Это было в 2016 году, через год после того, как мы провели первый летний лагерь Youcubed для группы учащихся средней школы в кампусе Стэнфорда. Мы знали, что после лагеря школьники продемонстрировали значительно более высокие результаты по математике, но хотели выяснить, сохранилось ли какое-либо долгосрочное влияние¹⁷⁴. Мы приехали в школы к своим бывшим ученикам и побеседовали с ними. Школьники по-разному рассказывали о полученной помощи и о том, как осознание того, что к математике можно подходить по-разному, изменило их дальнейшую учебу.

Мне особенно запомнилось рассуждение, связанное с нашим заданием под названием «Раскрашенный куб»¹⁷⁵. Ученикам показывали изображение куба размером 4 × 4 × 4 сантиметра, составленного из маленьких кубиков размером 1 сантиметр.

Куб опускали в банку с синей краской. Мы спрашивали, сколько маленьких кубиков будут иметь 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6 сторон синего цвета.

Это задание приводит к алгебраическим рассуждениям высокого уровня. Школьники получали кубики сахара размером 1 сантиметр и строили в своих группах кубы 4 × 4 × 4. Конструирование такого физического куба означало, что учащиеся активизировали различные пути в мозге, развивая области, которые отвечают за обработку числовой, визуальной и физической информации¹⁷⁶. Год спустя я поинтересовалась у одного из школьников, Джеда, как лагерь повлиял на него. Ответ мальчика меня удивил. Джед сказал мне, что сейчас у него идет курс геометрии, и ему постоянно помогают воспоминания о том сантиметровом кубике сахара, который он держал в руках в нашем лагере. Он добавил, что помнит, как выглядел этот кубик, помнит физические ощущения от удерживания его в руке, и это дает ему представление, что значит «1 кубический сантиметр». Школьник объяснил, что возвращается к этому воспоминанию для решения многих вопросов по геометрии. Например, когда учеников попросили оценить объем их обуви, Джед вообразил себе, как его ботинок заполняется кубиками сахара размером 1 сантиметр. Сейчас я знаю, что Джед описывал тот вид «мысленного представления» («мысленного образа»), который Андерс Эрикссон и Роберт Пул называют критически важным для развития опыта¹⁷⁷.

Эти мысленные представления необязательно должны быть физическими объектами, но для них требуется то, чего большинству школьников не предлагают на уроках математики. В следующих нескольких главах я опишу и расскажу о нескольких представлениях, которые могут оказать учащимся неоценимую помощь. Полагаю, что некоторые из них удивят вас.

Андерс Эрикссон, мировой эксперт в области опыта, изучал природу обучения у людей, добившихся высочайших результатов в самых разных областях, включая шахматы, спорт и школу. Вместе с Робертом Пулом они описали такое важное условие обучения, как «целенаправленная практика»¹⁷⁸. Самое важное качество целенаправленной практики – возможность, которую она предоставляет для развития мысленных представлений. Второе важное качество – способность прилагать серьезные усилия. Эрикссон и Пул описывают это так:

Несмотря на то что образы, которые создает наш мозг, называются “мысленными”, только мыслить для их формирования недостаточно. Чтобы усовершенствовать мысленные представления о чем-либо, необходимо “обезьянничать”: повторять действия признанных мастеров, в случае неудачи пытаться понять, что пошло не так, пробовать снова – и так много-много раз подряд[39].