ИГРА САМОСБЫВАЮЩИХСЯ (И САМОАННУЛИРУЮЩИХСЯ) ПРЕДСКАЗАНИЙ

Пророчество – не просто предсказание. Это поступок. Оно даже может неожиданным образом изменить будущее, которое предвосхищает.

Например, если вы скажете супружеской паре, ожидающей ребенка: «Ваш сын убьет папу и женится на маме», это сильно изменит их стиль воспитания. Если вы скажете доверчивой многомиллионной аудитории: «Эти акции взлетят до небес!», то их начнут раскупать, и цена действительно пойдет вверх. И хорошенько подумайте о последствиях своего пророчества, прежде чем сообщить злому волшебнику, чье имя нельзя называть, что ребенок, родившийся под знаком Льва, может его убить.

Все эти соображения лежат в основе игры «Пророчества», элегантного примера самосбывающихся (и самоаннулирующихся) предсказаний.

КАК ИГРАТЬ

Сколько игроков? Двое.

Что потребуется? Карандаши разных цветов. Кроме того, нужно игровое поле из четырех-восьми столбцов и четырех-восьми строк.

В чем цель? Точно предсказать, сколько чисел появится в данной строке или столбце, и записать это число где-нибудь в соответствующей строке или столбце.

Какие правила?

1. По очереди вписывайте в пустые клеточки либо число, либо крестик.

2. Каждое число – своего рода пророчество: предсказание, сколько чисел появится в данной строке или столбце. Таким образом, наименьшее число – 1, наибольшее – длина соответствующей строки или столбца (в зависимости от того, что длиннее). Ну а крестик просто заполняет клеточку, не позволяя вписать туда число.

3. Числа в каждой строке и столбце не должны повторяться.

4. Если в клеточке нельзя записать ни одно число, потому что оно будет дублем, ставьте там крестик. Это не ход, а лишь облегчение подсчета.

5. Играйте, пока не заполнится все поле. Затем подсчитайте, сколько чисел в каждой строке. Тот, кто сделал верное предсказание, набирает соответствующее количество очков. То же самое со столбцами.

Обратите внимание, что одно и то же число может быть двойным пророчеством: и для строки, и для столбца. Кроме того, в некоторых строках или столбцах может не быть ни одного сбывшегося пророчества.

6. Побеждает тот, кто наберет больше очков.

ЗАМЕТКИ ДЕГУСТАТОРА

Самые восхитительные и мучительные моменты игры – когда пророчество опровергает само себя. Например:

В этой строке неизбежно будет либо два, либо три числа. Тройка уже есть, поэтому игрок, чей цвет зеленый, может, и хотел бы вписать двойку, но смысла в этом нет, поскольку пророчество опровергает само себя и подтверждает предсказание соперника. Это классический парадокс пророка: высказываясь о мире, он меняет его, и тем самым делает высказывание ложным.

Эти моменты напоминают мне об автореферентных фразах. Это лингвистические высказывания, описывающие сами себя. Вот пример:[48]

Эта фраза точно описывает саму себя. Круто, не правда ли? Впервые нечто подобное опубликовал Ли Саллоус. Когда я пытаюсь представить, как Ли сочинял ее, мой мозг перекручивается, словно рог барана, потому что каждое изменение влияет на всю фразу.

Чтобы лучше понять мою мысль, попробуйте заполнить эту простую автореферентную таблицу:

Одна единица уже есть. Если мы попытаемся записать единицу во второй строке, то запутаемся в своих собственных шнурках, потому что единиц будет две. Может, стоит вписать двойку? Но стоит сделать это, вторая единица исчезнет, и наша двойка будет ошибочной.

Любое пророчество здесь опровергает само себя. Эту таблицу невозможно заполнить.

А что, если добавить второй столбец? Ничего не выйдет. Любая попытка заполнить его обречена на провал, как попытка изречь пророчество «Никто никогда не изречет это пророчество».

Сколько же нужно столбцов, чтобы заполнить такую таблицу? Как минимум четыре. Вот одно из возможных решений, а второе попробуйте найти самостоятельно[49].

Всякий раз, когда я играю в «Пророчества», мой разум попадает в подобные рекурсивные циклы. Будет ли мое следующее предсказание опровергать само себя? Только что числа казались незыблемыми и правдивыми, и вот они рассеиваются как сон, как утренний туман. В результате получается игра с ошеломляющей стратегической глубиной.

ГЕНЕАЛОГИЯ ИГРЫ

Игру придумал симпатяга по имени Энди Джуэлл.

В 2010 году Дэниел Солис запустил проект «Лучшая игра тысячелетия». Задача состояла в том, чтобы придумать простую, глубокую игру, в которую будут играть на протяжении тысячи лет. Тогда Энди Джуэлл и представил на суд публики игру «Пророчества» (вариацию его настольной игры «Размер имеет значение»).

Наступил 2020 год. «Пророчества» стали одной из любимых игр моих тестировщиков, а сам Энди, с которым я вступил в переписку по электронной почте, оказался остроумным, скромным и чрезвычайно полезным знатоком стратегических игр[50].

Будут ли играть в «Пророчества» целое тысячелетие? А почему бы и нет? На самом деле вам не нужны ни бумага, ни карандаши, ни даже цифры. Можно просто чертить какие-нибудь закорючки на земле. «Если наши потомки разучатся считать, – заметил Энди, – невозможность сыграть в эту игру, по моему скромному мнению, будет наименьшей из их бесчисленных проблем».

ПОЧЕМУ ЭТА ИГРА ВАЖНА?

Потому что игра с парадоксальными числами, описывающими себя, помогла вступить в компьютерную эру.

Эта история начинается в конце XIX века, когда математики взялись за грандиозную задачу: найти логические основы своей науки. Они надеялись выстроить своего рода непоколебимую башню, каждый ярус которой опирается на предыдущий, вплоть до нерушимого фундамента, то есть набора простых постулатов, из которых вытекают все математические теоремы.

Естественно, решающим шагом был выбор подходящих постулатов.

Типичный путь – начать с пустого множества, абстрактного мешка, внутри которого ничего нет. Таким образом, у вас появляется ноль, и можно продолжать. Множество, содержащее пустое множество, – это единица. Множество, содержащее единицу и пустое множество, – это двойка. Множество, содержащее единицу, двойку и пустое множество, – это тройка. И так далее.

Продолжайте в том же духе, выстраивая все более сложные логические структуры множеств-множеств-множеств, пока не охватите все возможные числа, фигуры и уравнения.

И получится, что вся математика зиждется на нескольких простых постулатах о множествах.

Увы, на протяжении десятилетий эти попытки не приносили успеха. Все время накапливались парадоксы, заставлявшие математиков менять основополагающие постулаты. Однако новые постулаты приводили к новым парадоксам или не годились для создания фундамента для математической башни.

Наконец, в 1930 году логик по имени Курт Гёдель показал, где корень всех зол. Проект поиска незыблемых оснований в принципе был несбыточной мечтой.

Его аргументация выглядит примерно так. Для начала выберите любой набор аксиом для арифметики в качестве фундамента математической башни. Затем Курт показывает, что эти аксиомы создают своего рода язык, который позволяет закодировать утверждения (например, «0 равен 0») в виде чисел (например, 243 000 000). Наконец, Курт предъявляет утверждения, ссылающиеся на свой собственный номер и говорящие, что «невозможно доказать истинность утверждения с этим номером».

Короче говоря, порочный круг.

Действительно, невозможно доказать истинность утверждения «невозможно доказать истинность утверждения», потому что в таком случае оно оказалось бы ложным. А если мы докажем, что оно ложно, оно, без тени сомнения, окажется истинным!

Невозможно доказать ни истинность, ни ложность. Такие утверждения относятся к жуткой категории, которую Курт окрестил «неразрешимые утверждения».

Ученые надеялись найти фундамент математики. Курт заложил бомбу под эту надежду. Независимо от того, какие постулаты вы выбираете, всегда найдутся утверждения, которые вы не сможете ни доказать, ни опровергнуть, высоты, недостижимые для вашей башни.

Самый амбициозный математический проект столетия был обречен на неудачу, и всё из-за автореферентных чисел.

После того как бомба Курта взорвалась, математики попытались спасти хотя бы что-нибудь из-под обломков. Алан Тьюринг задумался над созданием машины, которая помогает классифицировать утверждения на истинные, ложные и неразрешимые, – своего рода математический детектор лжи.

Или, как мы говорим сейчас, компьютера.

Я вспоминаю этот сюжет всякий раз, когда играю в «Пророчества». Числа, описывающие себя, числа, опровергающие себя, логические гордиевы узлы, петли обратной связи… Все это не просто хи-хи да ха-ха. Это первичный бульон, в котором зародилась компьютерная эра.

Курт усматривал в своих автореферентных числах парадокс лжеца. Вот простейшая форма этого древнего подвоха: «Данное утверждение ложно». Оно не может быть ни истинным (иначе оно оказалось бы ложью), ни ложным (иначе оно оказалось бы истиной). Таким образом, это утверждение окутано непроницаемым туманом: ни истинно, ни ложно, ни живо, ни мертво, не облагается налогом, но и не освобождено от налога. Своего рода семантический призрак, не завершивший свое дело на земле.

Вернее, так обстояли дела, пока на сцене не объявился Курт. Он запрятал этот древний парадокс, тысячелетия терзающий несчастных логиков, внутрь коробки с транзисторами, где тот обрел свое истинное призвание: терзать всех нас.

ВАРИАЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ИГРЫ

Экзотические игровые поля. Необязательно играть на прямоугольном поле. Вот пример с пятью областями, пересекающими друг друга и разбитыми на 16 ячеек:

Больше игроков. Можно играть втроем или вчетвером. Просто нарисуйте игровое поле побольше (например, 7 × 7).

Крестовые пророчества. Пусть числа предсказывают не количество чисел, а количество крестиков в строке или столбце.

Игровое поле – судоку. Возможно, наикрутейший вариант. Возьмите в качестве игрового поля неразгаданное судоку. Пусть каждое число пророчит количество чисел не только в строке или столбце, но и в своем сегменте 3 × 3. Вписанные числа-подсказки не засчитываются ни одному из игроков.

Парадокс Берри. Ладно-ладно, это не игра. Просто я хочу продемонстрировать вам последнего демона из ящика Пандоры с автореферентными числами.

Парадокс начинается с простого наблюдения: для описания бóльших чисел обычно требуется больше букв. Например, для числа «девять» требуется шесть букв, а для числа 729 – одиннадцать («девять в кубе» – короче, чем «семьсот двадцать девять»). Библиотекарь Дж. Берри расширил эту идею. Чему равно «наименьшее натуральное число, для описания которого требуется не менее ста букв»?

Звучит разумно. Наверняка такое число (чему бы оно ни было равно) существует… но вы ведь только что определили его, использовав меньше ста букв! Определение опровергает само себя.