В конце XIX века произошел прорыв в применении математического анализа, включая построение графиков для изучения динамики. Динамика – это физика того, как силы влияют на движение. Тогда появились мощные методы, которые используются поныне. Для анализа динамики систем с конечным числом элементов теоретики часто представляют поведение каждой частицы как движение по отдельным осям на графике со множеством осей, который называется фазовым пространством. Некоторые из осей могут представлять координаты местоположения каждой частицы, такие как x, y и z. Остальные оси соответствуют компонентам скорости или импульса (массы, умноженной на скорость) каждой частицы. Отслеживая положения и скорости всех частиц во времени, можно выявить любое предсказуемое поведение системы – например, периодичность.

Однако представить себе такой график довольно сложно из-за огромного количества осей. Если для каждой частицы нужно шесть осей (три компоненты положения и три компоненты скорости), а частиц много, появляется огромное количество математических измерений. Вместо реального физического пространства такие математические измерения лежат в абстрактном пространстве данных, которое можно параметризовать множеством координатных осей. Например, синоптики, изображающие температуру, давление, скорость ветра и высоту различных атмосферных явлений с помощью четырехмерного графика, пользуются для представления этой информации абстрактным пространством высокой размерности. Они проводят математические, а не наблюдаемые измерения.

Работы блестящих мыслителей XIX века Карла Гаусса, Бернхарда Римана и других вызвали взрыв интереса к математическим многомерным пространствам. Высшие размерности стали рассматриваться как инструменты для понимания всего спектра алгебраических, геометрических и топологических свойств, возникающих в сфере математики. В то время как творения природы существовали в трех измерениях (теперь мы добавляем к ним время в качестве четвертого), абстрактная математика, казалось, умела создавать более многомерные объекты. Например, если отрезки прямых имеют две конечные точки, квадраты – четыре линейных ребра, а кубы – шесть квадратных граней, то их очевидным обобщением является гиперкуб – четырехмерный аналог куба, имеющий восемь кубических граней. Действительно, в эзотерическом царстве чистой геометрии можно рассуждать о бесконечном количестве измерений. Но как их представить нашему разуму, привыкшему ограничиваться длиной, шириной и высотой?

В ту провидческую эпоху несколько писателей-фантастов пытались познакомить широкую публику с концепцией размерности пространства. В 1884 году директор Школы лондонского Сити Эдвин А. Эбботт опубликовал свой потрясающий воображение роман «Флатландия», в котором изобразил двумерную страну, населенную геометрическими существами: квадратами и кругами, живущими на плоскости. Несколько лет спустя математик Чарльз Хинтон ввел термин «тессеракт» – другое название для четырехмерного гиперкуба – и указал, что его можно представить по тени, отбрасываемой трехмерным кубом. Эбботт и Хинтон призывали публику непредвзято относиться к возможности существования миров за пределами обычного пространства.

Одним из самых разносторонних мыслителей того времени был французский математик Анри Пуанкаре. Его интересы лежали как в практических, так и в абстрактных областях: он работал национальным инспектором по вопросам безопасности в шахтах и предложил гипотезу о сферах и гиперсферах (четырехмерных обобщениях сфер) в области геометрической топологии, на доказательство которой у других математиков ушло почти столетие.

Рисунок 2. Правильные фигуры различной размерности. У одномерного отрезка прямой два конца. Двумерный квадрат имеет четыре ребра. Шесть граней квадрата ограничивают трехмерный куб. Если добавить четвертое измерение, можно представить себе гиперкуб, также известный как тессеракт, состоящий из восьми соединенных кубов

В 1890 году Пуанкаре опубликовал примечательный трактат «О задаче трех тел и уравнениях динамики», который, на первый взгляд, подтверждал гипотезу вечного возвращения. Анализируя систему из множества частиц, подчиняющуюся закону сохранения энергии, он показал: если начать с произвольного состояния и подождать достаточно долго, то приближения к этому начальному состоянию (очень близкие повторения) будут случаться снова и снова до бесконечности. Таким образом, для любой системы, в которой сохраняется энергия, всегда можно вычислить период возврата Пуанкаре, в течение которого ее динамика в целом повторяется. Учитывая, что действия людей зависят от поведения атомов и молекул в их телах, это, по-видимому, означает, что история в конце концов повторится.

Вывод Пуанкаре удивил многих физиков, поскольку он, казалось, противоречил широко признанному второму началу термодинамики, сформулированному Рудольфом Клаузиусом в 1850‐х годах и гласящему, что в замкнутой системе энтропия, мера непригодной для использования энергии[24], имеет тенденцию оставаться неизменной или расти, но не уменьшаться. Системы с различимыми составляющими, например кубики льда, плавающие в кастрюле с горячей водой, обычно имеют меньшую энтропию, чем системы с равномерно перемешанными фазами, такие как теплая вода в стакане. На молекулярном уровне первые представляют собой скопления более медленных молекул воды (кубики) в контакте с областью более быстрых молекул (горячая вода), а вторые состоят из молекул со средними скоростями. Второе начало гласит, что если кастрюлю со льдом в горячей воде оставить в покое, ее содержимое может увеличить свою энтропию, превратившись в теплую жидкость, но никак не наоборот. Это кажется очевидным: мы никогда не видели, чтобы в воде комнатной температуры какая-то ее часть обращалась в лед, нагревая оставшуюся, если только для осуществления этого процесса не используется специальное приспособление, например комбинация замораживающего и нагревающего змеевиков. В любом случае такая конструкция сама по себе увеличивала бы энтропию[25]. Однако, согласно концепции возвращения Пуанкаре, если подождать достаточно долго, динамика системы в конце концов вернет ее к почти в точности исходному распределению молекул – кубикам льда, плавающим в горячей воде. В кажущемся противоречии со вторым началом энтропия должна самопроизвольно уменьшаться. Как такое возможно?

Прежде чем отбрасывать второе начало и провозглашать Ницше пророком вечного возвращения (каким он, несомненно, хотел бы остаться в истории), мы должны взглянуть на примечание, набранное мелким шрифтом. В работе Пуанкаре предсказывается, что чем больше компонентов в системе, тем больше период возврата. Для системы из нескольких частиц время возвращения, скорее всего, составит доли секунды, но для большого стакана воды с 10²⁵ (1 с 25 нулями) молекулами время возвращения будет астрономически большим. Любое возвращение к исходному состоянию будет, по сути, невозможным, поскольку займет гораздо больше времени, чем существует Вселенная. Иными словами, быстрее Солнце и все остальные звезды погаснут, чем молекулы воды в стакане самопроизвольно разделятся на более медленные и быстрые, чтобы посреди кипящей воды появились кубики льда.

И это всего лишь стакан воды. Время, за которое все молекулы на Земле полностью вернутся к любому заданному состоянию, будет гораздо больше, и в сравнении с ним все время, прошедшее с момента Большого взрыва, покажется мгновением.

Таким образом, картина Ницше, в которой история повторяется в силу законов сохранения, в реальности никогда не сможет реализоваться во временнóй шкале Вселенной – для этого просто пришлось бы ждать слишком долго. С другой стороны, если Вселенная бесконечна, возможно, где-то существует почти точная копия Земли, как это представлял Бланки. Однако этот мир, несомненно, находится так далеко, что нам до него никогда не добраться.

С учетом того, сколько времени потребовалось бы земным событиям, чтобы повториться, попытки вычислить время возвращения для наблюдаемой Вселенной кажутся бесполезным занятием. Тем не менее в 1994 году физик Дон Пейдж оценил эту невообразимо огромную величину в 10^ 10^ 10^ 100 (десять, возведенное в степень десяти, возведенных в степень десяти, возведенных в степень ста) лет[26]. Совершенно невообразимо!

Рисунок 3. Французский математик Анри Пуанкаре, открывший новую страницу в изучении динамики. Источник: Йеркская обсерватория Чикагского университета, любезно предоставлено AIP Emilio Segrè Visual Archives, Physics Today Collection и Tenn Collection

И все же сторонники ньютоновских методов могли ссылаться на их предсказательную силу для простых систем, которые имеют всего несколько составляющих. Однако вскоре и эти утверждения были ослаблены появлением того, что стало известно как теория хаоса. Оказалось, что некоторые детерминированные системы крайне чувствительны к начальным условиям. На эту проблему обратил внимание сам Пуанкаре. Для некоторых типов динамики малейшая неточность в начальных данных со временем разрастается, сводя к нулю шансы предсказать будущее состояние системы. Практические соображения наподобие доступа к точным данным иногда затуманивают ясное представление о будущем, которое обещает предоставить ньютоновская физика.