Мыслительная сила математики развивалась на протяжении тысячелетий, но через несколько десятилетий после смерти Бэкона ее способность описывать мир усилилась с изобретением исчисления – инструмента для изучения изменений, не в последнюю очередь происходящих внутри человеческого тела. Оно было независимо разработано в Англии Исааком Ньютоном (1643–1727), который представил его в своих «Началах», и в Германии Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646–1716). Эти значимые фигуры оказались втянутыми в Prioritätsstreit, «спор о приоритете», хотя элементы исчисления уже давно были замечены в Древней Греции, Египте, Индии и на Ближнем Востоке.

Исчисление состоит из двух частей: дифференциальное исчисление, которое фокусируется на скорости изменения, которую можно увидеть в изгибе кривой, например в милях в час; и интегральное исчисление, при котором накопление величин, таких как общее количество пройденных миль, рассчитывается путем определения площадей под кривыми или между ними (рис. 10). Полученные в результате ветви – дифференциальное и интегральное – объединяются в исчислении, которое решает обе задачи, разбивая их на очень маленькие (бесконечно малые) части. В то время как дифференциальное исчисление делит вещи на крошечные части и сообщает нам, как они изменяются от одного момента к другому, интегральное исчисление объединяет (интегрирует) эти части, чтобы выявить общий результат серии изменений. Первое дает производные, измеряющие мгновенное изменение в отдельный момент времени, а второе – интегралы, объединяющие бесконечное количество крошечных частей, которые складываются в целое, например бесконечный поток моментов. Таким образом, исчисление преобразует наш невыразимый мир потоков в точную математическую форму.

Математический анализ действительно имеет тенденцию вселять в людей определенный страх, но, как писал более века назад профессор физики Сильванус Томпсон (1851–1916) в книге Calculus Made Easy: «Дураки, которые пишут учебники по высшей математике – а они в большинстве своем умные дураки, – редко берут на себя труд показать, насколько простыми являются простые вычисления»[83]. Он пришел к выводу, что они предлагают ключи от «волшебной земли».

Например, когда дело доходит до второго шага к виртуальному двойнику, исчисление может раскрыть причину изменений в человеческом теле: от сердцебиения[84] до колебаний метаболитов. Научный биограф и популяризатор Грэм Фармело сравнил математическую стенографию дифференциальных уравнений с поэзией: «Если «поэзия – это язык на орбите, как отметил нобелевский лауреат Шеймус Хини, то дифференциальные уравнения – это математический язык на орбите».

Разные классы уравнений требуют разных методов и разной степени усилий для их решения. В целом их можно разделить на линейные и нелинейные дифференциальные уравнения. Линейное многообразие напрямую связывает количества, например, когда X возрастает пропорционально Y (в степени 1). Количество апельсинов, которые вы можете купить в супермаркете, пропорционально тому, сколько денег вы на них тратите: удвоив деньги, вы купите вдвое больше фруктов. Нелинейные дифференциальные уравнения описывают более сложную зависимость, поэтому X возрастает пропорционально Y в другой степени, будь то 2, 1/2 или 100. В типичном (нелинейном) супермаркете, чем больше апельсинов вы покупаете, тем больше скидка. Нелинейность может привести и к неожиданным эффектам: имея достаточно апельсинов, можно открыть фабрику по производству мармелада.

В самом простом виде линейные уравнения решить легко (понадобятся только ручка и бумага), тогда как результаты нелинейных уравнений сложны. Последние – гораздо больше, чем просто кривая: они имеют решения, которые не являются идеальными, могут демонстрировать неоднородность и основываться на нескольких устойчивых состояниях вместо одного, так что верными будут более одного ответа. Эти трудные нелинейные уравнения, которые необходимо решать с помощью хитрой математики и компьютеров, также лучше всего отражают математику поворотов, волн, дуг и изгибов. Они созданы специально для человеческого тела.

Рисунок 10. Изображение, показывающее исчисление, производные и интегралы

Однако наш мозг жаждет простоты. Мы все хотим упростить себе жизнь. Исследования в области когнитивной психологии показывают, что человеческий разум недостаточно уважает нелинейные уравнения[85]. Распространенность нелинейных явлений не находит отражения в исследованиях и по удручающим практическим причинам: линейную математику решать гораздо проще. Это можно увидеть даже в самом слове «нелинейный», потому что исключение на самом деле является правилом. Польско-американский ученый Станислав Улам, с которым мы встретимся в следующей главе, однажды пошутил: «Это все равно, что называть зоологию изучением „животных, не являющихся слонами“»[86].

Вездесущность нелинейности была открыта в 1889 г. французским эрудитом Анри Пуанкаре, которого его учитель прозвал un monstre de mathématiques[87]. Пуанкаре обнаружил, что стоит попытаться проанализировать движение всего лишь трех тел (Солнце, Луна и Земля), и точное решение не может быть найдено аналитическими методами «ручки и бумаги» (это называется «внутренне неинтегрируемая, нелинейная система»).

Пуанкаре открыл то, что мы сегодня называем динамическим хаосом: когда уравнения дают предсказуемые результаты – они детерминированы, – но чрезвычайно чувствительны к введенным в них числам. Без бесконечной точности существует предел того, насколько далеко можно предсказать будущую эволюцию хаотической системы. Этот предел, известный как время Ляпунова, представляет собой глубокую трещину в хрустальном шаре научной теории. Его существование – одна из основных причин, почему научные предсказания носят в лучшем случае вероятностный характер.

Нелинейные уравнения можно далее выделить в подкласс обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которые описывают непрерывные изменения одной переменной, обычно одного измерения в пространстве или во времени. Они используются для отслеживания движения небес, скорости химических реакций в организме и роста инфекций. ОДУ являются подмножеством второй, более крупной группы, известной как уравнения в частных производных (ЧДУ), которые изучают, как вещи изменяются в зависимости от более чем одной переменной, таких как время и пространство, причем последнее можно описать в нескольких измерениях.

Множество ЧДУ. Они возникают в теориях очень большого и очень малого, таких как общая теория относительности и квантовая механика, и отрицают то, как мы понимаем тепло, диффузию, звук, электромагнетизм, гидродинамику и упругость. Например, для описания движения жидкостей мы можем использовать знаменитую систему дифференциальных уравнений в частных производных, разработанную французским инженером и физиком Клодом-Луи Навье (1785–1836) и англо-ирландским физиком и математиком Джорджем Габриелем Стоксом (1819–1903). Уравнения Навье – Стокса используются во всех видах цифровых двойников, например, в потоке жидкости в газовых турбинах[88], нефтяных и газовых резервуарах[89] и магистралях[90], но мы все еще пытаемся раскрыть их математические тайны.

Попытки заставить дифференциальные уравнения работать на виртуальном человеке начались с исследований электрического состояния и электрофизиологических свойств клеток, которые на протяжении веков вызывали восхищение, если не вдохновение. В начале XIX в. Мэри Шелли (урожденная Мэри Годвин), написавшая «Франкенштейна», знала об ужасных публичных демонстрациях, в которых электричество использовалось для реанимации конечностей и тел, извлеченных из виселицы. Точно так же, как грубое применение электродов для оживления мертвых очаровывало ученых ее времени, столетия спустя исследовательское сообщество будет столь же увлечено исследованиями аксона, нитевидной части нервной клетки, которая проводит импульсы, в данном случае позволяющей двигаться кальмару[91]. Это стало первым шагом на пути к созданию виртуального человека.