Числа часто рассматривают как нечто данное, базовое и элементарное, не состоящее ни из чего другого и не представляющее собой результат какой-либо концептуальной фабрикации. Числа кажутся самоочевидными, вечными и не сконструированными. Такой платонический и интуитивистский взгляд на понятие числа подвергся критике со стороны историков математики, которые заинтересованы в объяснении того, как возникли и развивались техники счисления. Археологи в особенности склонны полагать, что институт числа не может считаться априорной категорией, так как развивался постепенно, о чем свидетельствует взаимодействие человека с материалами и символическими орудиями. Как уже говорилось, счет, похоже, развился из необходимости производить подсчеты и решать практические задачи, например поровну разделять между людьми землю и природные ресурсы.

Один из археологов абстракции, немецкий историк науки Петер Дамеров, среди прочих артефактов тщательно изучал древние вавилонские глиняные таблички, служившие счетными орудиями. Дамеров пришел к выводу, что идея числа не представляет собой форму априорного знания и «подвержена историческому развитию».

Размышления о числах и их свойствах уже в древности привели к вере, что высказывания об этом имеют особый статус, так как их истинность не зависит ни от эмпирических данных, ни от исторических обстоятельств. В исторической традиции, простирающейся от Пифагора через античную платоновскую традицию к поздней Античности и Средневековью, а далее через рационализм и критический идеализм кантовской и неокантианской философии к логическому позитивизму и конструктивизму современности, эта вера считалась доказательством того, что существуют объекты, знание о которых нам доступно a priori. Подобно лейтмотиву, убеждение, что числа по природе внеисторичны и универсальны, пронизывает всю историю философии. Для объяснения этого загадочного явления предлагалось множество аргументов. В свою очередь историк сталкивается с тем фактом, что у числовых техник и арифметических озарений есть история, которая по меньшей мере внешне ничем не отличается от истории других достижений нашей культуры. Ввиду разнообразия исторически задокументированных арифметических техник едва ли можно отказаться от предположения, что понятие числа – так же, как и большинство когнитивных структур человека, – подвержено историческому развитию, в ходе которого происходят существенные изменения самого явления[92].

Более того, опираясь на археологические находки, Дамеров выражал уверенность, что «числа возникли из многообразных процессов обучения»[93]. В исследованиях Дамерова обучение стало центральным понятием, с помощью которого ученый объяснял возникновение человеческой цивилизации и ее эволюцию. Для Дамерова обучение – это процесс взаимодействия человечества с природой и миром через труд, орудия и язык. Это сопровождается непрерывным абстрагированием. Однако обучение – это не процесс абстрагирования ради абстрагирования, а коллективное средство эмансипации и расширения возможностей. Как протекает социальный процесс обучения?

Дамеров утверждал, что обучение основано на построении ментальных моделей, которые представляют и интериоризируют внешние действия[94]. Поверх интериоризированных ментальных моделей могут надстраиваться дальнейшие уровни абстракции за счет постепенного наращивания «метакогнитивных конструкций»[95]. Это непрерывное возведение абстракций – форма эмансипации разума, однако некоторые уровни в конце концов начинают восприниматься как метафизические и обособленные. Согласно Дамерову, более высокие уровни когнитивных надстроек создают иллюзию дематериализованных абстракций и априорных категорий, таких как понятие числа. Однако решающую роль в этой теории играет не просто объяснение иллюзии априорности, а то, как «мыслительные операции… отражают действия над реальными объектами» и как орудия помогают строить мысленные модели:

Абстрагирование логико-математических понятий происходит не напрямую из объектов когнитивной деятельности, а из координации действий, которые к этим объектам применяются и через которые они так или иначе преобразуются. Согласно этому предположению, возникновение мыслительных операций логико-математического мышления основано на интериоризации систем реальных действий. Интериоризированные действия служат отправной точкой для метакогнитивных конструкций, посредством которых они становятся элементами систем обратимых психических преобразований, которые, следуя терминологии Пиаже, мы будем называть «операциями». Таким образом, метакогнитивные конструкции (например концепция числа), которые генерируются рефлективными абстракциями, можно понимать как внутренне представленные константы мыслительных операций, отражающих действия над реальными объектами. Это объясняет сбивающую с толку априорность таких конструкций, как концепция числа[96].

Чтобы объяснить, как на протяжении истории формируется концепция, Дамеров предположил, что происходит надстраивание семиотических и когнитивных моделей, которые постепенно развертывались из практик счета (эвристических и неформализованных – таких, как счет на пальцах) через системы cчисления (представляют величины внутри матрицы символов) и техники вычислений (выражают алгоритмы или процедуры решения задач с помощью манипуляции символами) в теорию чисел (арифметику как формальную дисциплину). Этот процесс носит нелинейный характер и разворачивается, как писал Дамеров, через попеременное чередование представлений (использование одних предметов и знаков в качестве символов других предметов, знаков и идей) и абстракций (решение задач).

Применив идею рефлексивной абстракции, которая сочетает в себе диалектическую логику Гегеля и генетическую эпистемологию Жана Пиаже, Дамеров составил набросок последовательных стадий символического представления (см. рис. 1.2), в которых переход от одного порядка представлений к следующему происходит через решение задач.

Представления первого порядка – это представление реальных объектов с помощью символов и моделей, которые, по существу, позволяют выполнять с этими символами те же действия или операции, которые можно выполнить с реальными объектами… Представления второго и более высокого порядков служат представлением объектов с помощью символов и правил преобразования символов, которые соответствуют тем мыслительным операциям, что относятся к когнитивным структурам, образующим ментальные объекты[97].

Рис. 1.2. Рефлексивная структура абстракции (Damerow P. Abstraction and Representation. Berlin: Springer, 2013. P. 379)

Таким образом, концепция числа развивалась через циклы символического представления и абстракции. Сначала существовали процессы квантификации и сравнения, которые были основаны на эквивалентности и не включали в себя счет. Счет возник как зависимая от контекста деятельность, и в ней использовались вспомогательные средства – пальцы, камни и так далее. Затем счетные устройства были замещены зависимыми от контекста символами (например, знаками на торговых буллах в древней Месопотамии). Впоследствии возникли независимые от контекста символы – то есть числа в современном понимании. Наконец, появилась арифметика как дисциплина для описания чисел и операций словами естественного языка, которые в свою очередь затем уступили место новым символам[98].

Чтобы понять, применим ли такой анализ к алгоритмической форме как практике решения задач, на этом этапе необходимо прояснить идею абстракции по Дамерову. Вслед за Гегелем и Пиаже Дамеров понимает абстракцию как процесс, в котором материальность и рефлексия, то есть орудия и когнитивная деятельность, переплетены и способствуют взаимному развитию:

Концепция [рефлексии] введена [Гегелем] в «Йенской реальной философии», чтобы отличить труд как «рефлексивную деятельность» от деятельности как «чистого опосредования», то есть удовлетворения желания посредством разрушения его объекта. Труд как «рефлексивную деятельность» от деятельности как «чистого опосредования» отличает устойчивость его материальных средств, орудий, в которых деятельность материально объективировалась в качестве единства идеальной цели и материального объекта… Единство чувственной данности и опосредующей деятельности, построенное в гегелевской логике, то есть опосредованная непосредственность как результат рефлексии, представляет собой не просто гипотетическо-теоретический конструкт. Это единство актуально создается в материальных средствах предметной деятельности во множестве форм[99].

Для Дамерова абстракция заключается не в изоляции наиболее значимых черт той или иной структуры, а в производстве нового знания о задаче, которую необходимо решить. Между тем абстракция представляет собой не просто «элегантное решение», а «деятельность, направленную на конкретную цель или задачу»[100]. Контингентное понимание окружающей среды – часть этой деятельности:

Принято считать, что абстракция означает отказ от использования информации, доступной о данном реальном объекте, в пользу обособления некоторых качеств этого объекта и их независимого рассмотрения. Однако такая концепция абстракции оказывается неудовлетворительной, если используется для концептуализации развития математического мышления. Абстракция в этом смысле не объясняет возникновения нового знания, которое, очевидно, и есть результат математического мышления. Кроме того, эта концепция делает невозможным или по крайней мере трудным понимание того, почему некоторые абстракции оказываются очень полезными, тогда как огромная масса абстракций, которые получают путем произвольного обособления свойств математических объектов, остается бессмыслицей… Понять абстракцию по существу означает понять, что именно требуется абстрагировать, а не просто знать, как это делается. Понять абстракцию, ведущую к элегантному решению задачи, означает понять, как действительно можно найти решение[101].

Абстракция всегда действует в рамках данных материальных ограничений и через них. Cимволы, орудия, техники и технологии задумываются и осуществляются в отношении с ограниченными ресурсами материи, энергии, пространства, времени и так далее. Реальность, с которой борется абстракция, – не идеальное пространство идей Платона, а реальный живой мир, состоящий из силовых полей и конфликтов. В этом смысле абстракция также выступает частью более широкого социального антагонизма.

Важно отметить, что материальные ограничения стимулируют расширение абстракции за пределы ее первоначальной области. Дамеров и его коллега Вольфганг Лефевр распространили историческую эпистемологию математики на науку вообще, обратившись к орудиям и инструментам. Предложенное ими понимание орудий контингентно и вместе с тем спекулятивно – словом, диалектично. Орудия – не только средства для достижения цели, но и средства, превосходящие цель их первоначального замысла:

Орудия определяют, будут ли предполагаемые мышлением цели достигнуты. В этом смысле орудия никогда не сводятся к тому, какие они на самом деле. Скорее, они представляют потенциал реализации интеллектуально предполагаемых целей, то есть идеи как реальные возможности. Их применение служит посредником между возможностью и реальностью. Использование орудий в первую очередь служит цели, для которой они были созданы. Но они шире частных целей, и опыт, накопленный в процессе их использования, ведет к познанию возможностей, которые есть вероятность осуществить, и отношений между целями и средствами в различных условиях осуществления. Таким образом, первичная форма, в которой из трудового процесса возникает знание о природных и общественных отношениях, представляется в форме правил надлежащего использования орудий[102].

В таком понимании спекулятивный процесс начинается с труда, изобретающего орудия и технологии, которые впоследствии проецируют новые онтологические измерения и научные области (каноническим примером здесь служит изобретение парового двигателя, породившего дисциплину термодинамики, а не наоборот; см. главу 3). Эпистемология Дамерова и Лефевра носит политический характер, поскольку они признают, что исторические силы ограничены контролем над ресурсами и населением, экономическим производством и накоплением капитала, распространением войн и социальных конфликтов, а также вызванным всем этим развитием новых орудий, техник, технологий и, в конечном счете, науки. Демеров и Лефевр относят все эти силы к категории труда, посредством которого человек преобразует природу и производит новое знание о ней[103]. Наука в целом, как и концепция числа в частности, представляет собой проекцию использования материальных орудий:

Развитие науки зависит от развития ее материальных орудий… Ключ к пониманию роста научного знания заключается в том, что знание, получаемое с помощью нового орудия, превосходит когнитивные предпосылки его изобретения. Причина этого связана с тем, что орудия науки, как и орудия вообще, материальны. Использование материального орудия всегда дает больше знаний, чем вложено в его изобретение[104].

Наряду с этим историческим обзором материальных абстракций легко представить также концепцию алгоритма, возникающего в результате диалектического процесса рефлексии с использованием объектов и орудий. Метод алгоритма – решение задачи с помощью пошаговых инструкций – это абстракция, которая, как и многие другие, возникла из бед этого мира[105].