Еще одна цель нашей работы по заказу штата – представить математику в виде набора взаимосвязанных идей. Если вы попросите любого вдумчивого математика описать этот предмет, он назовет небольшое количество важных идей и множество связей, аналогичных сетевым картам, изображенным на рисунке 6.2 (с. 196), и опорным точкам, описанным нейробиологом Джеффом Хокинсом. Но когда за материал берутся авторы стандартных программ, они режут эту карту на крохотные кусочки, которые затем передают учителям в виде сотен стандартов для учебных программ. Неудивительно, что школьники считают математику бессвязной дисциплиной; именно так ее преподносят учителя. Те же самые не соединенные между собой мелкие стандарты авторы учебников берут за основу при составлении вопросов. В своей работе для штата мы не только изложили крупные математические идеи, но и продемонстрировали отношения между ними, возвращаясь к взаимосвязям между различными концепциями, которые показывают, как идеи могут развиваться на основе друг друга.

Джим Стиглер, психолог из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, исследует, как специалисты хранят свои знания. Он и его команда подчеркивают важность концептуального понимания, мысленных представлений и связей между ними для достижения экспертного уровня знания²²⁷. Авторы работы указывают, что когда люди извлекают из памяти и пытаются применить знания, не связанные с другими понятиями (например, отношения между частью и целым), то решение проблемы затормаживается, и они сдаются. В то же время, если человеку со связными знаниями задали какой-нибудь вопрос о пропорции, а он помнит арифметические операции, он сумеет без проблем найти ответ.

Сара Нолан – учительница четвертого и пятого классов из Калифорнии – входила в группу преподавателей, работавших со мной и моей командой в Стэнфорде. Идея преподавания математики как концептуального и пронизанного связями предмета вдохновила Сару. Вооружившись концепцией крупных идей из наших книг, она объяснила своим ученикам, что они займутся совместным поиском связей между идеями²²⁸. Она сказала им, что математика – это сеть понятий и они убедятся, что связи между ними помогают их осваивать. Сара вывесила на стене класса математические темы следующего года в виде крупных идей и объяснила, как указывать связи между ними. Далее этим занялись дети: если они находили связь, то добавляли ее. Это происходило естественным образом: когда школьники обнаруживали связи, они писали их на листке бумаги, а затем прикрепляли к веревочке, которая соединяла соответствующие идеи на стене. На рисунке 6.3 приведена фотография стены со связями, сделанная в середине года, а видеоролик из класса Сары с картами связей выложен на сайте youcubed.org под названием «Не надо тревожиться по поводу математики». К концу года стена напоминала паутину. Когда Сара убирала что-то с доски, ученики просили разрешения забрать это домой – они гордились своими открытиями!

Рис. 6.3. Математические связи в классе Сары Нолан.

Рис. 6.4. Наброски-заметки с моими идеями преподавания.

Лаура Уилер и Impact Wales.

Еще один мой любимый метод, помогающий людям развивать концептуальные и связанные знания об идеях – это создание набросков-заметок²²⁹. Группа исследователей из Испании и Австралии описывает их так: «наглядная форма, объединяющая наброски и заметки для объяснения научных тем»²³⁰. Двое учителей любезно предоставили сделанные ими наброски, отражающие мои собственные преподавательские идеи (рис. 6.4).

Люди все чаще используют такие наброски для представления и запоминания идей, излагаемых на конференциях, семинарах и деловых встречах, однако учителя также могут показать учащимся, как выделять крупные идеи и связи между ними – тот навык, который должны развивать все ученики, что бы они ни изучали²³¹. В частности, я люблю такие наброски, поскольку их форма – во многом похожая на карту понятий – может выразить идеи так, как не делают или не могут сделать традиционные методы. В предыдущей главе рассказывалось об исследованиях, посвященных пользе наглядного восприятия математики, а наброски-заметки – отличный способ для учеников создавать свои собственные визуальные представления.

Джанет Наззи, лидер в области математического образования, стремится, чтобы ее ученики изучали математику с глубиной и пониманием, опираясь на идеи ментальной установки. Мы с нею набросали несколько наиболее важных понятий в преподавании дробей; они приведены на рисунке 6.5.

Исследования показали, что, когда ученики делают заметки в ноутбуках, они запоминают меньше, чем когда рисуют или записывают идеи от руки²³². Традиционные записи – дословное изложение идей – подразумевают неглубокую их обработку, в то время как создание набросков-заметок требует от учеников обрабатывать информацию, рассматривать общую картину, визуализировать ее и переосмысливать – все это ценные шаги в обучении.

Установлено даже, что создание учениками таких набросков улучшает их результаты при решении математических текстовых задач, а также повышает их вовлеченность и мотивацию – что особенно важно для учащихся с особенностями²³³. Хайди Винсент, университетский профессор математики, использует подобные наброски-заметки, чтобы помочь своим студентам понимать математику; на рисунке 6.6 дан ее набросок, отражающий важные идеи в сфере грамотности работы с данными, статистики и науки о данных²³⁴.

Рис. 6.5. Набросок с важными понятиями для дробей.

Рис. 6.6. Набросок Хайди Винсент.

Я рекомендую вам попробовать составить набросок для тех идей, с которыми вы имеете дело. Если вы колеблетесь из-за того, что не умеете рисовать, воспользуйтесь пиктограммами, которые можно бесплатно найти в Интернете²³⁵. Напомните себе (и своим ученикам), что главная цель такого наброска – не создать красивое произведение искусства, а представить идеи, придать им нужное значение и мыслить концептуально, устанавливая связи между ними.