Не всем школьникам преподают математику так осмысленно; я неоднократно становилась свидетелем проблем, с которыми сталкиваются ученики, когда их не учат подходить к математике как к концептуальному и связному предмету. Однажды я наблюдала, как великолепная учительница Кэти Хамфрис работала с группой учеников средней школы в Калифорнии (их специализацией был язык, а не математика)²³⁹. Кэти пригласили провести уроки, посвященные дробям; школьный учитель объяснил ей, что дети испытывают трудности с изучением этой темы. Кэти составила план визуального и концептуального изучения дробей. Во время одного из уроков Кэти показала классу изображение, приведенное на рисунке 6.7, и задала простой, на ее взгляд, вопрос: «Какая доля этой фигуры закрашена?»

Рис. 6.7. Одна четверть.

Кэти бросилось в глаза, что руки поднимают немногие дети, и то неуверенно. Поэтому она предложила обсудить проблему в небольших группах. Именно тогда я услышала одно из самых увлекательных и познавательных математических обсуждений в своей жизни. Вот его часть:

ХУГО: Я думаю, одна вторая. Здесь две фигуры, и одна из них закрашена.

ЛУКАС: Я думаю, что треть.

СОФИЯ: Я думаю, что это одно целое.

ХУГО: Нет, половина – одна из двух частей.

ПАБЛО: Я думаю, что одна четвертая.

ЛУКАС: Почему?

ПАБЛО: Ну, если представить себе прямые линии вот здесь и вот здесь… (он делит нарисованную фигуру, рисуя карандашом в воздухе линии, рассекающие ее по горизонтали и вертикали).

ЛУКАС: Но здесь нет никаких прямых линий. Кроме того, она не сказала «докажите», она просто спросила: «Какая здесь доля?»

Меня не удивили ответы «половина» или «треть», поскольку такие ошибки весьма распространены. Заинтересовало меня то, что, когда Пабло дал четкое и правильное объяснение, показав линии, которыми можно разделить фигуру на четыре равные части, Лукас возразил, указав, что никаких видимых линий нет.

Здесь мы увидели, как ученик следовал тому, что считал правилами математики, – отвечать на поставленный вопрос, а не менять его, например добавляя линии. Однако предложение Пабло относится к самым важным математическим действиям, которым может научиться школьник, – это называется гибкостью формы. Точно так же, как гибкость числа позволяет нам при вычислениях менять числа на более удобные, гибкость формы позволяет нам перемещать части фигуры или добавлять линии, чтобы стало понятнее. Майкл Баттиста называет это пространственным структурированием²⁴⁰, и оно тесно связано с чувством числа²⁴¹. Лукас продемонстрировал, что внимательно следит за лексикой учителя, заявив, что, возможно, гибкий подход Пабло годился бы, если бы их попросили доказать ответ, а не просто назвать дробь. Такая реакция сказала мне, что Лукас научился следовать правилам, и их усвоение помешало ему воспринимать точные математические рассуждения Пабло.

Урок стал еще интереснее, когда Кэти попросила класс поделиться своими рассуждениями. К доске вышел Хесус, который дал замечательно четкое объяснение. Он показал фигуру, разделенную на четыре части, и сказал:

Я думаю, что в ответе одна четвертая, потому что если разделить вот здесь и здесь (он делит квадрат на доске на четыре части), то получится четыре квадрата. У всех них одинаковая площадь, и если закрасить один, то получится одна четвертая.

Кэти спросила класс, доказал ли свой ответ Хесус, объяснив, что если нет, то нужно задать вопрос, ответ на который их убедит; она предложила классу «заставить его нести ответственность за свое доказательство». И тогда Хорхе задал Хесусу потрясающий вопрос. Он спросил Хесуса: «Что это за правило?»

Класс в напряжении ждал. Хесус у доски неуверенно пожал плечами. Хорхе продолжал: «Откуда ты знаешь, что ты прав, если не знаешь правила?»

Подобные моменты восхищают меня, поскольку они иллюстрируют – посредством обсуждения в классе – то, что исследователи назвали «когнитивной интерференцией»²⁴². Хорхе, Лукаса, а также, вероятно, многих других их одноклассников учили правилам работы с дробями. Они настолько прочно закрепились в сознании учеников, что блокировали их способность мыслить концептуально и обращаться к математическим рассуждениям, которые являются ключевыми для понимания. Школьники словно не верили, что математические рассуждения и осмысление – это законные действия; они считали, что нужно просто следовать правилам.

Аналогичный процесс происходит, когда на ранних этапах изучения арифметики и дробей детям рассказывают про алгоритмы. Я видела, как учителя активно развивают у своих учеников чувство числа, но, когда они обучают их алгоритмам, все осмысление школьников как будто испаряется, и они начинают слепо следовать правилам, которым их обучили (я обсуждала это в главе 5 применительно к дробям). Я не против преподавания алгоритмов, но считаю, что детей зачастую знакомят с ними слишком рано, когда школьники еще не способны понять их по-настоящему. Это переключает учеников в режим исполнения правил и, похоже, уводит их в сторону от важного концептуального мышления.

Долорес Песек и Дэвид Киршнер, исследователи в сфере математического образования, заинтересовались концепцией когнитивной интерференции после того, как неоднократно столкнулись с ситуацией, когда правила, заученные школьниками, мешали им мыслить математически²⁴³. Один из случаев был связан с изучением алгебры²⁴⁴, второй – с десятичными дробями²⁴⁵, а третий – с обыкновенными дробями²⁴⁶. Подобные ситуации подтолкнули Песек и Киршнера ввести и тщательно изучить понятие когнитивной интерференции: это проблема, возникающая, когда «предыдущее понимание в какой-либо области настолько сильно, что спонтанно проникает в дальнейшее обучение»²⁴⁷.

Чтобы изучить этот феномен, который, по их предположению, может вызывать проблемы с изучением математики у многих учеников, они провели контролируемое исследование.

Песек и Киршнер рассмотрели те причины, которые мешают учителям использовать концептуальный подход. Одни ссылались на нехватку времени, другие утверждали, что к концептуальному обучению можно прибегать только после того, как ученики выучат методы и правила – если будет время. Для эксперимента ученые взяли шесть классов пятиклассников и разделили детей на две группы случайным образом. Обе группы изучали площадь и периметр квадратов, прямоугольников, треугольников и параллелограммов. Одной группе досталось восемь уроков: пять уроков традиционного обучения, а затем три урока концептуального обучения; у другой провели только три урока концептуального обучения. Обеим группам организовали тестирование – перед экспериментом, после него, а затем еще одно спустя некоторое время. На уроках организовали наблюдение, а со школьниками вели беседы.

При традиционном обучении детям показывали формулы для нахождения периметра и площади квадратов, прямоугольников, треугольников и параллелограммов. Учитель объяснял, затем ученики тренировались в группах. В конце каждого урока учитель повторял формулы.

При концептуальном обучении, которое проходили обе группы, школьников просили придумать собственные способы находить площадь и периметр с учетом взаимосвязи между этими понятиями. Ученикам предлагалось рисовать или измерять собственными руками, по квадратикам или с помощью геодоски[44]; они изучали идеи, применяя разнообразные подходы.

Группа с традиционным обучением училась восемь дней (многие учителя считают такой срок идеальным: пять дней на изучение методов и правил и три дня на концептуальную работу). Другая группа три дня занималась только концептуальным обучением. Результаты ошеломляли: школьники, которые учились всего три дня, показали значительно более высокие результаты во всех заданиях, нежели те, кто потратил восемь дней²⁴⁸.

Когда исследователи стали выяснять причины столь впечатляющих результатов (посредством устных опросов и тестирования), они обнаружили, что у школьников, обучавшихся традиционным способом, сформировались устойчивые представления. Например, они ассоциировали слово «внутри» с площадью, а «снаружи» – с периметром. Когда их спросили, какую формулу они применят для вычисления количества краски, необходимого для покраски комнаты, шесть школьников ответили, что не знают или что им нужно знать периметр, потому что «стены не имеют площади, они идут вокруг». Исследователи пришли к выводу, что заучивание правил мешало детям усваивать понятия – вероятно, потому что запоминание формул и правил требует серьезных умственных усилий, и учащиеся сконцентрировались на этом, а не на том, чтобы думать, рассуждать и решать задачи.

Описанный эксперимент представляется особенно важным в связи с тем, что многие учителя полагают, что у них нет времени на глубокое и концептуальное вовлечение учащихся. Результаты эксперимента показывают, что на такое вовлечение уходит значительно меньше времени (три восьмых), а потраченное время используется более эффективно.

Конечно, концентрация внимания на правилах влечет за собой и другие проблемы, как продемонстрировал выше Хесус, когда возражал против концептуального объяснения. Его вопросы «Что это за правило?» и «Откуда ты знаешь, что ты прав, если не знаешь правила?» демонстрируют, что, когда ученики считают, что их роль в математике заключается в запоминании и выполнении правил, у них развивается нежелание прибегать к концептуальному мышлению, а кто-то даже считает, что это «не разрешается».

Некоторые преподаватели, посмотревшие мои видеоролики с вовлечением учеников в концептуальное обучение, говорили мне, что не могут позволить себе обучать подобным образом, поскольку их классы слишком велики. После этого я даже обрадовалась, когда сотрудники инженерного факультета Стэнфорда пригласили меня прочитать летний курс анализа для группы будущих первокурсников, насчитывавшей девяносто девять учеников. Поскольку слушателей было много, я пригласила поучаствовать членов моей команды из центра Youcubed – роскошь, которую могут себе позволить немногие учителя²⁴⁹. В то лето мы поставили себе цель учить, опираясь на подход, основанный на крупных идеях и связях, создавая многочисленные возможности для изучения анализа через мысленные представления. Нашу работу осложняло (но и делало более интересной) то, что одни учащиеся изучали анализ в школе на высоком уровне, а другие не имели с ним дела вообще. Различия в мышлении и понимании людей – это проблема, с которой сталкиваются все преподаватели, вне зависимости от того, на каком уровне они преподают или в какой степени школы группируют учащихся по предыдущим результатам. Все ученики разные, и я рассматриваю это различие как замечательный ресурс для создания стимулирующей среды преподавания и обучения.

В главе 3 я рассказывала о Стиве Строгаце, специалисте по прикладной математике из Корнеллского университета, который посвятил большую часть своей жизни и работы тому, чтобы делиться красотой математики со своими учениками и другими людьми²⁵⁰. Одна из целей Стива перекликается с моей – рассказывать о математике как о предмете из понятий и крупных идей. Стив занимается этим и многим другим в своей книге о математическом анализе под названием «Бесконечная сила»²⁵¹. Если вы знаете кого-нибудь, кто изучает или преподает анализ, рекомендую вам рассказать им об этой книге, поскольку она дает читателям то, чего не найти во многих курсах анализа, – концептуальное представление о масштабных идеях. Вот что Стив говорит о больших идеях – в противопоставление типичным методам изучения анализа:

К счастью, всю эту тему пронизывает одна значимая красивая идея. Как только мы ее осознаем, вся конструкция анализа сложится в единую картину, превратившись в вариации на одну общую тему. Увы, большинство курсов анализа хоронят эту тему под лавиной формул, процедур и вычислительных ухищрений.

Если подумать, то я никогда не сталкивался с тем, чтобы кто-то ее подробно объяснял, хотя это часть культуры анализа и каждому специалисту она, естественно, известна. Давайте назовем это «принципом бесконечности». Он будет направлять нас в нашем путешествии точно так же, как направлял развитие самого анализа, – и концептуально, и исторически[45].

Интересно, что Стив упоминает масштабную идею бесконечности, указывая, что с нею знакомы все специалисты, но при этом отмечает, что он никогда не видел, чтобы в курсе анализа ее выделяли. Я готова поспорить, что все специалисты не только знают эту идею, но и имеют мысленные представления, которые сразу же приходят на ум, когда они размышляют о крупных идеях в анализе.

Когда будущие студенты Стэнфорда пришли к нам на летние занятия анализом, стало ясно, что их знакомили не с этой идеей и не с концептуальным представлением, а с методами, правилами и процедурами. Мы с командой решили предложить учащимся крупные идеи анализа, полагая, что это будет полезно даже для тех, кто уже проходил курс анализа в школе, поскольку обеспечит те концептуальные рамки, в которые они смогут поместить свои знания методов и правил, и даст им столь необходимые возможности для развития мысленных представлений и видения математических связей. Ну, а для тех, кто никогда не изучал анализ, такой подход обеспечит доступное и осмысленное знакомство с его идеями. Труд Стива мы использовали в качестве учебной книги, а его главы помогли нам спланировать занятия, посвященные крупным идеям. Стив описывает масштабную идею анализа следующим образом:

Таким образом, анализ действует в два шага: разбиение и восстановление. С математической точки зрения первый всегда включает бесконечно малое вычитание, используемое для оценивания разницы между частями.

Соответственно, эта часть предмета называется дифференциальным исчислением[46]. Второй шаг – процесс сборки – всегда включает бесконечное сложение, объединяющее части обратно в единое целое. Эта часть предмета именуется интегральным исчислением[47] ²⁵².

Чтобы побудить учеников задуматься над крупной идеей разрезания на мелкие части и восстановления целого (а также создать ментальные модели для этого процесса), мы адаптировали урок, который я наблюдала в школе Рейлсайд. Мы предложили ученикам придумать методы для нахождения объема лимона. Одно из основных применений анализа – нахождение объемов сложных криволинейных тел²⁵³. Ранее при изучении анализа учащиеся могли рисовать фигуры, но нынешнее задание дало им возможность подержать сложное тело в руках и внедрить идеи анализа в собственное построение ментальной модели для этого тела. Мы разделили учеников на группы, выдали каждой группе по лимону и предложили им поэкспериментировать с нахождением объема этого плода, предоставив некоторые инструменты для работы – нож, разделочную доску, вазы с водой, нитки, электронные штангенциркули, массу для лепки Play-Doh, транспортиры и линейки²⁵⁴.

На рисунке 6.8 представлены некоторые из идей, предложенных учащимися для определения объема лимона.

Когда будущие студенты изучали тем летом основные идеи анализа, им понравилось наличие в руках физических моделей, реальных объектов, таких как колеса и снежинки, и применение методов, которые многие из них уже изучали в школе. Одна из учениц, София, объясняла:

Первой задачей, которая действительно открыла мне глаза, стала задача о лимоне. Моя группа весьма творчески осмыслила три использованных нами метода, и физические манипуляции с лимоном помогли мне понять, почему разные методы хорошо работают.

Но в конце, когда мы обсуждали задачу всем классом, я осознала, что все решения моей группы, по сути, просто разные способы выполнения суммирования и интегрирования. Тогда я впервые увидела формулу интегрирования и график, и они действительно обрели для меня смысл. С тех пор у меня высокие результаты в классе. Сейчас мне кажется, что если я очень постараюсь и буду думать достаточно креативно, то смогу разобраться в чем угодно²⁵⁵.

Рис. 6.8. Различные методы визуализации суммирования и интегрирования.

Работа с лимоном и знакомство с математическим разнообразием подтолкнули эту девушку к важной мысли, что она может научиться чему угодно, что позволило ей показывать «высокие результаты» на других занятиях. В ответе Софии также прослеживается важный подход к преподаванию, о котором я расскажу в следующей главе: учащиеся исследуют идеи, а затем в ходе дискуссии, в которой участвует весь класс, преподаватель предлагает методы, идет поиск связей, обсуждение и осмысление.

Некоторые студенты считали использование физических объектов, которые мы выдавали им для воплощения идей анализа (лимоны, мячи, снежинки и минибайки)²⁵⁶, «элементарной» вещью, но все равно отмечали, что этот опыт позволил им глубже вникнуть в те понятия, с которыми они раньше сталкивались только в виде формул для запоминания²⁵⁷. Еще один будущий студент, Алек, рассказал нам, что раньше предполагалось, что он просто «примет истину» математических идей; теперь же «возня с блоками, веревками и лимонами, как в начальной школе», позволила ему по-настоящему разобраться в материале. Это помогло ему развить концептуальное понимание крупных идей анализа и овладеть ими.