Математика, сходная по своему предмету с логикой, стоит совершенно в стороне от других наук. Математика и логика (формальная) отличаются от всех других наук тем, что их положения отличаются аподиктически достоверным характером, их положения необходимы, т. е. немыслимы положения, противные им. Математические положения мы не можем мыслить иначе, чем мы их мыслим. Например, положение «между двумя точками нельзя провести более одной прямой» является необходимым, потому что нельзя мыслить более одной прямой между двумя точками.

Но от чего это происходит?

Это происходит от особенностей предмета математики. Науки математические имеют своим предметом пространственные отношения, числа и величины. Геометрия имеет своим предметом пространственные отношения, арифметика и алгебра определяют отношения между числами или вообще между величинами. Особенность предмета математики заключается в том, что она имеет дело не с реальными предметами, но с построениями нашего ума. Для пояснения этого возьмем в пример понятие числа. Мы приписываем числа вещам: мы говорим, что вещей большее число или что их меньшее число. Однако, как мы видели в Психологии, число не есть что-либо реальное, существующее в вещах, число не находится в вещах. Поэтому оно не есть отвлечение от свойств вещей. Если бы понятие числа представляло собою такое отвлечение, какое представляют собою все другие понятия о предметах физического мира, то понятие единицы, например, не представляло бы собой такой определенности, что одна единица абсолютно равна другой. Эта определенность именно есть то, чего совершенно мы не можем утверждать относительно какого бы то ни было понятия о предметах физического мира. Отсюда следует, что понятие числа есть продукт построения нашего ума. Оттого оно обладает таким постоянством; оттого 2×2 всегда будет равняться четырем.

Точно таким же образом и пространственные элементы геометрии не суть реальные предметы, подобные тем, с которыми имеют дело науки о природе: прямая линия, точка, с которыми имеет дело геометрия, точно так же не суть отвлечения от предметов реального мира. Если бы они были таковыми, то они не имели бы той определенности, которой они на самом деле обладают. В природе нет абсолютно прямой линии: прямизна прямой линии, существующей в природе, может быть очень совершенна, но все же эта прямизна не будет абсолютной. В природе нет точки без протяженности. Поэтому мы можем сказать, что линии, точки и т. п., подобно числу, суть построения нашего ума: они суть продукт творчества нашего ума.

Вследствие того, что предметы математики обладают такой определенностью, проистекающей вследствие их идеального характера, т. е. того, что они суть продукты построения нашего ума, все математические положения, касающиеся пространственных или числовых отношений, аподиктический достоверны. Таковы, например, аксиомы и определения математики.

Под аксиомами мы понимаем такие положения, которые не нуждаются в доказательстве, но которые служат для доказательства других положений. Есть аксиомы обще-математические и аксиомы чисто геометрические. К первым относятся, например, аксиомы: «две величины, порознь равные третьей, равны между собою», «часть больше целого» и т. п. К числу геометрических аксиом относятся, например, следующие: «если две величины могут быть приведены в совмещение, то они равны», «две прямые не могут замыкать пространства».

Аподиктическая достоверность этих положений объясняется тем, что геометрия имеет своим предметом объекты идеальные, которые вследствие этого приобретают постоянный и неизменный характер.

Что касается метода, которым пользуется математика, то он есть дедуктивный, потому что математика выводит все свои положения из нескольких основных положений, которые называются аксиомами и определениями.

Что касается математической индукции, то о ней следует заметить, что она отличается от индукции естественнонаучной тем, что выводит заключение не из множества отдельных примеров, а из одного примера или случая, чем математика также коренным образом отличается от естествознания, индукции которого в большинстве случаев являются результатом сравнения большого или меньшего ряда однородных случаев.