Эрикссон и Пул не единственные исследователи, пишущие о важности мысленных представлений или моделей. Когнитивистика (наука о мышлении) уже давно доказывает ценность ментальных моделей для обучения и производительности. Интересно, что сейчас это становится базовым выводом нейронауки: наш мозг функционирует, создавая модели мира. Невролог Джефф Хокинс посвятил свою карьеру изучению роли лобной доли головного мозга¹⁸⁰. Эта часть мозга отвечает за когнитивные навыки, решение задач, функционирование на более высоком уровне и социальное взаимодействие – весьма широкий и критически важный набор умений. Хокинс обнаружил, что наш мозг работает посредством создания моделей мира, которые постоянно видоизменяются по мере того, как мы переходим от одного опыта к другому. Это согласуется с когнитивной наукой, показывающей ценность ментальных моделей для нашего обучения и понимания. Неудивительно, что учащимся необходимы ментальные модели, чтобы выстраивать мышление и знания, ведь именно так функционирует мозг не только в процессе обучения, но и в жизни.

Я начала эту главу с примера с моим учеником Джедом, который рассказывал, как важно ему было увидеть и подержать в руках кубик сахара размером 1 сантиметр. Ментальная модель Джеда была физической, и существует много доказательств того, что взаимодействие людей с физическими представлениями математических понятий крайне полезно для их учебы¹⁸¹. Но ученики и учителя могут также создавать визуальные представления, которые являются другой важной формой ментальной модели. Проведите мысленный эксперимент: вспомните, какие физические или визуальные представления вам предлагали создать в качестве ментальных моделей каких-либо математических идей. Если ваш математический опыт взаимодействия с числами и процедурами был типичным, то вы, возможно, не сможете вспомнить ни одного такого случая. Ведь для большинства людей математика – это почти целиком символьный, численный опыт. Если наглядность и появляется, то это нередко нарисованные издателями стерильные картинки, на которых изображены биссектрисы углов или круги, разделенные на секторы, которые не помогают ученикам развивать собственные визуальные или физические модели математических понятий. Я надеюсь, что оставшаяся часть этой главы будет особенно полезной для взрослых людей, у которых было мало возможностей для развития ментальных моделей математических идей (или не было вообще).

Когда исследователи сравнивают мозг математиков с мозгом успешных ученых, работающих в других областях, они обнаруживают нечто интересное. Можно было бы предположить, что, когда люди думают численно, они думают «языком» и что для математических рассуждений высокого уровня задействуются области мозга, обрабатывающие языковые данные. Однако исследователи обнаружили, что активность мозга, которая отличает математиков от других ученых, относится к областям, работающим с визуальными данными, вне зависимости от математического содержания¹⁸². Не только геометрия и топология, но и алгебра, и другие вычисления вызывают активность в зрительных структурах мозга, при этом все языковые области вовлекаются минимально. В результате ученые предложили следующее объяснение: достижения математиков обусловлены ранним детским опытом работы с «числом и формой», и я бы добавила, что это, вероятно, помогло им развить мысленные представления математических идей с юного возраста.

Рис. 5.3. Зоны мозга, задействованные при математическом мышлении.

Новаторская работа нейробиолога Вино Менона показала, что, когда люди работают над какой-нибудь математической задачей (пусть даже проводя абстрактные вычисления), они задействуют пять различных мозговых путей (рис. 5.3)¹⁸³.

Когда журнал National Geographic подводил итоги исследования природы «гения», он добавил полезную информацию об этих путях. Рассматривались выдающиеся личности, которых назвали «первопроходцами». Их выделили за «блистательный вклад» в развитие своих дисциплин – ученые Альберт Эйнштейн и Мария Кюри, исследовательница комизма Энн Либера и математик Теренс Тао. Вывод из этой увлекательной дискуссии: достижения, которые люди приписывают «гениальности», на самом деле являются результатом сложного сочетания обстоятельств, включающих возможности обучения, а также культуру, географию, привилегии и, конечно же, развитие мозга. Примечательно, что мозг первопроходцев отличается от мозга обычных людей количеством связей и лучшим развитием зрительных зон¹⁸⁴. Два мозговых пути, которые сосредоточены на визуальном восприятии, находятся в затылочной части мозга. Когда мы сталкиваемся с числовой проблемой и видим визуальное представление или описание, хорошо сформулированное словами, между областями мозга создаются связи. Исследователи доказали, что учащиеся добиваются более высоких результатов, когда в предложенных им математических заданиях присутствуют и цифры, и визуальные образы¹⁸⁵.

К счастью, преподаватели математики располагают массой возможностей предложить ученикам идеи, которые стимулируют различные мозговые пути и связи – например, рассматривать понятия не только как числа, но и как слова, визуальные образы, физические представления, таблицы, алгоритмы, модели и движение. Мы должны стремиться к тому, чтобы обеспечивать ученикам, детям и самим себе связный, многомерный опыт математики, который стимулирует соединение и коммуникацию различных мозговых путей.