А умолчал он о многом, без чего невозможно понять и в полной мере оценить его труд.

Прежде всего, непонятно, как Кирик считал. Этот вопрос может показаться странным, но только на первый взгляд.

Дело в том, что в древней Руси не было нуля. Казалось бы, мелочь, цифра, которая ничего не значит. Но от нее, оказывается, зависит очень многое. Без 0, к которому мы так привыкли, для чисел каждого следующего порядка необходимы были свои особые обозначения. Мало того, Кирик, как и все его современники, использовал в качестве цифр… буквы. Соответственно, в древнерусских математических расчетах использовалось не десять привычных нам цифр, а 27!

Чтобы отличить их от букв, над цифрами ставился специальный знак, титло: ҃, а с двух сторон их отделяли точками.

Число один, например, писалось так: ·а҃·; два так: ·в҃· — и далее по порядку.

Числа второго десятка записывались так, как произносились, в обратной для нас последовательности — сначала единицы, а потом десяток: одиннадцать как ·а҃· і҃·, двенадцать как ·в҃· і҃· — и т. д. Начиная с двадцати одного запись велась в уже привычном для наших современников порядке: ·к҃· ·а҃·; ·к҃· ·в҃· — и т. д.

Тысячи, десятки и сотни тысяч, миллионы и десятки миллионов обозначались только цифрами первого порядка (единицами), которые сопровождали специальными значками:

А теперь попробуйте к числу ·г҃· і҃· прибавить ·л҃· н҃·.

Или от числа ·҂а҃· п҃· ѕ҃· отнять ·р҃· ѯ҃· д҃·.

А как ·ѳ҃· і҃· умножить на ·к҃· г҃·?

А найти остаток от деления ·҂ѕ҃· х҃· м҃· д҃· на ·ѳ҃· і҃·?

А ведь Кирик считал — и считал совершенно правильно. Как предположил Р. А. Симонов, «свои результаты Кирик получил, вероятнее всего, пользуясь какой-то разновидностью средневекового абака» — не в уме же он считал!

Основываясь на поздних источниках, выдающийся исследователь математической мысли древней Руси представлял себе это так:

Счетные элементы располагали на горизонтальных уровнях, каждый уровень соответствовал числовому разряду (в полных рядах). Разряду единиц отвечал самый нижний (1-й) уровень, разряду десятков — 2-й уровень, разряду сотен — 3-й и т. д. <…> В «Учении» числа достигают 29 миллионов, т. е. 8-го разряда. Значит, в случае использования Кириком абака указанного типа он должен был содержать не менее 8 уровней. На каждом уровне помещались счетные элементы единицы (не более четырех) и элемент пятерка, который обозначался таким же счетным элементом, но располагался слева на некотором отдалении от элементов-единиц. Какие мелкие предметы использовали в качестве счетных элементов в домонгольской Руси? Если соответствующая традиция осталась неизменной и в позднее средневековье, то ими были плодовые косточки: вишневые и сливовые[26].

Хотя, естественно, для счета могли использоваться любые мелкие предметы, например камешки.

Вот как, по мнению Р. А. Симонова, могла выглядеть «запись» числа 2 426 721 (количество дней, прошедших от сотворения мира до 1136 года) на абаке:

А вот как Р. А. Симонов реконструирует вычисление Кириком число дневных часов, прошедших «от Адама». Исходное количество дней, прошедших от сотворения мира, было умножено на число часов, содержащихся в одном дне (12). «Для нахождения искомого результата Кирику было достаточно, удвоив и удесятерив, т. е. „приподняв“ на один уровень, исходное число, сложить полученные значения». На абаке это должно было выглядеть примерно так:

При счете на таком абаке надо было уметь «переводить» элементы-пятерки в элементы-единицы и наоборот.

То, что операции с большими числами в древней Руси были не столь уж редки, свидетельствуют дополнительные статьи о резах (процентах), вставленные в XIII–XIV веках в списки Карамзинского извода Пространной Русской Правды. В них содержатся умозрительные расчеты возможных доходов за 9, 10 и 12 лет. Все они кажутся фантастическими. Назначение их непонятно. Но нас в данном случае интересует лишь собственно вычислительная сторона этих статей.

Вот лишь один пример:

О овцах. А от 20 овець и от дву приплода на 12 лет 90 000 овець и 100 овець и 12 овець, а боранов 90 000 и 100 и 12 боранов. А всего боранов и овець на 12 лет 180 000 и 200 и 23. А овца метана по 6 ногат, а боран по 10 резан, а за то за все кунами[27] 40 000 гривен и 5000 грывен и 50 гривен и 5 гривен и 40 резан. А на тех овцах и на боранех рун 300 000 и 60 000 и 400 и 40 и 6 рун; а на тех рунех кунами 7000 гривен и 200 и 8 гривен и 40 резан и 6 резан; а руно чтено по резане.

Далее приводятся аналогичные расчеты в статьях «о козах», «о свиньях», «о вепрех», «о назимых[28] свиньях», «о кобылах», «о лоньскых[29] кобылицах», «о лоньскои телици», «о пчелах», «о ржи» и т. п.

Так что на абаке можно было складывать, вычитать, умножать и делить довольно большие числа. Впрочем, с делением и тем более с нахождением остатка от деления могли возникать трудности. Конечно, можно было бы свести деление к последовательному вычитанию из делимого делителя и фиксировать конечный остаток. Однако таких операций пришлось бы совершать слишком много и при этом подсчитывать количество произведенных вычитаний. Во всяком случае, Кирик, как мы убедились, умел производить деление больших чисел и получать остатки от их деления, но как он это делал, останется загадкой.

В древнерусских источниках деление было своеобразным показателем арифметического мастерства. Даже в более поздние времена оно представляло определенные трудности. Так, в XV–XVI веках при подсчете податных земельных единиц (сох) использовалось деление только на два и на три. Как отметил Л. В. Черепнин, «в писцовых книгах соответствующие доли сохи обозначались словами „пол“, „треть“, „четверть“ („четь“), упоминаемыми должное количество раз».

Выглядело это, к примеру, так: «пол-пол-трети и пол-пол-пол-трети — итого: пол-четверти сохи». Запись этой величины в привычных нам простых дробях выглядит так:

1/2 * 1/2 * 1/3 + 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/3 = 1/12 + 1/24 = 1/8 сохи.

Вот еще один пример из «Книги сошного письма» (XVI век): «пол-трети и пол-пол-четверти и пол-пол-пол-трети и пол-пол-пол-четверти — итого: треть сохи без пол-пол-пол-четверти». В простых дробях это выглядит так:

1/3 * 1/2 + 1/2 * 1/2 * 1/4 + 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/3 + 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/4 = 1/6 + 1/16 + 1/24 + 1/32 = 5/24 + 3/32 = 20/96 + 9/96 = 29/96 сохи,

или, как записан итог в «Книге сошного письма»:

1/3 — 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/4 = 1/3 — 1/32 = 29/96 сохи.

Даже используя простые дроби, которых в древней Руси не было, производить такие расчеты непросто. И уж совсем непонятно, как древнерусские писцы подсчитывали результаты своих «пол-третей» и «пол-пол-пол-четвертей».

Так что вычисление Кириком количества прошедших многолетних циклов и номеров их текущих годов остается загадкой…

***

Второй загадкой «Учения им же ведати человеку числа всех лет» являются расчеты дробных часов. Непонятно, зачем они потребовались вообще и почему больше (точнее, меньше) «седьмых» дробных часов не бывает. В. В. Мильков видел в этом «какой-то отголосок античных знаний», хотя и непонятно, каких именно.

М. Ф. Мурьянов обратил внимание на то, что деление часа на 5 частей встречается у Беды Достопочтенного (672/673–735), Симеона Даремского (ок. 1060 — 1130) и Гонория Августодунского (ок. 1080 — ок. 1155). Сходство расчетов Кирика с работами английских средневековых компутистов[30] подметил и астроном Борис Александрович Воронцов-Вельяминов (1904–1994). Это, однако, не объясняло, зачем потребовались автору «Учения» расчеты дробных часов.

Н. В. Степанов счел их проявлением наивной страсти Кирика к расчетам:

Перерыв бывшую мне доступной литературу, где трактуется вопрос об измерении времени часами и о подразделении часов, я нигде не мог найти указаний, чтобы где-нибудь, когда-нибудь часы делили на части так, как делит их Кирик. Мне представляется поэтому, что приведенные подразделения часа — плод «числолюбия» самого Кирика.

Еще одно рациональное объяснение дробным часам предложил М. Ф. Мурьянов. Он полагал, что это связано с числовым выражением предела звуковых ощущений человека, что было важно для Кирика при исполнении обязанностей регента. М. Ф. Мурьянов писал:

Существует мнение, что столь малые доли часа не имели никакого прикладного значения и являлись не более чем плодом наивного числолюбия автора трактата. В самом деле, не исключено, что для Кирика это было <…> печальной игрой ума <…> Мы все же хотели бы предложить еще одно возможное объяснение счета времени по системе Кирика. <…> В домонгольскую эпоху должны были существовать простейшие водяные или песочные часы, так как в климатических условиях Новгорода солнечные часы будут в большинстве случаев бесполезны. При градуировке водяных или песочных резервуаров были безусловно необходимы такие дробные доли часа, как 1/5, 1/25, а может быть и 1/125. Для единиц меньших порядков, указанных у Кирика, вряд ли имелись физические приборы с визуальным отсчетом, но они, вплоть до 1/15 625 часа, вполне воспринимались акустически, как музыкальный интервал, и для Кирика, дирижировавшего хором, представляли самый непосредственный интерес. Лишь мельчайшая единица времени, 1/78 125 часа (приблизительно 1/22 секунды) являлась в известной мере умозрительной величиной, поскольку не поддавалась чувственному восприятию безошибочно. Дальнейшее дробление времени не имело никакого практического смысла,

поскольку такая величина «близка к пороговому значению протяженности времени, различимому на слух очень хорошего музыканта». Такое предположение, в частности, основывается на том, что деление до седьмых дробных часов, (1/5)7 часа (часец, как называет эту величину автор «Учения»), было обусловлено профессией Кирика — «он был регентом в Антониевом монастыре и, как все музыканты средневековья, имел дело с Пифагоровым монохордом».

В средневековой Европе монохорд (буквально — «однострунник») служил для точного построения музыкальных интервалов. Он представлял собой натянутую на некое основание (звуковую коробку) струну, которую зажимали в отмеченных местах. Изобретение этого прибора традиция приписывает Пифагору. Тот якобы перед смертью «завещал ученикам развивать теорию колебаний струны <…> хотя тогда и много позже не было возможности вычислить частоту этих колебаний, о ней судили только по характеру производимого звука, меняя длину струны». По словам крупнейшего современного специалиста в этой области Саймона Терпстры, «музыка, математика и астрономия были неразрывно связаны в монохорде».

С тем, что величина седьмых дробных часов Кирика «имеет отношение к предельно малой мере длительности звука, которая чувственно воспринимается на слух» и связана с монохордом, соглашался В. В. Мильков.

Можно добавить, что длительность в 55–62 миллисекунды, согласно современной психологии и теории информации, воспринимается человеком как собственно настоящее. Поэтому, вероятно, можно вслед за М. Ф. Мурьяновым рассматривать «Учение» Кирика как своеобразное свидетельство, что уже в его время на Руси «весь диапазон хронометрии, непосредственно доступный органам чувств человека, был <…> освоен и осмыслен».

Однако наиболее правдоподобное объяснение того, для чего понадобилось Кирику в математико-астрономическом трактате затрагивать вопрос о дробных часах — вплоть до седьмых дробных, — предложил В. П. Зубов. Он предположил, что дробные доли часа могли понадобиться для вычислений, связанных с кругом Луны. Вероятность этого, в частности, подтверждается гораздо более поздним «Шестокрылом» — астрономическим трактатом XIV века, посвященным расчетам лунных фаз, солнечных и лунных затмений. При этом, в частности, используются дробные часы, наименьшими из которых являются «окомигненья».

***

Не вполне понятны и упоминания Кирика о расчетах Пасхи. Как уже говорилось, автор «Учения», к нашему сожалению, не объяснил, каким способом он использовал для этого круги Солнца и Луны. По этому поводу Н. В. Степанов заметил:

Это интересно было бы знать, ибо существует несколько способов вычисления пасхи по этим факторам. По способу вычисления мы могли бы хотя отчасти точнее судить о строе древнерусской пасхалии. Результат вычисления, конечно, при разнообразных способах вычисления был бы один и тот же, но мы имели бы ключ к раскрытию источников, откуда Кирик почерпал свои сведения.

Между тем Кирик умел не только самостоятельно определять даты празднования Пасхи. Ему, безусловно, был известен и великий индиктион (полное обращение за 532 года календарных чисел, на которые приходится Пасха), о чем он сам пишет в статье о «большом круге». Очевидно, однако, что Кирик не только знал о его существовании, но и пользовался им. Об этом свидетельствует упоминание, что следующая самая ранняя Пасха будет через 248 лет. На основании этого Н. В. Степанов пришел к выводу:

В руках Кирика была полная таблица великого индиктиона, ибо при наличных средствах вычислить, что следующая пасха 22 марта будет чрез 248 лет, для Кирика трудно. Возможно, что он сам составил эту таблицу, но вероятнее всего, что таблица великого индиктиона у него была готовой.

Действительно, вряд ли Кирик для такого заключения дополнительно провел 248 непростых вычислений. Проще было обратиться к уже готовой таблице обращения великого индиктиона.

Мысль о том, что для нахождения даты празднования Пасхи Кирик, скорее всего, пользовался византийскими таблицами, поддержал немецкий исследователь Генрих Зименс. Он обратил внимание на то, что автор «Учения» говорил не о вычислении, а об «обретении» или нахождении им Пасхи с помощью чисел лунного и солнечного кругов. При этом немецкий исследователь добавил: «Кирик не только догадывался о правилах их [византийских таблиц] составления, но и сам мог бы составить подобные или же вычислить дату Пасхи и без их помощи», — и предложил один из возможных вариантов составления автором «Учения» подобных таблиц и вычислений.

***

Не меньше вопросов вызывает также загадочное упоминание и расчет Кирика «поновления» стихий. Обычно этот пассаж получает лишь самую общую характеристику. Так, В. В. Мильков и Р. А. Симонов отмечают:

Раздел о поновлении стихий одними исследователями связывается с влиянием античной концепции стоиков, а другими — с пифагорейцами, идеи которых могли распространяться благодаря гностическим сектам. Высказывалось предположение и о возможном восприятии в данном случае более широкого спектра античного наследия.

В. В. Мильков добавляет:

Внутри сугубо научного содержания «Учения» присутствует философско-мировоззренческая проработка категории времени, а вместе с этим весьма оригинальная концепция, объясняющая закономерности природной сферы бытия <…> Сформулированная Кириком концепция имела античные корни и была широко распространена в древнерусскую эпоху <…> Раздел о поновлении стихий одними исследователями связывается с влиянием античной концепции стоиков, а другими — с пифагорейцами, идеи которых могли распространяться благодаря гностическим сектам. Высказывалось предположение и о возможном восприятии в данном случае более широкого спектра античного наследия.

Однако откуда именно Кирик мог позаимствовать как сами рассуждения о «поновлении», так и конкретные периоды обращения стихий, остается неизвестным. Признается только, что «протограф, с которого был сделан русский перевод, конечно, не может быть напрямую античным».

Действительно, выделенные Кириком четыре стихии напоминают представления Эмпедокла о том, что все сущее состоит из земли, воздуха, огня и воды, либо учение Аристотеля, который к этим четырем элементам добавлял эфир. Однако перечень стихий в «Учении» не совпадает с ними, да и временны́е периоды обновления их, которые «не наблюдались на опыте и недоказуемы логически», не встречаются у античных авторов.

То, что расчеты обращения стихий были актуальны для древнерусских книжников, свидетельствуют подобные расчеты, обнаруженные историком религиозно-философской и научной мысли Николаем Константиновичем Гаврюшиным в целом ряде сборников середины XV–XVIII веков. В них статьи о «поновлениях» воспроизведены в более полном виде, причем порядок обращения стихий несколько изменен: сначала указан период восстановления земли, а затем неба. В самом раннем из них, сборнике энциклопедического содержания 1446 года, содержится расчет, произведенный кем-то в 1138 году, то есть всего через два года после Кирика. «Несомненно, что источник всех этих текстов общий, но связаны ли сборники XV в. с „Учением“ Кирика общей славянской рукописной традицией или только греческим оригиналом, мы пока заключить не можем», ясно лишь одно: «традиция, восходящая к Кирику Новгородцу и еще далее — к античной натурфилософии, на Руси пользовалась неизменным вниманием, являясь важным звеном космологических представлений», — заключает Н. К. Гаврюшин. Поэтому можно согласиться с выводом В. В. Милькова, что «явление Кирика не было исключительным для Руси, а подписанный его именем текст не был случайно пересажен с европейской или византийской почвы на бесплодную русскую».

Остается лишь добавить, что расчет «поновлений» стихий, возможно, имел для Кирика и его коллеги (или соперника), оставившего аналогичную запись в 1138 году, «практический» смысл. Дело в том, что продолжение всех четырех циклов выводило на их одновременное завершение в 6720 (1212) году. В этом же году завершались очередные 240-й круг Солнца и 448-й индиктовый цикл. Мало того, 1212 год был годом кириопасхи, когда Пасха выпадала на Благовещение, что, согласно апокрифам, должно было свидетельствовать о втором пришествии Спасителя. Такое знаменательное стечение дат вряд ли ускользнуло от внимания Кирика, если он пользовался таблицами великого индиктиона. И именно в этом году, как считают специалисты по истории древнерусского летописания, во Владимире появился летописный свод, представленный в Радзивиловском и Московско-Академическом списках, а также в Летописце Переяславля-Суздальского. А как мы помним, многие (если не все) летописные своды создавались в преддверии таких дат.

Все это дает достаточные основания для гипотезы, что 6720 (1212) год рассматривался Кириком как очередная потенциальная дата конца света. Следовательно, в «Учении» можно с определенной долей вероятности видеть не только досужие математические упражнения новгородского монаха, но и попытку «научно» определить год, когда человеческая история может завершиться.

Такой вывод противоречит сложившемуся взгляду на «Учение» Кирика.

Е. Е. Голубинский, например, считал, что эта работа «не имеет практического значения ни для истории, ни для чего бы то ни было и написана единственно для бесцельного обнаружения учености».

По мнению Т. И. Райнова, Кирик, «кажется, единственный из известных нам до сих пор русских авторов киевского периода, не вставлявший свои календарно-астрономические рассуждения в богословско-символический контекст». Р. А. Симонов, посвятивший изучению рассматриваемого трактата значительную часть своей жизни, также полагал, что Кирик «рассматривал хронологию как средство, в какой-то степени освобождающее человека от власти Божественного провидения, как средство, находящееся у него (человека) на службе», что тот «в „Учении“ как бы отказался от хронологической эсхатологии <…> в пользу повседневной практики календарных расчетов».

С такой точкой зрения соглашался В. В. Мильков: «Озвученная Кириком установка на финализм в трактате никак не связана с эсхатологическими ожиданиями конца света. Определенная доля бытийного оптимизма может быть отнесена на счет цикличности, которая являлась прообразом вечности». Хотя, отмечал исследователь, «креационистски-эсхатологическая рамка бытия мира <…> в „Учении“ обозначена достаточно четко», а «восприятие времени по начально-конечной его модели отражено в заключительной части трактата, где приводятся собственные расчеты Кирика».

Обращение к целому ряду деталей, на которые обращал внимание Кирик, судя по всему, противоречит приведенным точкам зрения. Все это скорее свидетельствует о том, что автор «Учения» пытается понять, когда же все-таки наступит конечная дата: в рассчитанном им 6720 (1212) году или же в 7000-м, на который ориентировали его использованные «семитысячники»? Видимо, Кирик достаточно осторожен в собственных расчетах. Быть может, поэтому он не дает их в явном виде, предоставляя внимательному читателю самому сделать вывод о том, когда может наступить второе пришествие Спасителя.