Ещё одна важная концепция, которую мы будем использовать, – это матожидание. Кто-то может называть его средним или наиболее ожидаемым результатом – это примерно взаимозаменяемые термины. Можно их немного по-разному объяснять в зависимости от того, говорим ли мы о среднем из известной нам выборки или из всей совокупности возможных событий, её ещё называют генеральной совокупностью.

Но сначала надо-таки понять, что такое случайная величина. Если мы проводим эксперимент и результат эксперимента – какое-то абсолютно непредсказуемое число, то наш эксперимент и выдаёт случайную величину. К примеру, если мы бросаем монету и присвоим решке 0, а орлу – 1, тогда мы и определили случайную величину, она принимает значение 0 или 1 совершенно случайно.

Существуют дискретные (то есть прерывистые) случайные переменные, вроде той, что я только что привёл в пример, – у неё могут быть только конкретные значения (орёл или решка, 0 или 1). Когда мы имеем дело со случайными, но вполне определёнными событиями в идеальных условиях (как подбрасывание симметричной монеты), вероятность происшествия – это число нужных нам исходов, делённое на число всех возможных исходов. Так, два раза бросив монету, мы получим вероятность выпадения нужных нам двух решек в виде ¼, потому что исхода у нас четыре (решка-решка, решка-орёл, орёл-решка и два орла) – и все они имеют одинаковые шансы.

Есть ещё непрерывные случайные величины, которые могут принимать любые значения на некотором отрезке. Смешаем мы зачем-то горячий чай и холодную водку и опустим туда термометр. Кстати, его тоже изобрели в XVII веке, и тогда концепцию температуры – для нас привычную и понятную – только-только начали применять, да и градусов была целая куча: и Фаренгейта, и Цельсия, и Кельвина, и Ньютона, и даже Реомюра (и это ещё не все шкалы). Вы уже догадались, что в нашем стакане с волшебным егерь-чаем температура – величина непрерывная, у неё неограниченное количество возможных значений, хотя минимальное и максимальное мы представляем неплохо: вряд ли оно будет меньше 20 и больше 100 градусов Цельсия.

Для дискретных случайных переменных матожидание можно обозначить греческой буквой μ (мю), и оно будет суммой всех результатов, помноженных на вероятность каждого из них. В случае броска нашей условной монеты матожидание будет равно одной второй, и результата только два. А вообще, конечно, их может быть любое количество, в том числе и бесконечное. Но их можно сосчитать и узнать средневзвешенную оценку, а она и называется матожиданием. Также его называют средним арифметическим. Но чтобы его посчитать, мы должны знать точные вероятности событий.

Для пущей ясности возьмём обычный (честно и точно сделанный) шестигранный кубик. Очевидно, что вероятность выпадения каждой цифры – одна шестая, граней ведь шесть. Сумма всех выпадений равна 1+2+3+4+5+6=21. Берём от каждой одну шестую (надеюсь, сможете сами?), складываем вместе (или просто 21 делим на 6), получаем три с половиной. Значит, матожидание броска кубика – 3,5. Если мы много-много раз бросим кубик и посчитаем среднее, то получится число, близкое к 3,5. Понятно, что в случае броска одного кубика ожидать 3,5 бессмысленно, а вот в случае двух ждать семёрки – очень хорошая идея. И чем больше раз мы бросим кубик, тем ближе среднее будет к 3,5. Его и следует ждать математически, поэтому оно и называется матожидание.

Кроме среднего ещё есть медиана – это когда половина результатов эксперимента больше, а половина меньше этой цифры. Она часто используется в демографии. Например, зарплату по региону корректнее сравнивать не среднюю, а медианную, потому что очень маленькие или (чаще) очень большие зарплаты, даже если таких немного, заметно искажают реальную картину. А на медиану они почти не влияют: если из десяти сотрудников один получает 910 тысяч и ест мясо, а девять человек – по 10 тысяч и едят капусту, то средняя выйдет 100 тысяч рублей, что никак не отражает общую картину. Медиана в 10 тысяч куда точнее; а в среднем, как вы поняли, все они едят голубцы.

Если нам потребуется матожидание непрерывных функций, то идея там точно такая же, но складывать надо интегралы. Слово страшное (сам его боюсь), но вообще это просто сумма площадей под графиком функции. Например, взять температуру – вероятность того, что термометр покажет у кипятка ровно 100 градусов, равна нулю, потому что он всегда может показать 100,001 или 99,999. Таких цифр бесконечное количество, и у каждой конкретной из них вероятность равна нулю. Но можно посчитать, например, плотность вероятности у какого-либо отрезка.