Есть еще одна проблема, связанная с цифровыми компьютерами и поднятая в работе Тьюринга: числа, которыми эти компьютеры манипулируют. То, что Тьюринг называл «вычислимыми числами», – это те числа, с которыми может справиться машина Тьюринга. К ним относятся рациональные числа, повседневные числа, которые можно увидеть на ценниках, размерах обуви, рецептах и многом другом, например целые числа (включая отрицательные), а также дроби, которые можно выразить как отношения целых чисел.

Но есть еще класс иррациональных чисел, которые нельзя выразить как отношение двух целых чисел. Примеры иррациональных чисел: π, длина окружности диаметром 1 (единица) и e – число Эйлера, которое используется в логарифмах, для вычисления сложных процентов и повсеместно встречается в науке и технике. Хотя некоторые иррациональные числа – например, π или квадратный корень из 2 – можно вычислить с помощью алгоритма с любой степенью точности, подавляющее большинство иррациональных чисел неисчислимы.

Это проблематично, поскольку в море всех возможных чисел количество вычислимых рациональных чисел бесконечно мало. Да, существует множество рациональных чисел, которые «исчислимы», но со времен немецкого математика Георга Кантора (1845–1918) мы знаем, что множество иррациональных чисел бесконечно в более широком смысле, будучи «неисчислимо бесконечным».

Открытия Кантора встретили враждебность со стороны его коллег, даже со стороны христианских богословов, которые видели в них вызов Богу. Напротив, Кантор (как и другие до и после) думал, что он действительно увидел разум Бога[106]. Его работа, уже давно признанная, показывает, что, манипулируя только вычислимыми числами, цифровые компьютеры могут пренебречь более богатыми и глубокими возможностями, открывающимися при использовании бесконечно большего набора невычислимых чисел. Если внимательно посмотреть на цифры, населяющие цифровые компьютеры, вас ждут новые потрясения.