С тех пор я преподавала математику в школах Лондона и Калифорнии и изучала, как это делают в разных местах Англии и США. Мой собственный опыт преподавания и проведенные мною исследования демонстрируют ценность разнообразных математических подходов для учебы и успеваемости учащихся324. Однако есть и другие преимущества, не менее важные, чем успеваемость. Одно из них я назвала «отношенческим равенством»: это форма равенства, которая возникает, когда ученики начинают рассматривать математику как возможность сотрудничества, а не соревнования, учатся относиться друг к другу с уважением и учитывать другие точки зрения в процессе обучения325. Когда мы прививаем детям идею сотрудничества, тщательно выстраивая групповые нормы уважительных отношений, мы вносим огромный вклад в развитие справедливого общества. Одной из целей школы должно стать воспитание молодых людей, которые относятся друг к другу с уважением; которые ценят вклад других людей, с которыми общаются, – независимо от расы, класса, пола или любых других различий; которые руководствуются чувством справедливости, учитывая потребности других членов общества. Первый шаг к воспитанию граждан, ведущих себя подобным образом, – это создание классов, в которых ученики учатся вести себя подобным образом.
В дополнение к этой общественной пользе, люди пробуют ценить математическое разнообразие и все, что оно может им дать. Участники разных исследований, которые я проводила, отмечают, что изучение математического разнообразия помогает им добиваться высоких результатов. Например, Сет занимался математическим анализом в классе, принимавшем участие в исследовании различных подходов к анализу, которое проводили мы с моим коллегой по Стэнфорду Джимом Грино326. Ученикам в классе Сета предлагалось совместно обсуждать идеи; по его словам, этот опыт помогал ему и позже, когда он работал один, – он уже знал, что в случае застревания нужно смотреть на задачу под другим углом. Коллективная работа над задачами в классе научила его ценить математическое разнообразие. То, о чем рассказывал мне Сет, резко контрастировало с мнением учеников, которые трудились над узкими вопросами в одиночку327. Однако такой подход весьма редко встречается в математической практике учащихся, особенно на более высоких уровнях.
Другие дети помогли мне осознать еще одну ценность математического разнообразия. Лакинита, 13-летняя ученица американской средней школы, приехала в первый летний математический лагерь, где я преподавала. Один из школьных округов организовал подобные лагеря для неуспевающих школьников, и посещение сделали обязательным. В табеле Лакиниты утверждалось, что она «чересчур экспрессивная». Мы же увидели, что она вдумчивая и увлеченная девочка, готовая делиться своими мыслями, что мы высоко ценили.
В конце летнего лагеря Лакинита противопоставила полученный опыт изучению математики в обычной школе:
Словно в наших школах все было совсем черно-белым, а все, что люди делают здесь, – очень цветное, очень яркое. Вы видите совершенно разные пути развития. Будто можно посмотреть так, потом повернуть голову и вдруг увидеть совершенно другую картину328.
Описание Лакиниты прекрасно отражает еще одну ценность математического разнообразия, помимо успеваемости и вовлеченности: развитие у учащихся математической восприимчивости, чему в школьной системе уделяется слишком мало внимания329. Некоторые люди предпочитают «черно-белую» математику, но значительно больше тех, кого привлекает красота «цветной» и «яркой» математики.
В одном из исследований подходов к изучению математики в старших классах школ я познакомилась с Тоби, 17-лет-ним выпускником Гриндейлской средней школы, который изучал математику по программе «Взаимосвязанная математика» (IMP); при таком подходе предмет преподают как единую взаимосвязанную дисциплину, а не отдельно алгебру и геометрию – взяв за основу разнообразные сложные математические ситуации330. Наблюдая за ходом занятий, я видела, что школьники работают комплексно, развивают чужие идеи и совместно находят решения. Часто они увлекались и при обсуждении различных подходов к решению задач переходили на математический язык высокого уровня. Когда я пригласила своего коллегу из Стэнфорда Джима Грино, всемирно известного специалиста по когнитивной психологии, поприсутствовать на одном из занятий, он описал его словом «волшебство». В конце этого исследования я попросила Тоби описать мне математику своими словами:
Математика действительно красива, в ней есть потрясающие паттерны. Большинство произведений искусства так или иначе состоят из паттернов. И поэтому я написал много стихов и песен об этом. Полиритмы – это вещь, которая как бы сочетает для меня музыку и математику, поскольку это как паттерны, для которых требуется несколько тактов, потому что они не умещаются на четырех, и это похоже на дробь, потому что если вы возьмете достаточно большую дробь, то там будут общие знаменатели. И ты видишь, как паттерны могут быть интересными и художественными. Математика – не просто наука, это целый мир взаимосвязей.
Все трое процитированных мною школьников говорят о математике нетипично – как о чем-то красочном, даже красивом, и как о предмете социальном, в котором пониманию сопутствует многоплановый взгляд на идеи. Они описывают математику как набор паттернов, освещающих мир искусства и музыки. Лакинита, которой было всего тринадцать лет, прекрасно передала математическое разнообразие: «Можно посмотреть так, потом повернуть голову и вдруг увидеть совершенно другую картину».
Такие представления о математике отражают ее истинную суть, но, к сожалению, они встречаются редко. Более того, наша стандартная узкая версия математики, воспроизводимая в классах по всей стране, заставляет людей, думающих по-иному, верить, что с ними что-то не так, что они неполноценные331. Но мы можем создать нечто более совершенное – математику, которая приветствует различные способы видения и мышления и позволяет людям создавать математические связи и развивать глубокое понимание. Ученики, чьи слова я привела – обычные дети из обычных школ, и каждый из нас может помочь изучающим математику – и самим себе – достичь чего-то столь же прекрасного и значимого.