Эта модель намеренно абстрактна, чтобы ее можно было применять в разных сферах преподавания; я надеюсь, что различные примеры, которые я привела, привнесут в нее определенные детали и яркость, которые помогут этим идеям ожить в разных классах и обстоятельствах. Хороший способ ее применения на практике, как излагалось в предыдущих главах, – изменить стандартный порядок обучения, чтобы учащиеся получали задания до того, как им сообщат новые идеи. Каким образом вы будете сочетать эти компоненты, зависит от конкретной ситуации. Сама модель – напоминание о том, что, какой бы подход к обучению ни применялся, он должен включать в себя как можно больше различных элементов.

Как гласит подпись к рисунку, такой метод способствует компетенциям и равенству. Математическое образование крайне неравноправная система; невозможно не заметить тот факт, что лишь немногие учащиеся переходят на более высокий уровень, причем те, кому это удается, не отражают разнообразие нашего общества²⁹⁵. Учеников африканского и латиноамериканского происхождения «придерживают», даже если они имеют такие же результаты, как их белые и азиатские сверстники, что наглядно продемонстрировала одна юридическая группа из Сан-Франциско²⁹⁶. Это неприемлемо, поэтому главная цель программы California Mathematics Framework 2023, к которой имела отношение и я, – обратить внимание на это неравенство и предложить способы для борьбы с ним²⁹⁷. Некоторые лица противились этому проекту и распространяли дезинформацию о нем. Но когда этот вопрос вынесли на рассмотрение Совета по образованию штата Калифорния в Сакраменто, программа получила широкую поддержку у присутствовавших педагогов, а также во всех окружных управлениях и организациях по обеспечению равенства со всего штата. В июле 2023 года Совет единогласно проголосовал за ее реализацию.

В своей карьере мне посчастливилось поработать с учителями, которые озабочены ликвидацией неравенства в процессе своего преподавания математики и добились невероятного успеха в сокращении или полном устранении расового, гендерного и социального неравенства на своих занятиях²⁹⁸. Такие учителя придерживаются подхода, показанного на рис. 8.1, потому что, как оказывается, когда мы открываем математику с другой стороны и поощряем разнообразные способы взаимодействия с этим предметом и его восприятия, успех приходит к гораздо большему количеству учеников. Узкая математика нанесла огромный ущерб, когда поделила учеников на успевающих и нет, и тем самым вытеснила большинство, отрезав путь к пониманию и оставив лишь «избранных»²⁹⁹. К счастью, мы можем изменить ситуацию к лучшему. Диверсификация математики способствует вовлечению более разнообразных групп учащихся, что бросает вызов даже самому сильному неравенству.

Такая модель преподавания используется и в других странах, добившихся высоких результатов. Так, швейцарский исследователь Стефан Кливаз и японский исследователь Такеши Миякава изучали два любопытных случая в Японии и Швейцарии³⁰⁰. Для начала они проанализировали структуру обычного урока в Японии и выделили следующие пункты:

• Введение: излагается задача.

• Исследование: учащиеся изучают ее и работают в группах над ее решением.

• Обмен мнениями: идеи выносятся на общее обсуждением всем классом.

• Синтез: подводится итог и систематизируется необходимое для дальнейших операций математическое знание.

Подобная структура включает в себя тот самый принцип, о котором мы столько ранее говорили – методы предлагаются учащимся уже после того, как они самостоятельно исследовали эти идеи в ходе выполнения заданий³⁰¹. Этап, который японские преподаватели называют «исследованием», – это время, когда учащиеся могут проявить свою интуицию и смекалку. Только после того, как школьники поделились своими мыслями в процессе обмена мнениями, учителя рассказывают о новых методах. В ходе этого исследования Кливаз и Миякава обнаружили, что учителя в Японии больше времени тратят на вовлечение учеников в обсуждение на уроке, нежели швейцарские преподаватели.

В Японии дискуссию в классе называют нерияги[53] и считают самой важной частью урока.

Японская схема урока имеет общие черты с моделью Вимана, которую я описывала в предыдущей главе, – в частности, возможность для учеников рассмотреть и обсудить идеи, а затем изучить новые методы в ходе последующей дискуссии³⁰². Именно так проходили занятия в школе Феникс-Парк, и именно эту структуру мы используем в летних лагерях Youcubed, где сейчас преподают учителя из США и всего мира, а ученики добиваются впечатляющих результатов: мы начинаем с того, что предлагаем школьникам насыщенные задания; затем, после того как они поработают и столкнутся с потребностью в новых знаниях, мы даем им их в составе малых групп или в ходе обсуждения целым классом³⁰³.

Несколько лет назад я получила письмо от Алексея Верницкого, профессора математики из Эссекского университета в Великобритании, который прочитал одну из моих книг³⁰⁴. Он рассказал, как вдохновился на новые методы в своем преподавании и перешел от узкой математики к задачам, которые предполагают математическое разнообразие:

Я прочитал «Математическое мышление» и с тех пор уже никогда больше не читал традиционных лекций. Меня радует новый способ преподавания, и мне нравится видеть, как светлеют лица студентов, когда они работают над «боулеризованными» заданиями вместо традиционных математических задач.

Затем Алексей в сотрудничестве с нейроученым и психологом провел исследование разницы между узкими и разнообразными математическими заданиями: ученые снимали электроэнцефалограммы мозга студентов и отслеживали активность тех областей, которые связаны с мотивацией. Это междисциплинарное сотрудничество дало потрясающие результаты. Во-первых, обнаружилось, что у учащихся, которые получали в тестах стандартные математические задачи, интерес к продолжению теста падал по мере того, как они отвечали на вопросы. Напротив, у учеников, отвечавших на более разнообразные математические вопросы, мотивация в процессе работы росла³⁰⁵.

Кроме того, ЭЭГ-исследования обнаружили более сильные паттерны активности, связанной с мотивацией и вовлеченностью, в мозге тех учащихся, которые решали разнообразные математические задачи, – активность смещалась в левую часть префронтальной коры. В предыдущих работах было показано, что активность мозга, связанная с мотивацией, снижается по мере того, как учащиеся решают стандартные сложные задачи, но повышается, когда они имеют дело с разнообразными математическими заданиями. Учитывая эти убедительные свидетельства, исследователи пришли к выводу, что задачи, которые предполагают различные способы решения, включая наглядные, создают положительный опыт обучения для учащихся³⁰⁶.

Алексей очень тщательно продумывает задачи по математике: он рассматривает их как возможность для студентов увидеть и усвоить важные математические принципы. Он дает интересные и сложные задания и предлагает обсуждать их в парах и группах. Он предвидит, что задания покажутся им сложными, однако вместо того, чтобы предварительно учить студентов тому, что нужно, он использует важный принцип – ждет, когда у студентов возникнет потребность в новых знаниях, и только потом излагает их. Алексей заметил изменения в вовлеченности своих учеников и радуется моментам, когда их лица светятся, пока они занимаются такой математикой.

Аналогичным образом группа инженеров из Южной Африки проверила предложенные мною идеи об открытой и разнообразной математике через задачи, используемые в инженерных программах колледжей. Они обнаружили, что все идеи применимы к университетской математике, и поделились примерами того, как они трансформировали инженерные задачи, сделав их более разнообразными³⁰⁷.