выражается через идеальный тон Li формулой:
Lr = Li 2k
где k = 1, 2, 3…
Простыми идеальными тонами мы будем называть простые нечетные числа, а прочие нечетные числа – производными идеальными тонами; отношения идеальных тонов – идеальными отношениями. Квинте и кварте, терции и сексте – вообще любой паре отношений, связанных операцией обращения, соответствует одно и то же идеальное отношение. В ряду 1., 2., 3., 4., 5., 6. наличествуют три идеальных тона 1., 3. и 5., или – что то же – три простых идеальных отношения: 1:3 – идеальная квинта, 1:5 – идеальная большая терция и 3:5 – идеальная малая терция, а также принцип «обращения», удвоения, т. е. октава 1:2. Реальная квинта, большая и малая терции составляют аккорд-трезвучие – 4:5:6. Обращенное трезвучие может выглядеть как 3:4:5, соответствующее простое идеальное трезвучие – 1:3:5. Никаких других отношений более мы не будем вводить в систему произвольно. Это означает, что новые идеальные тона обязательно будут состоять с одним из тонов 1., 3., 5. или с введенными ранее производными тонами в отношениях квинты, большой или малой терции.
Октава (1.–2.) не содержит целых ступеней, октава (2.–4.) содержит тон 3. и отношения кварты и квинты, октава (3.–6.) – тона 4., 5. и отношения квинты, кварты, двух терций и большой сексты. Этого, очевидно, недостаточно для музыки. Нужно ввести дополнительные ступени, однако не за счет новых простых идеальных тонов, например, 7., 11., 13. и т. д., чтобы не вводить неизвестных практике отношений и новых принципов. Можно вводить только производные идеальные тона по общей формуле:
Li = 3m ·5n
где m и n = 0, 1, 2…
Однако выбор m и n должен быть обоснован. Обычно таким обоснованием является простота.
Рассмотрим идеальное трезвучие, состоящее из квинты 1:3, большой терции 1:5 и малой терции 3:5. Его можно составить двумя способами. Первый из них – взять три простых идеальных тона 1:3:5. Здесь тон 1. играет одну и ту же роль в отношениях 1:3 и 1:5, тон 3. – в отношениях 1:3 и 3:5. Второй способ состоит в подборе к тонам 3. и 5. такого третьего тона, с которым эти тона составляли бы отношения 1:5 и 1:3 соответственно. Это будет тон 15., входящий в квинту с тоном 5. (5:15 = 1:3) и в большую терцию с тоном 3. (3:15 = 1:5). Таким образом, три простых идеальных отношения, кроме трезвучия 1:3:5, образуют трезвучие 3:5:15, в котором каждый тон играет двоякую роль в отношениях. Первое трезвучие воспринимается как минорное, второе – как мажорное.
Новый идеальный тон 15. мы ввели, не привлекая нового идеального отношения, однако оно устанавливается между тоном 1. из минорного трезвучия и тоном 15. из мажорного. Тон 15. находится внутри октавы (8.–16.). Заметим здесь, что если исключить не относящийся к разрабатываемой системе тон 7., в октаве (4.–8.) содержатся лишь те же отношения, что и в октаве (3.–6.). В октаве же (8.–16.), кроме простых идеальных тонов 1., 3., 5. и производного 15., содержится также производный и идеальный тон 9., который естественно теперь также включить в систему. Таким образом, в этой четвертой по порядку, если идти вниз от тона 1., октаве содержится всего пять идеальных тонов – 1., 3., 5., 9., 15., которые состоят в следующих идеальных отношениях: 1:3; 3:5; 1:5 (простые отношения) и 1:9; 5:9; 1:15 (производные отношения). В реальной форме последние выглядят как 8:9 (большой тон), 9:10 (малый тон) и 15:16 (большой полутон).
Эти пять идеальных тонов определяют одно мажорное и два минорных трезвучия (1:3:5 = 3:9:15), причем последние смещены одно относительно другого на квинту. Роль квинт и терций – или, что то же, тонов 3. и 5. – в музыке различна: квинты более существенны, что отражается возможностью получения из данных пяти тонов – трех квинт (1:3, 3:9 и 5:15) и лишь двух больших (1:5 и 9:15) и двух малых (3:5 и 9:15) терций.
Октава (8.–16.) имеет следующую структуру: 8., 9., 10., 12., 15., 16. или, в идеальной форме: 1., 9., 5., 3., 15., 1., чему соответствует следующий порядок интервалов: большой тон, малый тон, малая терция, большая терция, большой полутон. Такое деление октавы, опять-таки, не удовлетворяет требованиям современной музыки, так как интервалы в терцию очень велики. Для дальнейшего расчленения октавы на постулированных выше принципах можно построить еще по пять тонов от каждого из имеющихся пяти идеальных тонов, всякий раз принимая первый тон за единицу, а остальные сохраняя в тех же отношениях, то есть транспонировать пятизвучие на квинту, большую терцию, большой тон и большой полутон. Это выглядит как простая операция умножения:
1 ∙ (1, 3, 5, 9, 15) = 1, 3, 5, 9, 15
3 ∙ (1, 3, 5, 9, 15) = 3, 9, 15, 27, 45
5 ∙ (1, 3, 5, 9, 15) = 5, 15, 25, 45, 75
9 ∙ (1, 3, 5, 9, 15) = 9, 27, 45, 81, 135
15 ∙ (1, 3, 5, 9, 15) = 15, 45, 75, 135, 225
Получается двенадцать идеальных тонов 1., 3., 5., 9., 15., 25., 27., 45., 75., 81., 135., 225. Величина последнего тона (225) указывает, что эти тона могут в своей совокупности реализоваться в октаве (128.–256.), восьмой по счету вниз от 1. Структура этой октавы такова:
128, 135, 144, 150, 160, 162, 180, 192, 200, 216, 225, 240, 256
– или, в идеальной форме:
1, 135, 9, 75, 5, 81, 45, 3, 25, 27, 225, 15, 1
Из двенадцати интервалов между соседними ступенями этой октавы только один (45:81 = 5:9, в реальной форме – 9:10) превышает полутон. Тона распределены равномерно, их количество в точности совпадает с числом ступеней в инструментах с фиксированным строем, поэтому система, в принципе, может оказаться пригодной для музыки.
Полученный строй нужно сопоставить с традиционными натуральными строями. Последние при разнообразии, начиная с Возрождения, имеют общими семь тонов: с, d, е, f, g, a, h, длины волн которых составляют пропорцию:
1 : 8/9 : 4/5 : 3/4 : 2/3 : 3/5 : 8/15
Кроме того, в некоторых системах вместо h применяется тон b, составляющий с тоном с отношение 10:9. Прочие четыре ступени, промежуточные между с и d, d и е, f и g, g и а, варьировали в разных системах ввиду отсутствия очевидных критериев для их оптимального выбора.
Таблица 1
Чтобы сопоставить ступени нашего строя с традиционными, нужно теперь разумным образом подобрать тон октавы. Это должен быть тон, состоящий в простых отношениях с возможно большим числом прочих тонов. Ввиду того, что мы имеем дело с пятью тонами – 1., 3., 5., 9., 15., транспонированными на известные интервалы, естественнее всего принять за исходный тон (с) нашей октавы наименьшее общее кратное этих пяти чисел – идеальный тон 45. Тогда ступени октавы в реальной форме расположатся в пределах 180.–360. Представив эти числа в виде пропорции:
360:324:320:300:288:270:256:240:225:216:200:192:180
и разделив их на 360, получаем:
В последней пропорции восемь членов совпадают с традиционными. Новым в нашей системе является определение оптимальных значений для остальных четырех ступеней: 9/10; 5/6; 32/45; 5/8 или, в другой форме, 324, 300, 256, 225. Обозначим их i, j, k и l, сохранив за прочими традиционные обозначения.
Теперь нужно выразить тона темперированного строя в такой форме, которая позволяла бы сравнивать их с натуральными. Это нетрудно сделать, зная, что десятичный логарифм струны длиной 2 равен 0.3010, а струны 1 – нулю, и что логарифмы длин струн соответствующих ступеней октавы отличаются на одну и ту же величину 0.3010/12 = 0.0251. Вычислив антилогарифмы, умножив каждый член ряда на 360/2 = 180 и округлив числа до целых трехзначных, получим относительные длины струн для темперированного строя, сопоставимые с тонами нашей октавы (Таблица 1).
Сравнение показывает, что ступени темперированного строя (за исключением i) близки к ступеням натурального. Что касается ступени i, то ее положение в интервале 80:81 от d (а не в полутоне, как это имеет место в темперированном строе) дает нашему строю существенное преимущество, благодаря которому от ступеней с и f можно построить по шесть ступеней квинтовыми ходами при энгармонической замене i на d, что вполне удовлетворяет привычным требованиям композиции на ладовой основе. Только одна квинта (а не все шесть) при этом незначительно искажается.
Из отмеченного сходства натурального и темперированного строя вытекает, что современный строй не является результатом конвенции или случайностей исторического развития музыки. Скорее всего, он таков, потому что не может быть существенно другим, ибо он основан на приближении к оптимальному набору наиболее простых резонансных отношений, с одной стороны, и на особенностях восприятия человеком этих отношений – с другой. Мы рискнем здесь высказать предположение, что фактически и в темперированном строе человек старается услышать натуральный. Известно, что в роялях, которые давно не настраивались, начинают звучать натуральные отношения. Если именно их чувствует примитивный инструмент, то тем более это относится к уху. Следовательно, несмотря на формальную равноценность двенадцати ступеней октавы, обеспечиваемую темперацией, они продолжают оставаться неравноценными по существу, что делает просто невозможным исключение ладового принципа из композиции. Любая комбинация ступеней – независимо от композитора – будет иметь определенное отношение к какому-либо ладу.
Стремление освободиться от онтологического принципа свойственно не только музыке последнего столетия. Его можно сопоставить с попытками исключить предметное изображение из живописи или ввести принципы относительности в физику и этику. Такие сходные тенденции в далеких областях являются свидетельством общего состояния человеческого духа, для которого в последнее время стало особенно характерно стремление к свободе, понимаемой как избавление личности от связей с онтологическими категориями.
В том, что касается музыки, процесс шел примерно по следующим этапам. В Средние века господствовали принципы простых ладов, известных со времен Античности. Инструменты также были просты. В начале Возрождения, с развитием многоголосья, произошло усложнение представлений о гармонии и, параллельно, – усложнение инструментов. Уже тогда онтологический принцип начал смещаться в сторону техники. Развитие этой тенденции привело к постановке вопроса о «темперации», то есть о таком делении октавы, которое гарантировало бы музыканту возможность гармонизировать голоса сколь угодно большого количества инструментов. Введение логарифмической темперации вполне соответствовало духу рационализма XVIII–XIX веков, а реформа Шенберга и опыты стохастической композиции – крайнему субъективизму нашего времени.
Связь музыки и онтологии наиболее последовательно проводилась пифагорейцами, однако систематического изложения их учения не существует. Нам известны фрагменты общей концепции числа как начала, лежащего в основе вещей и формирующего бытие; затем – музыкальная практика того времени и кое-что об осмыслении ее пифагорейцами; далее – изложенное Платоном в «Тимее» представление о связи пяти правильных многогранников с музыкальными отношениями, с одной стороны, и с элементами структуры космоса – с другой, не получившее, как нам кажется, удовлетворительной для современного рассудка интерпретации; наконец, изложенное Аристотелем и, вероятно, также пифагорейское по происхождению учение о взаимосвязи четырех элементов, составляющих космос, и двух пар «свойств», в определенных комбинациях образующих эти элементы. Из таких отрывочных сведений мы попытаемся реставрировать более целостную картину. Разумеется, ряд высказываемых положений не может быть доказан с полной достоверностью, и за читателем остается право судить, насколько убедительны версии, предлагаемые автором.
Основой музыкальной практики античности был тетрахорд, то есть совокупность четырех струн, из которых крайние были настроены в кварту (3:4). Две промежуточные струны делили кварту на три интервала таким образом, что два из них равнялись тону (8:9), а третий – пифагорейскому полутону (243:256). Три варианта расположения этих интервалов определяли три основных лада. Интервал в полтора тона – пифагорейская терция – составлял 27:32.
Используя принятую выше терминологию, можно сказать, что пифагорейский строй основан на двух простых идеальных тонах – 1. и 3. Производные идеальные тона имеют формулу:
Li = 3k
где k > 1
Для построения всех трех тетрахордов и разделения октавы на интервалы не меньшие, чем в тон, достаточно семи идеальных тонов:
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729
Пифагорейская октава выглядит в реальной форме (один из вариантов) так:
384, 432, 486, 512, 576, 648, 729, 768 —
и имеет последовательность ступеней: тон, тон, полутон, тон, тон, тон, полутон.
Исключительная роль идеального тона 3. соответствует тому значению, которое придавалось интервалу в квинту. Ступени тетрахордов могут быть получены ходами в известное число квинт. Количественные соотношения между ступенями тетрахордов были известны пифагорейцам – вероятно, даже открыты ими. Эти соотношения мыслились как осуществление общих законов числа, действующих в мире, а сам мир поэтому представал как гармония. Музыка же с этой точки зрения выглядела священнодействием, касающимся самих корней бытия.
Нечетные и четные числа представлялись как принципы, определяющие противоположность мужского и женского. Поэтому благозвучная квинта, воплощающая единство двойки и тройки, могла мыслиться как своеобразный брак или любовь двух противоположных начал.
Для нас также важен взгляд пифагорейцев на декаду, то есть на число 10 как на принцип объединения четырех первых чисел натурального ряда: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Изложенные представления помогут нам интерпретировать описанную Платоном теорию о связи правильных многогранников с элементами мироздания и музыкой. Учение о том, что космос состоит из четырех элементов, дано Аристотелем, уже не понимавшим пифагорейцев и относившимся к их воззрениям как к комическим суевериям, а потому не связывавшим в своем изложении этого учения ни с платоновыми телами, ни с числами, ни с музыкальными отношениями. По Аристотелю, каждый из четырех элементов (огонь, вода, земля, воздух) является носителем и в какой-то мере конституируется из двух свойств, которые имеют парами себе противоположные свойства (сухость – влажность, холод – жар). Поэтому сухой жаркий огонь противоположен по свойствам и по сущности влажной холодной воде, а сухая холодная земля – влажному жаркому воздуху. По-видимому, во времена Аристотеля пифагорейский взгляд на четверку стал настолько тривиальным, что философ не считает нужным объяснять, почему элементов именно четыре – не больше и не меньше – и чем «свойства» отличаются от «элементов». Симметричная замкнутость такой конструкции, позволявшая привычному к дихотомиям античному сознанию воспринимать ее как самоочевидность, обеспечила ей признание почти на протяжении двух тысячелетий. А все проблемы были отнесены в область поисков «пятой сущности», которая сообщает жизнь этой статичной системе и владение которой дает власть над четырьмя элементами и их сочетаниями. Между тем тайны пятой сущности касался еще Платон.
Согласно Платону, следовавшему пифагорейской традиции, четыре элемента – огонь, воздух, вода и земля – имеют своими оформленными выражениями четыре из пяти правильных многогранников – тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и куб. Тетраэдр как наиболее «острый» и легкий многогранник соответствует жгучему огню, следующий за ним октаэдр – воздуху, а икосаэдр – воде. Это три подвижные стихии, и им соответствуют многогранники, составленные из треугольников. Устойчивый куб, составляемый из «неподвижных» квадратов, изображает землю, которой «необходимо иметь самые устойчивые основания». Пятый правильный многогранник – додекаэдр, описанный вокруг икосаэдра, – служил изображением принципа, охватывающего весь космос (см. Платон, «Тимей»).
Далее предполагалось, что четыре элемента находятся в известных математических, а следовательно, и музыкальных отношениях. Этот взгляд легко интерпретировать, если подсчитать число вершин первых четырех Платоновых тел и представить эти числа как выражения музыкальных отношений. Тогда восемь вершин куба (земля) составят октаву к четырем вершинам тетраэдра (огонь), а двенадцать вершин икосаэдра (вода) – октаву к шести вершинам октаэдра (воздух). Тетраэдр с октаэдром (4:6) составляют квинту огня и воздуха, куб с икосаэдром (4:6) – вторую квинту земли и воды, а октаэдр с кубом (6:8) – кварту воздуха и земли. Тетраэдр с икосаэдром, огонь и вода, составляют резко диссонирующее отношение 4:12 = 1:3.
Эта величественная картина еще более оживляется, если ее дополнить «свойствами» элементов по Аристотелю. Огонь и земля имеют общее свойство «сухости», а воздух и вода – «влажности», огонь и воздух – «жара», вода и земля – «холода». Так что верхняя октава «огонь–земля» (тетраэдр–куб) – «сухая», а нижняя, «воздух–вода» (октаэдр–икосаэдр) – «влажная». Верхняя квинта «огонь–воздух» – «жаркая», нижняя, «земля–вода» – «холодная». Воздух и земля, октаэдр и куб, противоположные по всем свойствам, образуют спокойный диссонанс кварты (3:4), а огонь и вода, тетраэдр и икосаэдр – напряженный диссонанс 1:3.
Тетраэдр и октаэдр, огонь и воздух, сухой и влажный образуют брачную пару, связанную отношением квинты (4:6 = = 2:3), точно так же, как вторая квинта (8:12 = 2:3) изображает любовь земли и воды, куба и икосаэдра.
Для того чтобы объяснить роль додекаэдра и его связь с «пятой сущностью», нам придется обратиться к взглядам пифагорейцев на декаду. Отношение числа вершин додекаэдра (20) к числу вершин икосаэдра (12) составляет 5:3, что для пифагорейцев означало введение нового принципа – пятерки. Двадцать вершин производили впечатление удвоенной декады, декада же – удвоенная пятерка – трактовалась как объединение первых четырех чисел натурального ряда. Все отношения между числами вершин у первых четырех правильных многогранников – 1:2, 2:3, 1:3 и 3:4 – пифагорейцы обнаруживали уже в ряду 1, 2, 3, 4. Оттого и сами многогранники могли восприниматься как ряд первых идей – 1, 2, 3, 4, развернутый в виде космических элементов или форм; это еще более углубляло аналогию между декадой и додекаэдром, трактуемым как Вселенная в своем единстве. Подсчитав сумму вершин тетраэдра, октаэдра, куба и икосаэдра (4 + 6 + 8 + 12 = 30), обнаруживали, что с числом вершин додекаэдра эта величина составляет квинту (30:20 = 3:2). Сопоставленная с отношением суммы первых четырех чисел к десятке – (1+2+3+4):10 = 1:1, – то есть с примой, с отношением простого тождества в ряду первых идей, эта квинта выглядела как воплощенная космическая любовь, объединяющая четыре элемента в единую вселенную, истинная «пятая сущность», знаменитая quinta essentia.
Так или примерно так должны были, как мы полагаем, рассуждать пифагорейцы, связывая свой музыкальный строй и вообще эстетику с онтологическими принципами. Их единственное в своем роде учение о глубоком взаимопроникновении, почти тождестве этики и онтологии являлось теорией, феорией в собственном смысле слова, то есть «посвящением» в практическую этику. Быть может, излишне теперь добавлять, что любая попытка играть неточные интервалы была бы, с точки зрения пифагорейцев, диким кощунством.
Другую развитую систему, связывающую числа и элементы мироздания, мы обнаруживаем в каббалистической «Книге Творения» («Сефер Иецира»). Мы не имеем здесь намерения полностью комментировать эту прекрасную космологическую поэму. Коснемся только некоторых основных ее положений.
Десять первых чисел натурального ряда объявляются в «Книге Творения» надмировыми принципами, «сефиротами»: 1 – Всеединый Бог; 2, 3 и 4 – три стихии: эфир, вода и огонь, а числа 5–10 приводятся в соответствие с «шестью концами пространства». Космос, созданный, в общем, из трех стихий, выглядит как три отдельные, но взаимоотраженные структуры – «мир», то есть макрокосм, «тело человека» – то есть микрокосм, и «год» – то есть замкнутый временной цикл. Еврейский алфавит из двадцати двух букв, которым придавались и числовые значения, представляется в виде системы символов двадцати двух идей, конституирующих эти три структуры. Каждая буква обозначает некую идею, реализующуюся тремя различными способами «в мире», «в году» и «в теле человека». Акт сотворения любой вещи уподобляется составлению слова из букв. Утверждается, что вещи и слова, их обозначающие, произошли «одним способом» – то есть постулируется, говоря на современном языке, глубокая конвергенция знака и денотата, доходящая почти до отождествления. То, что большинство еврейских корней трехбуквенные, позволяет описать сотворение мира как составление комбинаций из двадцати двух идей, взятых по три.
Среди двадцати двух букв выделяются три «буквы-матери», аналогичные трем сефиротам (эфир, вода и огонь): алеф, мем, шин; далее – семь «двойных», имевших два произношения, мягкое и твердое: бет, гимел, далет, каф, пе, реш, тав – и «двенадцать простых».
Как видно, в отличие от пифагорейской системы, в «Сефер Иецира» онтологизируется не эстетика, не музыка, а слово, писание.
Рис. 1. Двенадцать тонов натурального строя. (Тона даны в идеальной форме; семь минорных трезвучий обозначены латинскими цифрами; идеальная квинта изображается горизонтальным отрезком, большая терция – вертикальным, малая терция – наклонным.)
Для нас же здесь важно представление о трех – а не о двух и не о двух парах – как основных началах, подчеркнутое значение комбинаторики в построении видимого мира и конвергентной ему лексики и, наконец, выделение, кроме трех основных, еще семи и двенадцати начал. Первые два из этих принципов применяются в современной науке. Так, три термина в физике – это пространство, время и мера, причем эта последняя выглядит как мера действия (энергия), мера инерции (масса) и мера структуры (энтропия, помноженная на температуру). Физика наших дней как раз и утверждает единство этих трех мер. Комбинаторика как часть теории групп применяется в теории элементарных частиц, ядер и электронных оболочек атомов, в кристаллографии; структура генетического кода основана на комбинациях из четырех элементов по три. Сейчас мы покажем, что и полученный рационалистическими приемами двенадцатитоновый строй имеет определенное сходство с «Книгой Творения».
Наш строй удобно изобразить в виде диаграммы (рис. 1). Видно, что двенадцать тонов, полученных по простым правилам для простейшей физической модели из трех идеальных отношений, дают семь минорных трезвучий, то есть мы получаем три, семь и двенадцать принципов различного качества, лежащих в основе строя, что очень похоже на группы, составляющие космологический алфавит «Книги Творения».
Мы не склонны считать обнаруженную констелляцию простой случайностью, не беря, однако, на себя смелость интерпретировать ее в этой довольно специальной работе.
Укажем две чисто нумерологические констелляции, кажущиеся нам существенными. Наименьший натуральный тон 1. должен быть обращен восемь раз для того, чтобы попасть в одну октаву с наибольшим тоном 225. Это примерно соответствует тому интервалу в восемь октав, в котором возможна музыка. Далее, нижний реальный тон нашей октавы (180.–360.) представляет собой половину факториала от шести или произведение 3·4·5·6, то есть чисел, соответствующих тонам первой октавы (3.–6.), в которой могут существовать отношения минорного трезвучия – квинта, большая и малая терции. Забавно, что этот неочевидный эффект нашей незамысловатой комбинаторики – число 360 – равно числу градусов в круге, каковое исторически связано с вавилонскими представлениями о числе дней в году.
Все сказанное позволяет утверждать, что элементы нашего натурального строя вполне могли бы быть интерпретированы каббалистами в духе их онтологических представлений, а самому строю могло бы быть придано такое же значение, какое пифагорейцы придавали натуральным отношениям, использовавшимся в современной им музыкальной практике.
Наука физика претендует на то, чтобы представлять онтологию наших дней. Поскольку за натуральностью музыкальных отношений стоит элементарная физическая теория резонанса, любой натуральный строй может претендовать на онтологическое значение. Проблему представляет выбор наиболее простого строя – с минимальным числом исходных принципов, но с максимальным числом ступеней в основном интервале. Поскольку 2 – второе число в натуральном ряду, за основной интервал всего естественнее выбрать именно октаву. Далее речь может идти о том, чтобы ограничиться только степенями числа 3, как это делали пифагорейцы, или ввести еще одно простое число – 5. Сделать выбор между этими возможностями из абстрактных соображений довольно трудно. Однако на слух натуральные терции (4:5 и 5:6) все же могут восприниматься как консонансы, в отличие от «пифагорейской» терции (27:32). Это решает вопрос.
Если пользоваться терминологией физики, современный музыкальный строй является результатом длительного эксперимента, в котором роль физических тел играли струны и трубы музыкальных инструментов и люди с достаточно тонким слухом для того, чтобы реагировать на музыкальные отношения специфическим образом. В течение этого эксперимента выяснилось, например, что квинта – «хорошее» отношение, и что натуральные терции лучше пифагорейских; что, идя квинтовыми ходами, невозможно замкнуть октаву (то есть что 2n не равно 3m, где m и n – целые числа) и получить натуральную терцию (то есть что 3m не равно 5n). Осознание этих фактов породило – как компромисс – темперированный строй.
Нам кажется, что наш мысленный эксперимент с первыми тремя простыми числами дал достаточно близкое совпадение с физическим (см. табл. 1 выше).
Укажем еще на один факт, известный науке и касающийся онтологической природы отношения 1:2.
Видимый диапазон спектра электромагнитных колебаний занимает примерно октаву. Сама сетчатка человеческого глаза чувствительна в пределах от 3500 до 10 000 Å. Остальная часть спектра воспринимается как черная. Цвета видимого спектра не имеют резких границ, границы видимых цветов и черного также размыты, особенно на длинноволновом конце спектра, поэтому приводимые ниже пределы в известной мере условны.
Пределы видимости в ангстремах:
на коротковолновом конце – около 4000
на длинноволновом конце – 7000–7500.
Основные цвета видимого спектра, длины волн в ангстремах:
фиолетовый – от пределов видимости до 4240
синий – 4240–4912
зеленый – 4912–5750
желтый – 5750–5850
оранжевый – 5750–5850
красный – от 6470 до предела видимости
Уже давно подозревали, что цвета в своем отличии друг от друга определяются числовыми отношениями типа тех, которые определяют различия музыкальных тонов октавы, однако продемонстрировать это не удавалось из‑за трудности выбора (на объективных основаниях) той базисной длины волны, от которой могли бы строиться соответствующие точные интервалы, – поскольку границы между цветами нечеткие.
Мы решили вопрос, взяв за такой базис длину волны в весьма узкой «области максимальной видимости», около 5560 Å.
Построим теперь трехчленное отношение 2:3:4, принимая 5560 Å за средний член. Вычислив крайние члены, мы получим 3707 и 7414 Å. Эти длины волн соответствуют невидимой области, то есть черному цвету, и составляют отношение октавы (1:2), а весь видимый спектр располагается между ними.
Следующее простейшее трехчленное отношение – 3:4:5 – подобно обращенному минорному трезвучию. Снова приняв 5560 Å за средний член, вычислим оба крайних. Получим 4170 Å в фиолетовой области и 6950 Å – в красной. Эти два видимых цвета – фиолетовый 4170 Å и красный 6950 Å – находятся в отношении большой сексты (3:5).
Следующее по простоте отношение – 4:5:6 – подобно минорному трезвучию. Примем красный цвет 6950 Å за последний член отношения и вычислим средний и первый члены. Получим 5792 Å в желтой области для среднего члена и 4633 Å в синей области для первого. Эти три цвета – красный, желтый и синий – художники называют «чистыми». Как видно, соответствующие им длины волн составляют «минорное трезвучие», то есть «квинту»:
синий : красный = 4633:6950 = 2:3,
– «большую терцию»:
синий : желтый = 4633:5792 = 4:5,
– и «малую терцию»:
желтый : красный = 5792:6950 = 5:6.
Построим теперь такое же «минорное» трезвучие 4:5:6, приняв за первый член фиолетовый цвет с длиной волны 4170 Å, которую мы вычислили выше. Здесь среднему члену будет соответствовать 5212 Å в зеленой области, а последнему члену – 6255 Å в оранжевой области. Эти три цвета – фиолетовый, зеленый и оранжевый – называются «смешанными» и составляют между собой такое же «минорное трезвучие», что и чистые цвета, но транспонированное вверх по цветовой октаве на интервал, равный 9:10 («малый тон»).
Таким образом, мы получили точные положения шести главных цветов в видимой октаве спектра и можем теперь вычислить все интервалы между соседними цветами:
фиолетовый : синий = 9:10
синий : зеленый = 8:9
зеленый : желтый = 9:10
желтый : оранжевый = 25:27
оранжевый : красный = 9:10.
Все эти интервалы равны большому или малому тону (8:9 или 9:10), за исключением интервала между желтым и оранжевым (25:27), немного превышающего полутон. И действительно, желтый и оранжевый цвета на глаз различимы хуже, чем любая из других пар.
Черный цвет (3703:7414 = 1:2, октава) оказывается седьмым цветом нашей октавы, и соответствующие ему длины волн служат в ней первой и последней ступенями. Интервал между черным 3707 Å и фиолетовым 4170 Å составляет 8:9 («большой тон»), а между красным 6950 Å и черным 7414 Å – 15:16 («большой полутон»).
Совершенно очевидно, что наши цвета суть не конвенциональные «имена», для удобства даваемые отрезкам видимой части спектра, а существуют реально как эффекты резонансных взаимодействий. Наш глаз видит эти простейшие интервалы, подобно тому, как ухо их слышит. Есть все основания думать, что если бы мы могли видеть более высокие или более низкие «октавы» в электромагнитном спектре, цвета были бы примерно теми же и получили бы те же названия, подобно тому, как звук «до» в разных октавах носит одно и то же имя.
Попробуем продолжить деление световой октавы, чтобы получить оттенки. Наша базисная длина волны 5560 Å составляет с соседним желтым (5792 Å) интервал 24:25 (малый полутон), а с зеленым (5212 Å) – интервал 16:15 (большой полутон), то есть она ближе к желтому, чем к зеленому. Назовем этот оттенок желтозеленым553 и построим «минорное трезвучие», взяв соответствующую ему длину волны (5560 Å) за средний член в отношении 4:5:6. Получим для первого члена 4448 Å, который ближе к синему (4633 Å), чем к фиолетовому (4170 Å). Назовем его темносиним. Последний член равен 6672 Å и ближе к красному (6950 Å), чем к оранжевому (6255 Å). Назовем его светлокрасным.
Остаются два неразделенных интервала 8:9 («большой тон») между черным и фиолетовым и между синим и зеленым. Заполнить их, не отступая от применяемых правил, то есть строя «минорное трезвучие» (4:5:6), можно теперь, только взяв за последний член «трезвучия» желтый (5792 Å). Тогда средний член будет равен 4826 Å, ближе к синему (4633 Å), чем к зеленому (5212 Å). Назовем его голубым. Последний же член (3861 Å) располагается за пределом видимости, ближе к черному (3707 Å), чем к фиолетовому (4170 Å). Этот «цвет» можно назвать «оттенком черного» – «чернопурпурным», поскольку неспектральный пурпурный цвет получается смешением фиолетового и лежащего «за черным» красного цветов.
Таблица 2. Двенадцать ступеней видимой октавы
Результат всех этих операций станет более наглядным, если мы перейдем от абсолютных длин волн к относительным, как мы это сделали для звуковой октавы. Для этого удобно приписать нашей базисной длине волны длину в 720 относительных единиц и повторить все вышеописанные операции получения цветов и оттенков. Полученные числа соответствуют «именам» цветов и оттенков, независимо от конкретного положения видимой октавы в спектре электромагнитных колебаний.
Что касается «неспектрального» белого цвета, то я полагаю, что будь невидимый интервал в черной области уже, чем он есть, и невидимый сейчас пурпурный оттенок стал бы видимым спектральным цветом, то близкий к белому цвет занял бы в спектре положение на месте базисного желтозеленого оттенка.
Необходимо иметь в виду, что структура видимой октавы отличается от структуры октавы звуковой. Несмотря на глубокое сходство принципов звуковой области, ввиду значительно более широкого диапазона слышимости, интервал в квинту (то есть идеальный тон 3.), переходящий из октавы в октаву, играет основную роль. В цветовой области, где мы ограничены только одной октавой (по существу даже несколько меньше), основная роль принадлежит более узким интервалам в большую и малую терции, 4:5 и 5:6, иначе говоря – идеальному тону 5. Нам поэтому не кажутся многообещающими идеи сколько-нибудь примитивной «цветомузыки». Все же родство принципов организации звукоряда и цветоряда продемонстрировано здесь вполне отчетливо. В обоих случаях мы получили двенадцатитоновый натуральный строй, «онтологичный» в современном смысле слова.
Итак, мы полагаем, что нам удалось продемонстрировать возможность связать элементы натурального строя с двумя существенно различными онтологическими системами – каббалистической и современной.
Темперация была попыткой использовать несовместимые достоинства античного принципа (квинтовых ходов в получении ступеней строя), средневекового (применения терций как благозвучного интервала) и еще более близкого к нам по времени (гармонизации большого количества голосов). Однако после введения темперации все интервалы, кроме октавы, оказались неточными. Квинты еще довольно близки к натуральным, но терции звучат значительно менее естественно. Возникает вопрос: нельзя ли, отказавшись от логарифмической темперации, вернуться к натуральному строю? Нам сейчас трудно дать определенный ответ. Однако один довод в пользу положительного решения мы постараемся привести.
Сам темперированный строй является феноменом некоторой стадии истории человеческого духа – той стадии, для которой характерна гигантомания, техническая изощренность, субъективизм и пренебрежение онтологией в одних областях при склонности к компромиссам – в других.
Поэтому современное сознание, в общем, плохо представляет себе единство этики, эстетики и онтологии. Однако возможно и иное состояние духа – когда потребность в истине для личности важнее, чем внешние эффекты. Если проблема чистой квинты будет осознаваться как нравственная, если музыкант будет считать, что, играя неточную квинту, он лжет, – потому что сам мир устроен иначе, – тогда для него естественно будет отказаться от темперации. Возможно, ему придется отказаться от многих соблазнительных притязаний и традиционных приемов, резко ограничив себя в технических средствах, однако каждое отношение в его музыке будет иметь, по крайней мере, осознаваемый смысл, а каждый лад или строй – глубокую индивидуальность.
Автор – не музыкант, и ему не хотелось бы высказывать более определенные, чем эти, самые общие, соображения. Единственно, что может он еще предложить, – это попробовать немного перестроить рояль.
Я ощущаю потребность высказать глубокую благодарность Феликсу Равдоникасу, строителю первого на территории России органа, за те длинные прекрасные беседы о сущности музыки, результатом которых явилась эта работа.