А.С.: На прошлой лекции я сказал кое-что про решение уравнения вида х² − 2у² = ±1. Тогда обозначения были другие. Но на то это и математика, что «хоть горшком назови». В этой лекции переменные, значения которых мы ищем, будут обозначаться «x» и «у». Теперь кое-что уточним. Можно взять вместо числа 2 любое натуральное число m и записать аналогичное уравнение: х² − mу² = ±1.

В принципе, почти ничего не изменится в общем ходе решения. Единственный вариант, при котором будут различия, это когда m представляется в виде квадрата натурального числа (4, 9, 16, 25…), — тогда такое уравнение по неким очевидным причинам никаких решений, кроме x = ±1, а у = 0, не имеет.

В самом деле, попробуем найти нетривиальные решения уравнения х² − 9у² = ±1, то есть x · x = (3у) · (3у) ± 1. При «у», не равном нулю, получается, что квадраты двух целых чисел «x» и «3у» отличаются на единицу. Так мало они отличаться НЕ МОГУТ. Даже квадраты соседних целых ненулевых чисел (скажем, М и М + 1) отличаются больше, чем на 1, а именно: отличие их равно 2М + 1, причем М не равно 0.

Для всех остальных m прием, которым мы пользовались ранее при решении этой задачи, срабатывает. А прием этот был такой: нужно корень из m разложить в цепную дробь. То есть выделяем целую часть, потом «переворачиваем» оставшуюся дробную часть, получаем число, большее единицы, в нём опять выделяем целую часть, и так далее:

Я сказал в лекции 3, что для получения решения уравнения мы можем обрубить дробь в любом месте, привести к виду «целое число разделить на целое», и числа, которые получатся в числителе и знаменателе, будут нашими решениями. И для m = 2 это действительно можно делать на любом месте. Но если это утверждение применить для других значений m, то получится, что я немного обманул вас. Есть теорема, доказанная Ж. Л. Лагранжем, которая утверждает, что если мы разложим корень из числа, не являющегося квадратом, в цепную дробь, то цепная дробь начиная с некоторого места начнет повторяться. Появится период.

Врезка 6. О бессилии «наблюдения» без «доказательства»

Понятие периода последовательности не такое простое, как хотелось бы думать. Более того, это понятие демонстрирует бессилие прикладной математики для установления фактов чистой математики. Например, допустим, что прикладной математик изучает поведение следующей последовательности десятичных цифр: 2223222322232223.. Что скажет при этом «совсем простой наблюдатель»? То, что имеется период «2223», состоящий из 4 цифр. Более «утонченный наблюдатель» возразит: не будем спешить, понаблюдаем дальше за поведением этих цифр хотя бы до 34-го места. Сказано-сделано: получили

22232223222322237 22232223222322237…

Что, убедились?! Период-то имеет длину не четыре, а семнадцать! Но обиженный «простой наблюдатель» возразит: погодите радоваться. Понаблюдаем теперь хотя бы до сотого места. И увидели, что на 69-м месте (после семерки на 68-м месте) стоит не цифра 2 (как они оба ожидали), а цифра 0. Вот тут-то они призадумались… А есть ли вообще период у этой последовательности? И может ли «простое наблюдение» дать обоснованный ответ на этот вопрос? КОНЕЧНО, НЕТ! — скажет им чистый математик. Если у нас в результате наблюдения появилась гипотеза, что период равен 2223, то надо остановиться, проверить, есть ли научные предпосылки для доказательства этого (либо для опровержения этого), и продолжать исследование дальше. И если возможную длину периода не удалось определить или ограничить сверху никакими «наблюдениями», это вовсе не означает, что последовательность непериодическая! Это означает, что пока что чистому математику не удалось решить эту проблему (может, потому, что он плохо ее решал).

Это, конечно, не означает, будто бы мы не доказали, что для разложения «корня из двух» период начинается сразу, и длина его равна единице, а сам период равен «2». В данном случае не просто повторяются числа 2222…, начиная со второго места, а повторяются условия для повторения этого числа. Ниже мы не будем углубляться в эту философскую проблему, а просто предположим, что уже «кем-то» доказано наличие именно периода такой длины, и именно из таких чисел.

Мы раскладывали для самого простого случая, и в нём сразу пошел период: целые части со второго места равны 2, 2, 2, и т. д. Если бы я обрубал цепную дробь в любом месте для любого m, я совершил бы ошибку. А на самом деле обрубать нужно ровно в конце периода, то есть в том месте, где начинается повторение. Начало периода — это как раз самое большое число. В этом месте и нужно обрубать, игнорируя весь последний отрезок дроби, начиная с самого большого числа. Например, в идущем ниже примере мы доходим до 4 и обрубаем. В следующий раз можем обрубить перед второй четверкой, и т. д.

Но это был модельный пример, не относящийся ни к какому m.

Например, бывает, что повторение начнется на 7 или 8 ступеньке дроби, или еще дальше. Число 61, среди первых 100 чисел, самое неприятное в нашем смысле. Ибо √61 очень долго раскладывается в цепную дробь, пока не повторятся условия, обеспечивающие циклическое повторение всех выделяемых далее целых частей. И поэтому самые маленькие решения уравнения x² − 61у² = ±1 будут больше миллиарда.

В костромской области каждые полгода проводится школа для сильных школьников. Вот они у нас где-то за часик этот корень из 61 раскладывали. Потом еще минут десять сворачивали дробь, и на выходе получали два числа порядка миллиарда. Которые, если подставить в наше уравнение, чудесным образом дают решение уравнения Пелля.

Цепная дробь (или алгоритм Евклида, который ее породил) может быть изложена геометрическим образом. Полезно знать, какая геометрия за этим стоит. Ниже я ее изображу.

Немного уточню теорему Лагранжа, что приблизит нас к термину алгебраические числа. Что такое рациональное число? Мы договорились, что это «целое делить на целое» (то есть m/n). Можно написать и по-другому. Рациональное число — это корень (то есть решение) уравнения m − nх = 0.

Например, 17/15 — корень уравнения 17 − 5x = 0. Подставьте х = 17/15 и проверьте это.

К чему мы приходим? К более широкому подходу. Рациональные числа — это корни вот таких линейных уравнений, то есть уравнений первой степени с целыми коэффициентами.

Корнем какого уравнения является число «корень из двух» (обозначим его просто К)? Нужно написать выражение с иксом, у которого целые коэффициенты, такое, что при подстановке получится 0. Вот оно: x² − 2 = 0.

Оно 2-й степени. Вот я и говорю поэтому: К — число не рациональное. Ведь это уравнение нелинейное, оно второй степени.

А если я напишу: x¹⁰ − 3 = 0?

Что я получу на выходе? Корень 10-й степени из 3. Число не рациональное, удовлетворяющее уравнению, где слева стоит многочлен с целыми коэффициентами.

Напишем произвольное уравнение 2-й степени: ах² + bх + с = 0 (тут, конечно, «а» не равно нулю).

Такое уравнение вы, без сомнения, изучали в школе. Но вы изучали его для произвольных а, b, с. А мы будем рассматривать только целые. То есть многочлен, в котором целое число раз взята единица (либо минус единица) — получилось «с», потом целое число раз взят х (с тем или иным знаком) — это будет «b», и целое число раз взят x² (это — «а»). Решаем квадратное уравнение по известной формуле:

Мы получили выражение, использующее при своем построении операцию извлечения квадратного корня один раз. Так вот, теорема Лагранжа звучит так: если х является решением уравнения

ах² + bх + с = 0

с целыми коэффициентами, то тогда его цепная дробь будет либо конечной (если вдруг решение окажется рациональным), либо периодической. Верно также обратное утверждение. Если цепная дробь устроена так, что у нее, начиная с некоторого места, возникает периодическое повторение целых частей, то она удовлетворяет такому уравнению с целыми коэффициентами.

А вот теперь, опираясь на эту теорему, я могу вам дать основное определение. Число называется алгебраическим, если оно является корнем хотя бы одного уравнения с целыми коэффициентами произвольной длины. Не обязательно квадратного, как у нас, а произвольного (многочлен любой степени).

А трансцендентное число — это число, которое не является алгебраическим. С этим связана долгая история. Стоял вопрос, существуют ли трансцендентные числа вообще. Древним грекам было известно, что длина диагонали квадрата не является рациональным числом. Это было очень неудобно древним. Но, с другой стороны, она удовлетворяет элементарному квадратному уравнению, то есть является алгебраическим числом. Возникает вопрос: все ли числа алгебраические? Ответ — нет. Математик Ж. Лиувилль, живший в середине XIX века, просто выписал конкретное число и доказал, что оно не является алгебраическим. С этого всё и началось. На самом деле алгебраических чисел неизмеримо меньше, чем не алгебраических, то есть трансцендентных.

Грубо говоря, если вы возьмете вещественную ось и случайно воткнете в нее булавочку нулевой толщины, вы практически наверняка попадете в неалгебраическое число.

Мы с вами на 3 лекции какую-то задачу решали с какой-то железкой (помните? — которую надо куда-то отправить, чтобы она встала в вертикальное положение). Если вы эту железку наугад взяли где-то, со свалки, установили на шарнир и стали отправлять ровно с той силой, чтобы она за бесконечное время встала в вертикальное положение, то сила, наугад взятая, будет трансцендентная. На самом деле сама железка тоже будет трансцендентной по своей длине. Есть самая большая загадка, которая обычно совершенно не понятна людям, не занимающимся математикой. Как это — бесконечности могут быть разные? Вот как можно представить, что бесконечности разные? Вроде бесконечность, она и есть бесконечность. Они все одинаковые. Это один наивный взгляд. Другой наивный взгляд на вещи состоит в том, что, наоборот, почти все бесконечности разные. Вот, скажем, возьмем множество всех натуральных чисел и множество всех целых чисел. Каких больше?

Слушатель: Целых.

А.С.: «В два раза больше», если вы думаете «в наивном ключе» о бесконечности. Или, так же наивно: «Чисел, которые делятся на 3, в 3 раза меньше, чем всех натуральных чисел». А и тех, и других — бесконечно много.

Оказывается, математика дает безжалостный ответ, совершенно безжалостный: целых чисел столько же, сколько натуральных. Как говорил один шутник: «На этот вопрос есть два мнения — одно из них Мое, а другое — Неверное». В отличие от обычного шутника, с которым можно и поспорить, с математическими «шутками» не поспоришь, ибо они обоснованы строгими доказательствами.

Слушатель: Кстати, и алгебраических чисел столько же.

А.С.: И алгебраических чисел тоже столько же, сколько натуральных. И рациональных чисел столько же, сколько натуральных, потому что единственный правильный способ, единственный непротиворечивый способ придать значению «столько же» какой-то научный смысл это установить между двумя множествами взаимно однозначное соответствие. То есть каждому целому сопоставить некоторое натуральное и наоборот. Сделать это для множеств целых и натуральных чисел весьма просто (рис. 68):

Рис. 68. Натуральных чисел хватает, чтобы перенумеровать все целые числа.

То есть вы сможете все целые числа перенумеровать. У вас каждое целое число в конце концов получит один однозначно определенный номер. Да, кажется, что целых чисел вдвое больше, чем натуральных, но это неправда, на самом деле и тех, и других одинаковое количество. Мы их пересчитали (и ни одного не пропустили). Грубо говоря, целые числа можно перечислить. Все целые точки плоскости тоже можно перечислить (рис. 69).

Начинаю с точки (0, 0) это будет моя 1-я точка, и дальше по спирали. И в конце концов каждая целая точка плоскости получит свой один-единственный уникальный номер. Все номера будут заняты, все целые точки плоскости будут перечислены. Представьте себе, что у вас есть комната, в которой бесконечное количество стульев, и в нее заходит бесконечное количество учеников, как понять, что это одинаковые количества?

Слушатель: Посадить учеников на стулья.

Рис. 69. Начнем с точки (0, 0) и будем обходить ее постепенно расширяющимися оборотами. Каждому из узлов при этом присваивается какой-нибудь не повторяющийся номер: точке (0, 0) номер 1, точке (1, 1) номер 2, и так далее.

А.С.: И если они займут все стулья, каждый ученик сидит на одном стуле, все стулья заняты, и стоящих учеников нет, то вы констатируете тот факт, что стульев и учеников одинаковое количество.

Врезка 7. Как Кантор размышлял о «взаимно-однозначных» процессах

Выше было доказано, что учеников «ровно столько, сколько стульев» (притом и тех, и других — бесконечное количество). Но ведь тем же способом я сейчас докажу, что учеников (то бишь натуральных чисел) БОЛЬШЕ, чем стульев (то бишь целочисленных точек на плоскости). В самом деле: ученика номер 1 я вообще отправлю домой «как лишнего», на первый стул посажу ученика № 2, на второй — ученика № 3, и так далее. Итак, я доказал два взаимоисключающих факта: 1) что учеников и стульев одинаковое количество; и 2) что учеников БОЛЬШЕ, чем стульев. А захотел бы — доказал бы и что 3) стульев БОЛЬШЕ, чем учеников. Так что же, для бесконечных множеств, что ли, в принципе нельзя сказать, какое из них «больше»?!

Другой бы ученый на том и успокоился. Но гениальность Кантора позволила ему найти верную дорогу в этом мраке. Он спросил себя: а как было с этими теоремами для конечных множеств? Для конечных эти три теоремы несовместимы друг с другом, и любая из них может быть использована для выяснения, какое из множеств больше: учеников или стульев. А какой же из трех надо пользоваться для сравнения бесконечных множеств? Оказалось, что для бесконечных множеств надо взять за основу способ 1: если хоть каким-то образом удалось установить взаимно-однозначное соответствие между учениками и стульями, значит, торжественно объявляем эти два множества «равномощными» и не поддаемся ни на какие провокации типа «способа 2» или «способа 3». Только так можно построить непротиворечивое сравнение множеств по мощностям. «В наказание» за это Кантору пришлось доказать несколько труднейших теорем, которые, к сожалению, не только нельзя «по-простому» пояснить гуманитариям, но даже и у будущих математиков (студентов 2-го курса мехмата МГУ) с пониманием их доказательства возникают большие проблемы. Но хотя их трудно понять и воспроизвести, их уже нельзя «запретить» подобно тому, как пифагорейцы хотели «запретить» иррациональные числа — ведь Кантор всё обосновал строго математически, а другие с этим согласились.

Слушатель: А если у нас, допустим, две сферы, маленькая и большая?

А.С.: Как множества точек это одно и то же (то есть они равномощны). Объясню на примере окружностей (вместо сфер). Установим взаимно однозначное соответствие (рис. 70).

Рис. 70. Проводя лучи из общего центра двух окружностей, устанавливаем взаимно-однозначное соответствие между их точками. (Более того, оно же отвечает важному условию: близким точкам одной окружности соответствуют близкие точки другой.)

Школьник маткласса узнаёт всё это, скажем, в 9-м классе. И вот тут у него, как и у Кантора, возникает мысль: а может, любое бесконечное множество можно пересчитать? Тогда все бесконечные множества одинаковые. Возьмем отрезок [0, 1] и пересчитаем его. Получат ли все точки отрезка номера?

Нет. И это можно формально доказать (Кантор сделал это). Пересчитать точки отрезка невозможно. И так как внутри отрезка заведомо уживается бесконечное число точек вида параметризуемое натуральными числами — например, множество чисел вида 1/n, то мы говорим о том, что отрезок имеет как бесконечное множество большую мощность, он больше как бесконечное множество, чем множество натуральных чисел. На отрезке, на окружности, на плоскости больше точек, строго больше, чем натуральных чисел. Где-то в конце XIX века Г. Кантор понял, что бесконечности бывают разные.

Сейчас я докажу, что множество, любое множество (какое бы оно ни было, конечное или бесконечное), и множество его подмножеств не одинаковы. (Второе множество ОБЯЗАТЕЛЬНО будет больше по мощности.)

Сначала возьмем конечный случай. Пусть у нас есть множество. Оно состоит (например) из трех чисел: 0, 1 и 2. Подмножество это какая-то компания, составленная из них. Какие могут быть компании? Во-первых, может быть компания, в которой нет ни одного числа. Ну, как говорят, пустое множество. «Никого в нём нет» называется компания. Но математики никак не могут без этого обойтись, они просто не могут. Без нуля и без пустого множества математика не живет. Что значит «На день рождения пришло пустое подмножество гостей»? Это означает, что вы накрыли стол, и никто не явился. Математик скажет: «Ко мне на день рождения пришло пустое множество гостей». Потом, возможно, пришел только господин 0. И сразу множество перестало быть пустым!

Продолжаем «придумывать “компании”. Так сказать, кампания по нахождению компаний (шутка). Возможно, в гости пришел не Господин 0, а Господин 1 или Господин 2. Вот вам уже целых четыре компании: одна пустая и три из одного «человека». Эти последние могут даже побеседовать… сами с собой («с умным человеком и поговорить приятно»).

∅ (пустое множество),

{0}, {1}, {2}.

Какие еще варианты?

{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}.

Все варианты перечислили?

Еще могли прийти все. Итого — 8 разных компаний.

{0, 1, 2}.

Или такая задача. Вы начальник группы. И вы хотите кого-то наградить. Сколькими способами вы можете решить эту задачу? Вы можете наградить одного, можете не награждать никого. Можете наградить двух, можете всех трех. Сколько у вас способов решить эту задачу? У вас 8 вариантов, потому что 8 подмножеств.

Так вот, ни для какого (ни конечного, ни бесконечного) множества нельзя пересчитать подмножества, используя элементы исходного множества. Подмножеств гораздо больше, чем элементов. У нас элементов всего 3, а подмножеств оказалось 8. Не хватит. Если элементов было бы 5, то подмножеств будет 32 штуки. Для конечных понятно — не пересчитаешь. Я хочу сказать, что такого не может быть ни для каких вообще множеств. Это доказал Г. Кантор.

Смотрите. Как мы могли бы доказывать теорему о том, что множество и множество его подмножеств не одинаковы.

Рассмотрим множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4… И множество всех подмножеств этого множества, например, все четные, или все делящиеся на 3, или все кубы чисел, начиная с тысячи, и т. д.

Используем доказательство от противного (но в несколько необычной обстановке). Предположим, что мы смогли пересчитать множество подмножеств. Подмножество четных чисел получило, скажем, номер 15. Подмножество нечетных получило номер 3. Подмножество «Все четные, начиная с десятки» получило номер 156. Числа, делящиеся на 3, как множество, получили номер 1376, отдельно взятое подмножество из чисел, которые между ста и тысячью лежат, получило номер 1000000 и т. д.

Допустим, мы пересчитали все подмножества. Приведем это допущение к противоречию.

Рассмотрим все натуральные числа, для которых «их» подмножество (то есть подмножество с таким номером) не содержит этого числа.

Скажем, четные числа получили номер 15, 15 — нечетное число, то есть, подмножество, ему соответствующее, его не содержит. Значит, 15 — это как раз нужное нам число.

А если, например, подмножество состоит из чисел {101,102, 103…., 200} и получило номер 195, оно нам не подходит, так как 195 лежит внутри своего подмножества. Значит, натуральное число 195 нам не подходит.

Далее Кантор сделал шаг к следующему этапу рассуждения. Он рассмотрел все такие числа, собрал их в кучу и обозвал это подмножеством В.

Подмножество В вполне конкретное — это все числа, которые сами не входят в подмножество с их номером. То есть 15 вошло в В, 195 — не вошло. И так далее. Этому подмножеству В тоже должен быть присвоен некий натуральный номер b. Это же подмножество. Но если каждому подмножеству присвоен номер (по нашему предположению), то такому подмножеству тоже присвоен номер. Вопрос: число b входит ли в подмножество В? С какой вероятностью вы встретите крокодила на улице (если вы не знаете вообще, что такое «крокодил»)?

Слушатели: 50 на 50.

А.С.: Да, правильно, девушки дорогие! Вот это вы правильно говорите. Либо встретите, либо не встретите. Правда? Значит, номер b либо принадлежит подмножеству В, либо не принадлежит. Сейчас я докажу, что не может быть ни того, ни другого. То есть сейчас я докажу, что вы не можете ни встретить крокодила, ни не встретить. Ни то, ни другое не может произойти. И это будет то самое противоречие, которое будет устанавливать тот факт, что соответствия между множеством и множеством его подмножеств не бывает. Потому что оно выведено, исходя из того, что мы смогли устроить такое соответствие.

Поехали. Я утверждаю, что «инвентарный» номер подмножества, которое состоит из таких натуральных чисел, что их собственное подмножество их не содержит, не может ни содержаться в В, ни не содержаться в В. Предположим, что номер b содержится в В. Это значит, что он не может входить в множество тех чисел, которые в своих множествах не содержатся.

Слушатель: И значит, он не содержится в множестве В.

А.С.: И значит, он не содержится в В. А теперь представьте себе, что он не содержится в В.

Слушатель: Но тогда он должен содержаться, потому что он элемент В по определению множества В.

А.С.: Да. Тогда он должен содержаться в В. То есть если он содержится, то он не содержится, а если он не содержится, то содержится. Теорема доказана методом «от противного», ибо мы пришли к чисто логическому противоречию.

Вот она, математическая логика. Добро пожаловать! Каждый 6-й логик, как говорят, сходит с ума. Это мне говорил мой учитель, он тоже математический логик, но не шестой.

Делаем дальнейший вывод — это множество подмножеств больше, чем само множество. (Подсказка: во множестве всех подмножеств находятся все одноэлементные подмножества.) Заманчивой является мысль, что это не только для подмножеств натурального ряда чисел справедливо, но и вообще для подмножеств ЛЮБОГО множества. Но понятие «любое множество» так вдохновило некоторых математиков, что в ход пошли совершенно ужасающие множества типа «множество всех мыслимых множеств». (Или, например, множество плохо совместимых слов «огород», «бузина», «Киев», «дядька» из известной поговорки.) И возникли крупные математические проблемы с такими множествами. Но теория Кантора выдержала это нашествие «безумных множеств». Просто пришлось внести необходимые уточнения в некоторые исходные понятия.

Вот еще один яркий образчик «безумных математических объектов». Рассмотрим некоторый шар. Например, футбольный мяч. Есть способ разбить этот шар на конечное число кусков, из которых потом можно будет составить ровно два шара такого же размера. То есть вы берете футбольный мяч, берете ножницы, разрезаете мяч на несколько кусков, они совершенно безумно устроенные, но все-таки куски. Потом кххх… и у вас два футбольных мяча. Всё. Математики — такие вот фокусники.

Слушатель: Такого же размера?

А.С.: Абсолютно такого же размера.

Другой слушатель: Но это в теории возможно?

Слушатель: Только в теории и возможно. А на практике?

А.С.: А на практике ножницы должны быть устроены «неизмеримым образом», так сказать. Эти куски не имеют объема. Представление обычного человека о том, что любая объемная фигура имеет объем, не соответствует реальности. Далеко не у любой пространственной фигуры можно посчитать объем. Далеко не у любой плоской фигуры можно вычислить площадь. Но вы не можете себе представить такую фигуру. Их выдумали математики. Фигуры эти страшные, и они никогда не возникнут ни в какой реальности. Но в теоретических построениях они есть, и без них вот никуда. (А в процессе обучения такие «безумные» примеры позволяют лучше понять, как устроены окружающие нас РЕАЛЬНЫЕ предметы.) На прямой, например, есть объекты, у которых нет длины. У каждой физической теории есть ареал, в котором она применима. Механика применима для размеров порядка нас с вами, но она неприменима для размеров порядка атома, там она не работает. Там совершенно другая физика. В экономике макросистемы, которые генерируют такие вещи как инфляция, безработица и так далее, они абсурдны для множества из двух, трех человек. И мое философское мнение, может быть, оно совершенно дилетантское, что у математики тоже есть ареал, но он находится в мозгу человека. Там вселенная совершенно другая, там нет воздуха, привычной атмосферы нет. Математика тоже ограниченно применима, она не универсальна, она совершенно в другой области живет, поэтому в другой области нужно искать ограничения.

Слушатель: Как называется направление в математике, где можно разрезать шары таким невероятным образом?

А.С.: Теория меры. То, что мы называем площадью и объемом, математики называют мерой. Совершенно страшные объекты получают меру, а некоторые не получают. Это очень существенно. Не любое множество можно измерить. В этом кроются границы того, что подсказывает нам наша интуиция. Она говорит про очень простые вещи, про многоугольники, многогранники, сферы, шары. Про что-то, достаточно просто устроенное. У чего всегда можно измерить объем, площадь. Если разрезать футбольный мяч на нормальные «человеческие» куски нормальным «человеческим» ножом, то вы, конечно, никогда не получите двух футбольных мячей, просто из соображений объема. То есть идея в том, что объема у тех кусков, которые участвуют в теореме, нет. Никакого. Ни нулевого, ни положительного, никакого нет. Но когда куски эти сложат вместе, у полученного мяча может быть вполне определенный объем. («Объединение двух неизмеримых кусков может быть измеримым».)

А теперь я все-таки расскажу вам про алгоритм Евклида в геометрических терминах. Давайте возьмем дробь 3/14 и превратим ее в цепную дробь:

А теперь смотрите, что я делаю геометрически. Беру прямоугольник 3 x 14 (рис. 71).

Рис. 71. Исходный прямоугольник размера 3 x 14.

Рис. 72. Режем пирог методом Евклида.

Отрезаю от прямоугольника квадраты (рис. 72). Остается прямоугольник 2 на 3. Отрезаю от него квадрат. Остается 2 клетки. Вот они и есть наши целые части. 4 больших, 1 поменьше и 2 совсем маленьких.

Это и есть алгоритм Евклида. Такой красивый, геометрический способ.

Как показать на картинке, что рациональное число обязательно раскладывается в конечную цепную дробь? Рациональное число — это как бы прямоугольник на клетчатой сетке. Потому, что у него верх и низ целые.

Вот, скажем, 105/13 — это прямоугольник 105 в ширину и 13 в высоту. 105 и 13 это целые числа, то есть у нас целое количество квадратиков. Теперь мы начинаем наш геометрический алгоритм Евклида. Отрезаем, пока можем, огромные квадраты 13 х 13, проводим здесь границу — это наша целая часть. Граница идет но целым клеткам, потому что отрезали целое количество квадратиков. Оставшаяся фигура целочисленный прямоугольник. Отрезаем квадраты от нее. Остается еще меньший прямоугольник. Понятно, что за конечное время всё будет вырезано. Каждый раз минимум один квадратик удаляется. Поэтому в какой-то момент квадратики закончатся. Теперь вспомним фокус-покус, который я провел выше с числом «корень из двух» (точнее, с числом √2 + 1, см. рис. 73).

Рис. 73. Прямоугольники, да не те… Стороны их несоизмеримы.

Начинаем делать ровно то же самое. Отрезаем квадратик (рис. 74). Потому что мы ищем, сколько раз единица укладывается в «корне из двух плюс один». Она укладывается ровно два раза. Какие оказываются у этой конфигурации стороны? 1 и √2 − 1. Тогда прямоугольник ABCD подобен BCD'А'.

Рис. 74. На горизонтальном прямоугольнике выделены два квадрата, остался кусочек, подобный исходному прямоугольнику.

То есть если мы перевернем и увеличим BCD'А' в некоторое количество раз, то получим ABCD. Доказательство нужно? Сейчас будет. Что такое подобие? Это «сильная похожесть» фигур. Углы у прямоугольников одинаковые, не хватает лишь пропорциональности сторон. Анализируем, есть ли она. 1 : (К + 1) равно ли (К − 1) : 1? «Напоминаем, что К это корень из двух».

В прошлый раз мы доказывали, что это одно и то же. Подобие имеет место. Что же произойдет дальше? Если мы начнем дальше отрезать квадратики, мы опять получим подобие, и так будет до бесконечности (рис. 75).

Рис. 75. «У попа была собака, он ее любил. Она съела кусок мяса, он ее убил — в землю закопал, камень положил. На камне написал: “У попа была собака… ” и так далее до бесконечности».

Теорема доказана. Из-за подобия мы будем эту операцию бесконечное количество раз проделывать, а значит, ни на какой сетке наш прямоугольник размеров (√2 + 1) х 1 не может лежать и, следовательно, √2 + 1 не будет рациональным числом.

Что-то это мне напоминает… В детстве у меня была книга. Она называется «Вот так история!». Там был мальчик. Он ужасно себя вел. Все были воспитанные, а он был невоспитанный. И вот этого мальчика отправили в невоспитанный город, где у него сразу старик отнял кровать, выгнал его, стал спать в этой кровати. Потом на его подушке выросло невоспитанное дерево, мальчика разбудило. Его все стали обижать, на улице все толкались, и он попросился обратно. Просто детский триллер, да и только. На обложке этой книги, однако, была изображена нетривиальная картина.

Рис. 76. На обложке книги сидел дед. Рядом сидели внуки. Дед держал такую же книгу, как исходная, но поменьше. А на ее обложке сидел дед (поменьше), внуки (поменьше), дед держал книгу (еще меньше). А на обложке дед (еще меньше…), и так далее.

Я на нее гляжу, гляжу… Это был момент, когда мой папа понял, что я математик. Я сам тогда ничего не понял, я был совсем маленьким. Я просто посмотрел на картину, на которой сидит дедушка и читает внуку эту книгу. А теперь представьте на секунду, что это означает? Это значит, что на маленькой книжке на картинке изображены дедушка и внук, и у дедушки в руках та же книга, на которой изображены дедушка и внук. Я говорю: «Папа, так это… Это же до бесконечности повторяется! Это же повтор, а значит, это должно быть до бесконечности, да?» В прямоугольниках (рис. 75) то же самое.

С этим связана еще одна интересная задача. Есть две карты города, разного масштаба. Одна карманная, другая большая настенная карта. Предположим, что кто-то взял, сорвал со стены большую карту и кинул на нее маленькую. (Карты подобны по форме) (см. рис. 77).

Доказать, что можно взять иголку и проткнуть эти две карты в одной и той же точке изображаемого ими города.

Это вроде как игра. Я беру вот эти две карты и думаю, как бы мне положить верхнюю на нижнюю, а вы приходите и иглой протыкаете, где захотите; если вы проткнули иглой одну и ту же точку (дом 37 по улице Профсоюзной), значит, вы выиграли, а если нет, то выиграл я. Теорема утверждает, что в этой игре проигрывает тот, кто кладет карту. То есть, как бы ни положить карты, всегда можно указать нужную точку.

Доказательство — в одну строчку. Методом «взгляни — и поймешь».

Рис. 77. Ничто по предвещало появления Ее величества Бесконечности..

Нарисуем на маленькой карте ту территорию местности, которую на большой карте закрыла маленькая карта.

Теперь нарисуем на нарисованной карте ту территорию, которую она занимает на маленькой (рис. 78).

Рис. 18. И завертелись карты города аж до бесконечности!

Дальше они будут вертеться до бесконечности, но в пересечении всех этих карт будет точка. В нее и надо воткнуть иголку.

А теперь немножко сложнее: я беру две абсолютно одинаковые карты города. Верхнюю снимаю, сжимаю, комкаю, складываю, но не рву. Теперь кидаю на оставшуюся лежать карту так, чтобы верхняя не вылезла за пределы нижней (рис. 79).

Рис. 79. Иллюстрация к теореме Брауэра.

Теорема. Всё равно можно проткнуть иголкой эти две карты в одном место. Всегда, что бы вы ни делали (единственное только нельзя резать и рвать). Если вы карту порвали, то можно добиться того, чтобы проткнуть было негде. А вот если мы не рвали, то всегда найдется общая точка, иногда их будет несколько, но одна найдется обязательно. При условии, что смятая до неузнаваемости (и сплющенная) верхняя карта целиком лежит на нижней. Эта теорема очень эффектна. На самом деле, она утверждает нечто про произвольное непрерывное отображение объекта в себя. Эта теорема не очень простая, я ее рассказываю на курсе «математика для экономистов» и в школе анализа данных Яндекса. Называется она Теорема Брауэра.

На самом деле, пока она не была доказана, в нее не очень верили. Любое непрерывное отображение (разрешено всё, кроме разрывания) замкнутого выпуклого объекта (в теореме Брауэра говорится о замкнутом шаре) в себя всегда обладает неподвижной точкой. То есть точкой, которая никуда ни сдвинулась. Вы что-то растягиваете, что-то сжимаете, что-то складываете, но вы никогда, никогда не добьетесь того, чтобы все точки изменили свое положение. Этого нельзя сделать. Этому есть математическое препятствие, и оно называется «теорема Брауэра о неподвижной точке».

* * *

Вернемся к задаче, которой мы закончили предыдущую лекцию.

(1 + √2)², (1 + √2)³, … (1 + √2)ⁿ

— эти вот выражения почему-то тоже помогали нам решать уравнение Пелля.

Сейчас как раз самое время открыть секрет. Заодно получим еще одно оправдание изучению уравнения Пелля:

x² − 2у² = 1.

Греки мыслили геометрическими образами. Старались увидеть число, увидеть теорему Пифагора. У них были «квадратные» и «треугольные» числа.

Например, 4 или 9 — это квадратные числа (рис. 80).

Рис. 80. Из 4 или из 9 кружков можно сложить квадрат.

Что такое треугольное число? Это когда из такого количества кружочков можно треугольник собрать. 3, 6, 10 — числа треугольные (см. рис. 81).

Рис. 81. Перед началом партии в биллиард шары укладывают в «треугольник».

Следующее 15, потом 21. Каждый раз прибавляем на 1 больше, чем в предыдущий раз.

Сам собой возникает вопрос: бывает ли так, что одно и то же число и квадратное, и треугольное? То есть количество фишек таково, что можно собрать из них квадратик, а можно перемешать и собрать треугольник.

Слушатель: Число 1 и такое, и такое.

А.С.: Безусловно. Человек, который говорит «число 1», обладает математическим мышлением. Не пропустить даже простейшего случая. Это очень важно.

Однажды я ехал в поезде из Иркутска в город Тулун. И со мной в плацкарте ехала женщина с дочкой лет пяти. Мама явно не математик, но при этом хочет дочку чему-то научить. И она спрашивает: «Вот, смотри. У тебя пять кукол. Как их можно разложить? 3 и 2». — «Ну, да». — «А еще можно как-нибудь?» Я с интересом наблюдаю. Тут дочка и говорит: «Можно 5 + 0».

Я вскакиваю с полки, спускаюсь и говорю: «Ваша дочь имеет нетривиальные, очень хорошие математические способности».

Мама немножко помолчала, а потом согласилась. Но она не поняла. Ведь назвать 5 + 0 может только человек, у которого четко развита логика, другой человек не назовет, это нетривиальный вариант.

Вернемся к треугольным и квадратным числам. Какое следующее, после 1? Следующее «и такое, и такое» число — это 36 (см. рис. 82).

Рис. 82. Число 36 — «дважды чемпион» среди натуральных чисел.

Давайте найдем общую формулу для всех чисел такого рода.

Слушатель: 36 на 6, ну, 36 на 36 умножить?

А.С.: Давайте, во-первых, выведем формулу для треугольных чисел. То есть, грубо говоря, есть формула для всех квадратных: n². Подставляете любое число, получается квадрат. А вот как написать общую формулу для чисел 1, 3, 6, 10, 15… Вот что нужно сделать с m, чтобы получить треугольное число?

Что получается? 1 + 2 + 3 + 4 + … + m.

Нужно посчитать такую сумму. Вот оно, треугольное число. Как посчитать такую сумму? Есть знаменитая история про то, как Гаусс быстро в уме подсчитал сумму первых подряд идущих ста чисел. (Но это, мне кажется, байка.) Маленький Гаусс учился в школе в 3-м классе. В школе к учителю или к учительнице пришел знакомый. Учительница решила дать задачу такую, чтобы дети занялись на весь урок. «Дети, а теперь посчитайте 1 + 2 + 3+ и так далее до 100». И ушла довольная. Выбегает маленький Гаусс через 5 минут, говорит: «Я посчитал: 5050».

«А как ты посчитал? А ты можешь доказать?» — «Ну конечно, могу. Смотрите. Я пишу две строки:

1 + 2 + 3 + … + 100,

100 + … + 3 + 2 + 1.

По-другому просто перенумеровал. Сумма внизу та же самая будет. Пусть она равна x. И сверху х и снизу х.

1 + 2 + 3 + … + 100 = x,

100 +… + 3 + 2 + 1 = x».

Давайте теперь сложим строчки по столбикам: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, …

Слушатель: Всегда получится 101.

А.С.: Конечно. А сколько штук?

Слушатель: 100.

А.С.: 100. Значит, удвоенное значение нашего выражения равно 50 умножить на 100. Откуда после сокращения на 2, естественно, и получается х равно 50 умножить на 101.

2х = 10100,

отсюда

x = 5050.

Вот Гаусс и сказал 5050. И был совершенно прав, ничего не считая. Математика — это искусство лени. Математик — это тот, кто никогда не будет делать рутинных действий, он всегда придумает что-то машинное. Вот вы познали какой-то рутинный метод. Всё. Вы теперь на нём не зацикливаетесь, на нём будет зацикливаться компьютер. Компьютер ничего не выдумает, а математик, он свалит на компьютер всю рутину и найдет закономерность. В Брауншвейге Гауссу стоит памятник: бронзовый 17-угольник, на котором стоит математик. А почему он стоит на 17-угольнике? Потому что Гаусс придумал, как строить правильный 17-угольник циркулем и линейкой. «Правильный» — значит с равными сторонами и углами.

До него эту задачу не могли решить. Можно построить правильный треугольник, 4-угольник. На самом деле, если вы умеете строить многоугольник с простыми сторонами, то остальное легко. То есть надо строить: правильный треугольник, 5-угольник, 7-угольник. А 7-угольник никто строить не умеет. Все мучились и думали: «Что ж такое? Какие-то мы глупые, наверное. Почему мы не можем построить правильный 7-угольник циркулем и линейкой?»

А потом уже после Гаусса пришел Ванцель и сказал: «Это невозможно. Математически невозможно». И доказал это. Так же, как нельзя построить правильный 11- и 13-угольник. Помните, я рассказывал про теорему Галуа? Про то, что для уравнения выше 4-й степени нельзя написать общую формулу корней. Здесь та же ситуация, вы можете взять циркуль и линейку, вооружиться ими и хоть всю жизнь строить какие-то дуги, что-то пересекать, но вы никогда не сможете построить правильный 7-угольник. Ванцель доказал это в 1836 году. Но еще значительно раньше девятнадцатилетний Гаусс сумел построить правильный 17-угольник. Какая следующая фигура строится циркулем и линейкой из правильных многоугольников? После 17-угольника? Оказывается, 257-угольник. Это очень долго и сложно, но можно.

Вернемся к треугольным числам.

Понятно теперь, как мы будем выводить общую формулу? Мы запишем всё наоборот. Мы здесь запишем

1 + 2 + 3 + 4 + … + m = х,

m + (m − 1) + (m − 2) + … + 1 = х.

Теперь сложим и получим m экземпляров какого числа? Числа (m + 1):

(m + 1)m = 2х.

Поэтому формула вот такая:

Теперь можно подставлять вместо m любые натуральные числа и получать треугольные.

А вот теперь задается вопрос. Итак, число является треугольным, значит оно имеет такой вид

С другой стороны, оно квадратное, то есть имеет вид: n².

Получается замечательное уравнение для решения в целых числах

m(m + 1)/2 = n².

А теперь смотрите? Может быть, вы помните, что такое делители числа? Делитель числа а — это такое число, на которое а делится (без остатка).

m и (m + 1) — два соседних числа. Значит, одно из них точно четное, а значит, делится на 2. Значит m(m + 1)/2 — произведение двух целых чисел. Четное поделится на 2, а нечетное не поделится. Важно так же, что у соседних чисел не может быть общих делителей.

15 делится на 3, 16 нет. На 3 делится каждое третье число.

16 делится на 2 и на 4, но на 3 не делится.

Слушатель: А единица?

А.С.: Да. Единица. Но единицу мы за делитель не считаем, на нее всё делится. Еще пример. 28 делится на 7. Следующее число, которое делится на 7 — 35, а предыдущее — 21. Значит 27 на 7 не делится. То есть m и (m + 1) точно не имеют общих делителей.

В другой части нашего уравнения написан квадрат: n².

Его можно разложить на простые множители. И каждый такой множитель будет входить в разложение n² в четной степени. Например, если n делится на 5, то n² делится на 5².

Значит, чтобы выполнялось наше равенство, m(m + 1)/2 тоже должно делиться на 5². То есть на 25. Но m и (m + 1) не имеют общих делителей, значит одно из них делится сразу на 5².

И это будет верно для каждого простого делителя числа п. Иными словами наше равенство возможно, только если каждый из m и (m + 1) является квадратом[20].

Я, между прочим, в этой лекции обошел одну тонкость, которая называется основная теорема арифметики. В школе ее тоже обходят. Звучит она так: любое число однозначным образом раскладывается на простые множители. Школьников обманывают, говорят: «Ну, это очевидно». Действительно очевидно — если вы посидите, как я, и пораскладываете все числа от одного до 1000 на множители, то вы, конечно, убедитесь в этом. Но к абсолютному доказательству такая очевидность отношения не имеет.

Если же поверить в эту теорему, то получается следующее. Если n делится, скажем, на 11, то n² делится на 11², на 121. Значит, и m(m+1) делится на 11². Но 11 не может входить и в m, и в (m+1). Либо m делится на 11 в квадрате, либо (m + 1) делится на 11 в квадрате.

Эта важная истина говорит о том, что если m(m + 1)/2 = n², то либо m = а² и (m + 1)/2 = b² в случае если m — нечетное, а (m + 1) — четное, либо наоборот m + 1 = b² и m/2 = а² (если наоборот).

Отсюда уже один шаг до уравнения Пелля x² − 2у² = 1.

В первом случае получаем:

m = а² и (m + 1)/2 = b²  ⇒ m + 1 = 2b²,

а так как m и m + 1 соседние числа, то а² − 2b² = − 1.

Во втором случае получаем:

m + 1 = b² и m/2 = а² ⇒ m = 2а² ⇒ b² − 2а² = 1.

Оба раза мы пришли к уравнению Пелля x² − 2у² = ±1.

То есть, решая это уравнение, мы будем получать квадратно-треугольные числа.

Ребенок, который играет в эти кружочки и хочет составить одновременно квадратное и треугольное число, вынужден решать уравнение Пелля.

Давайте посмотрим. Какие у нас были решения? 41 и 29.

41² − 2 · 29² = −1.

Следовательно

(m + 1)/2 = 29², m = 41², n² = 29²41², n = 1189.

Кто бы мог подумать, что когда-нибудь мальчик выложит такой треугольник. В нём должна быть 1681 строка. Представляете, какую площадь займет этот треугольник!

Но я всё ухожу от ответа про (√2 + 1)², хотя и обещал его вам. Итак. Почему же, независимо от степени, у нас всегда получалось решение уравнения

x² − 2у² = 1?

Возвожу, например, в 4-ю степень. (На самом деле, можно возвести в любую.)

Это классический бином Ньютона. Чтобы раскрыть все эти скобки, нам нужно каждый раз из каждой скобки взять либо √2, либо 1. Представьте себе, какие из этих операций дадут целое число, а какие будут давать число с корнем из двух. Во-первых, целое получается, если я отовсюду взял единичку. С другой стороны, если я из 2 скобок взял корень из двух, а из 2 единичку, тоже будет целое. Если я из 4 скобок возьму √2 — тоже целое. А вот если из 3 скобок взять или из одной, то получится число с корнем. И после того, как я сложу, у меня получится выражение вида m + n√2.

В m сидят все способы раскрытия скобки, где я беру с корнем четное число скобок, а все остальные разы единичку. А в n — все, в которых я взял с корнем нечетное количество скобок, а из остальных — единичку.

А теперь посмотрим на скобку с минусом. Получится то же самое, за одним исключением. Когда я возьму √2 нечетное число раз, у меня получится число с минусом. Таким образом, при перемножении получается знак минус ровно у тех слагаемых, которые кратны √2. Поэтому после того, как мы всё сложим, у нас получится m − n√2

А теперь давайте перемножим две наши строчки.

(m + n√2)(m − n√2) = m² − 2n².

Напоминает Уравнение Пелля, не правда ли?

Наконец, перемножим правые стороны уравнений. Я не зря вам тут про Гаусса рассказывал. От перестановки множителей ведь ничего не меняется. Поэтому я могу в моем произведении перемножать скобки в любом порядке. Перемножу их по столбцам:

Ну и тогда у нас получается после перемножения по столбцам

в ответе (−1)(−1)(−1)(−1).

А что получится, если (−1) умножается на себя много раз? 1 или (−1). То есть, когда мы будем возводить (1 + √2) в четную степень, будет (+1), а в нечетную (−1).

Но с другой стороны уравнения у нас стояло m²−2n². Получаем m² − 2n² = ±1.

То есть мы доказали, что в любой степени (1 + √2)ⁿ порождает решение нашего уравнения Пелля.

Теперь несколько вопросов до следующей лекции.

* * *

1. Вы залезли на вершину Хибинских гор. Высота их примерно 1 км. И посмотрели вдаль. А там — дома. Вам померещилось, или это Мурманск? Могли ли вы увидеть Мурманск? На сколько километров вдаль можно увидеть с километровой горы? Обратите внимание, земля круглая, поэтому сильно далеко не увидишь. На сколько километров видно с Эвереста? С 20-этажного дома? Если кто-нибудь, например, говорит: «Я тут пролетал из Тбилиси в Дели и Москву на горизонте видел». Он врет или возможно такое? Это задача, которая возникает, когда вы идете в горы.

2. Вы стали астрономом. И наблюдали за звездами. Наблюдали, живя в городе Москве, а потом по семейным обстоятельствам перебрались в Санкт-Петербург. Вы обнаружили какие-нибудь новые звезды, которые из Москвы не видно? Как устроены между собой два множества звезд этих двух городов? (Множество звезд, которые видны из Петербурга, и множество звезд, которые видны из Москвы.) Случилось солнечное затмение. Летним днем в Москве стали видны звезды, которые никогда не видны летним днем в Москве. Это новые звезды, например, «Южный крест», или это те звезды, которые вы уже видели над Москвой?

3. Вы идете на лыжах 22 марта. Начинает темнеть, и вы вспоминаете, что 22 декабря, когда вы шли на лыжах, и солнце зашло за горизонт, вы успели добежать до деревни Морозки до полной темноты. Вы идете в том же самом месте. Успеете ли вы добежать до деревни Морозки или нет? Тот же вопрос про 22 июня и 22 сентября (но уже вряд ли на лыжах). Когда быстрее всего наступает темнота после захода солнца, когда медленнее?

4. Вы подошли с вашей маленькой двухлетней дочкой к детской площадке. И обнаружили там некоторое количество качелей разного вида.

Картинка: качели, рассчитанные на двоих детей. Одни с ручкой для рук (см. рис. 83), другие с ручкой для ног (см. рис. 84). А также совсем простые качели в виде обычной доски (см. рис. 85).

Рис. 83. Качели с ручками для рук.

Рис. 84. Качели с ручками для ног.

Рис. 85. Качели без ручек — в виде обычной доски.

Какие качели в порядке (то есть в горизонтальном состоянии), а какие качели вы увидели, скорее всего, в перекошенном состоянии? Как это зависит от расположения спинки?

Вы опять пришли и увидели, что качели устроены как абсолютно плоская доска. Просто обтесанное с двух сторон бревно, и больше ничего. Но одни качели в положении равновесия висят, вторые всё время скатываются набок. Почему?

5. Алиса летит сквозь Землю. Помните сюжет книги Л. Кэррола «Алиса в стране чудес»?

Алиса летит сквозь Землю и думает, что она к антиподам прилетит. В самом центре Земли выбегает гномик и дает ей пинок так, что увеличивает скорость ее полета на 1 метр в секунду. Вопрос: на какое расстояние она вылетит из Земли вверх благодаря этому дополнительному метру в секунду?

6. В лиге чемпионов в группе 4 команды. Они играют каждая с каждой. Причем каждая с каждой играет и у себя, и в гостях. То есть в каждой группе между каждой парой команд произойдет ровно 2 матча. В случае ничьей каждой команде дают 1 очко. Тот, кто победил, получает 3 очка. Проигравший — ноль очков. А теперь — внимание! С каким минимальным количеством очков еще можно попасть в следующий раунд? В следующий раунд попадают 2 команды из 4. Вы должны привести конкретный расклад. Кто с кем играл, какие баллы получил. И доказать, что с меньшим числом очков «выйти из группы нельзя».

7. Каково максимально возможное количество родных прапрабабушек?

Обсуждение ответов — на лекции 5.