А.С.: В прошлый раз я успел поговорить про бесконечность. Умение работать с бесконечностью, умение через бесконечность перешагивать, умение различать разные бесконечности — это основная работа в математике. Как могут быть разные бесконечности? Кажется, что либо что-то конечное, либо бесконечное. Но нет. На самом деле бесконечности бывают разные. На прошлой лекции мы говорили про сходящиеся и расходящиеся ряды. То есть рассматривали суммы с бесконечным количеством слагаемых.

Например, сумма 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..., как выяснилось, стремится к бесконечности. То есть становится больше любого наперёд заданного числа. Скажите ей: «Будь больше 1000». Тогда нужно взять много слагаемых.

Возьмем 2²⁰⁰⁰ членов. Оказывается, тогда их сумма будет больше 1000. Скажете: «Будь больше 1000000». Тогда нужно взять 2^2000000 членов. Их сумма будет больше миллиона. И так далее.

А вот этот ряд: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … тоже состоит из бесконечного числа членов, но его сумма никогда не станет больше, чем двойка.

Теперь еще одна интересная задача. Начнем издалека. В 2000 году, где-то зимой, мы были в лесу в районе станции Радищево, праздновали чей-то день рождения. Вокруг было очень мало сухих деревьев, все спилили до нас. Было только огромное, совершенно сухое дерево. И это дерево огромного размера стояло и очень нас заманивало. У нас была двуручная пила, и мы начали пилить. Пилили-пилили, пилили-пилили и допилили. Дерево сделало «тцук…» и село на нашу пилу. Пила осталась внутри, а полностью спиленное дерево стоит и падать не собирается (рис. 52).

Рис. 52. Пальцем слегка толкнем это дерево.

Но стоит подуть ветру, и оно упадет. В какую сторону оно упадет — совершенно не предсказуемо. Что делать? Надо или вставать и уходить, написав со всех сторон «внимание, внимание, до ближайшего ветра сюда не подходить», или пытаться уронить дерево. Мы решили с ним побороться. Взяли вспомогательное дерево и прислонили его к спиленному где-то на высоте десяти метров. Навалились, и оно поддалось (рис. 53).

Рис. 53. Дерево с контрфорсом.

Было видно, как дерево начало падать. Но скорость была чудовищно медленная: несколько сантиметров в секунду, едва-едва. Где-то минуту мы ждали, пока оно медленно наклонялось, и только потом оно начало ускоряться и через несколько мгновений рухнуло со страшным грохотом. Пришел я домой и написал уравнение падения дерева. В физике траекторию движения системы под действием сил можно выписать в виде уравнений. Такие уравнения называются дифференциальными. Это означает, что скорость изменения скорости, то есть то, что называется ускорением, зависит от сил, которые действуют на тело. Это — один из основных законов физики, он позволяет свести всё, что есть в обычной, не квантовой, механике, к системам уравнений. Можно выписать такое уравнение и для нашего дерева. И к своему удовольствию, исследовав это уравнение, я пришел к выводу, что, если дать дереву толчок очень маленькой силы, оно начинает падать очень, очень, очень медленно.

Я начинаю рассуждать, что дерево — это просто вертикальная палка, без толщины. Она стоит совершенно вертикально, но обладает массой. Массивная вертикальная палка. Кто-то толкает ее сверху. Ударит человек — палка падает (скажем) 1 минуту. Пролетит голубь, заденет — будет падать 10 минут. Начальная скорость верхней точки будет, скажем, 1 мм/с. И очень долго скорость почти не будет меняться. А если врежется муха, то палка будет падать час. Уравнение выдает удивительный результат: на самом деле нет никакой границы на время падения дерева, вообще никакой.

Рассмотрим похожую задачу. Есть вагончик, в котором на шарнире установлена тонкая железная вертикальная палка. Чуть-чуть вправо или влево она падает, так же, как и рассмотренное выше дерево.

Рис. 54. Падающее дерево едет в вагоне…

Теперь представьте обратную задачу. Вы берете уже упавшую или под некоторым углом висящую палку. После чего придаете ей некоторый импульс — толкаете ее снизу вверх (рис. 55).

Рис. 55. Слева — слабый удар по стержню (он упадет обратно). Справа — сильный удар (стержень упадет с другой стороны от точки прикрепления).

Какие возможны варианты? Во-первых, толчок может быть слишком слабый. Что произойдет с палкой? Поднялась и упала обратно. Теперь, допустим, подошел какой-нибудь бугай. Бабах по этой палке. Она р-раз — и перелетела на другую сторону. Подходит кто-то немножко более сильный, чем я, но слабее, чем бугай. Толкает палку, а она всё равно падает.

Вы качались на качелях-перевертышах? Мое детство отчасти проходило в городе Мценске. И в парке там была такая закрывающаяся изнутри кабинка с противовесом наверху, которую раскачиваешь, раскачиваешь, раскачиваешь, и она «переворачивается»; противовес оказывается внизу, а кабинка сверху (но благодаря свободному подвесу кабинка при этом вверх ногами не переворачивается). Я замечал, что наверху она долго движется с более-менее постоянной скоростью. Мы знаем, что с постоянной скоростью движутся тела, на которые не действуют силы. На кабинку силы, конечно, действуют, но вертикально вниз. В момент, когда кабинка проезжает верхушку, сила перпендикулярна линии движения, поэтому скорость почти не меняется. И если аккуратно выверить движение, то кабинка практически остановится наверху.

Вернемся к нашей палке и нарисуем график. По горизонтальной оси — сила удара, по вертикальной — результат (рис. 56).

Рис. 56. Построение графика ступенчатого вида («отклик на удар»).

Если вы ударили слишком слабо, то результат будет палка — упадет обратно. Если очень сильно ударить, то результат — палка перевернется на другую сторону. И есть ровно одно вещественное число, одна сила удара, которую нужно придать палке, чтобы она остановилась вертикально. Вопрос. Сколько нужно времени в идеальном мире, в котором нет воздуха, трения и так далее, чтобы палка заняла вертикальное положение?

Слушатель: Смотря под каким углом было изначально.

А.С.: Нет. От того, под каким углом была изначально палка, зависит только то, с какой силой нам надо толкнуть палку. А времени понадобится бесконечный промежуток. Строгая математическая бесконечность. То есть, если палке придать такую силу, которая в точности достаточна для того, чтобы она достигла положения вертикального равновесия, то время, за которое палка будет достигать этого положения, равно плюс бесконечности. В условиях задачи, когда мы говорим об идеальной математике, мы, естественно, не учитываем, что вокруг меняются обстоятельства. В идеальной ситуации время равно бесконечности. Я посчитал всё это в 2000 году, потом рассказал физикам, а они сказали, что это очевидно, и всё они это давно знали. Наверное, кому-нибудь не хочется верить, что потребуется бесконечное количество времени. Я дам еще одно подтверждение. Давайте вернемся к тележке. Пусть это будет вагон, внутри которого находится наша палка на шарнире. Вагон едет по маршруту Москва — Петербург. И мне сообщили, с точностью до 100% (так, как у математиков бывает, а в жизни нет) информацию о скорости, с которой вагон будет двигаться (рис. 57).

Рис. 57. График изменения скорости поезда Москва — Петербург: скорость, с которой поезд выезжает, сначала слегка увеличивается, а потом достигает максимума и далее обращается в нуль (остановка в Бологом). После этого скорость снова растет, чтобы не было опоздания в пункт назначения.

Утверждение. Существует такое положение палки, такой угол, в котором я могу ее выпустить из рук в начальный момент времени, что она не упадет в течение всей дороги. Существует такой угол альфа, что, если я придам железке на шарнире этот угол, то она всю дорогу будет болтаться туда-сюда, но никогда не упадет. Обоснование этого факта изложено ниже.

Эта задача разобрана в книге, которую я всем рекомендую: Р. Курант, Г. Роббинс, «Что такое математика?». Еще раз отмечу, что мне в этой задаче известен точный график движения поезда.

Ключ к решению этой задачи — в использовании идеи непрерывности. Мы один раз уже с ней столкнулись в предыдущей задаче: есть такой импульс, получив который, палка не упадет ни направо, ни налево. Она встанет вертикально, но через бесконечное время. Задача про вагон, в котором движется железный стержень на шарнире, напрямую относится к предыдущей. Давайте посмотрим. Если палка уже лежит, то она будет всегда лежать. Она никогда никуда не встанет. А теперь рассмотрим для каждого начального угла поворота этой палки, в какое положение она в конечном счете ляжет: направо или налево. А если она останется висеть, значит, мы нашли то, что нам нужно.

Если палка ляжет, то она ляжет в одно из этих двух положений. Причем уравнения движения таковы, что если чуть-чуть поменять угол, совсем чуть-чуть, сторона падения не изменится. Если палка падала направо, то чуть-чуть изменив угол, вы не измените результата. Она всё равно упадет направо. Тем самым, если в одном положении она падала, скажем, направо, значит, и в близких начальных положениях она тоже должна падать направо. То есть, как говорят математики, множество положений, в которых она упадет направо — открытое множество. «Открытое» — значит, вместе с какой-то точкой содержит все близкие к ней точки. Если из какого-то положения палка падает, то из всех достаточно близких положений она упадет в ту же сторону.

Интуитивно понятно, что мы можем всегда приподнять палку настолько мало, что она непременно упадет обратно. Давайте медленно изменять положение палки. В каких-то положениях она будет падать направо, а в каких-то — налево. Значит, где-то есть переход, угол, такой, что всюду справа она падает направо, всюду слева — налево[14]. Что же это за угол? Единственный факт, который мы можем сообщить про этот угол, это что для такого угла палка не упадет вообще. Ничего другого про него не известно. Парадоксально, но это факт! Если вы в это поверили (а я вас не обманываю), тогда в том, что в близком к вертикальному положению палка может находиться сколь угодно долго, вас убедит следующее соображение. На стоянке в Бологом поезд может стоять 10 минут, а может — час. И в течение этого часа палка не упала. Она ведь не падала всю дорогу, в частности, она не упала и в течение стоянки. Что же она делала в это время?

Слушатель: Двигалась.

А.С.: Она находилась очень близко к вертикальному положению. Потому что, если бы она чуть-чуть от него отклонилась, она рухнула бы. Поэтому во время стоянки она была очень близко к вертикальному положению. А так как стоянка может быть сколь угодно долгой, из этого следует, что палка в районе вертикального положения может находиться сколь угодно долго. Поэтому-то она будет подниматься в него бесконечное время.

Это — наше второе знакомство с бесконечностью. Сейчас будет третье.

Слушатель: Гвоздь программы.

А.С.: Бесконечность — это гвоздь программы, безусловно. Потому что бесконечность — это центральное понятие в математике. Математика — это шаг через бесконечность. Освоение математики — это когда вы становитесь с бесконечностью «на ты». И чем больше вы «на ты» с бесконечностью, тем лучше вы понимаете математику. Это — наука о бесконечности. В этом смысле математика и религия дополняют друг друга. Религия — это знание о бесконечности, математика — это наука о бесконечности. Это две ипостаси бытия.

Сейчас мы поговорим о бесконечности в некотором другом разрезе, геометрическом.

Помните ли вы, что такое квадратный корень? Корень квадратный из 100 — это 10. Потому что 10 х 10 = 100. А вот что такое корень квадратный из двух — это не так понятно. А что такое рациональное число? Если вы не знаете, не страшно. Но что такое целое число, знают все. Целые числа — это ноль, один, два, три, четыре, пять, шесть и так далее в положительную сторону, но также минус один, минус два, минус три, минус четыре и так далее — в отрицательную. У древних была большая проблема с отрицательными числами. Число, бесконечность, уравнение — это всё то, с чем математики всё время имеют дело. Что такое число? Для древних число — это то, чем мы считаем предметы. Более того, до сих пор натуральными числами часто называют числа, используемые для подсчета предметов. Ноль — это для древних уже было что-то странное. Число или не число? Натуральное ли оно? Ноль — это отсутствие предметов. Отсутствие — это количество или нет? Сколько крокодилов в нашей комнате?

Слушатель: Ноль.

А.С.: Значит, вы считаете, что ноль все-таки натуральное число[15]. А отрицательных чисел у древних греков не было. Вот если бы математика началась в России, то проблем с этим не было бы. Потому что −1, −10 — это мороз, снег идет. Всё понятно — на улице отрицательная температура.

Когда я учился в школе, к нам как-то приехали американцы. И они сказали, что уровни умственного развития школьников в России и в Америке различаются как небо и земля[16]. На что я заметил, что всё очень просто. В Америке редко бывают отрицательные температуры, и поэтому у школьников есть проблема с постижением отрицательных чисел. Американец сильно задумался (тем более, что у нас градусы Цельсия, а у них Фаренгейта!).

Действительно, у нас и трехлетние дети знают, что такое −5 и −3. Это когда снег, и мама на голову шапку надевает.

Рис. 58. Наружный термометр — инструмент для освоения отрицательных чисел.

Это вот ваш градусник (рис. 58).

Нулевая температура. А может, 1, 2, 3, −1, −2, −3… градусов. Но между ними тоже что-то есть.

Слушатель: Да.

А.С.: Я же могу сказать, что сейчас два с половиной градуса выше нуля?

Слушатель: Да.

А.С.: Или три и три четверти градуса.

Слушатель: Да.

А.С.: То есть я могу назвать доли. Их сейчас даже в детсаду рассматривают.

Пришло ко мне на день рождения 15 детей. И, допустим, у меня есть 23 яблока. Я взял нож и аккуратно разрезал яблоки на 15 равных частей каждое. Каждому ребенку достанется 23/15 яблока, то есть по 23 дольки.

Это — число между единицей и двойкой:

1 < 23/15 < 2.

Такие числа древние отлично знали. Мы их называем рациональными, а они их называли дробями или просто числами. Рациональное число — это число, которое может выражать количество яблок, разделенное на количество детей. Пришло вот к вам «n», целое ненулевое число детей, а у вас имеется «m» — целое число яблок. Получаем рациональное число m/n. Числитель дроби может быть меньше нуля.

Ну, скажем, у вас было −5 яблок, и пришло 7 детей. Каждый получил −5/7 яблок.

Слушатель: Бедные дети…

А.С.: Или вы позвали 30 гостей на день рождения и сказали: «У меня −700 тысяч рублей, в смысле, я должен за квартиру 700 тысяч рублей. Скиньтесь, пожалуйста, поровну». Вот вам и минус: −700/30. Когда вы говорите о таких вещах, как долги, то сразу вылезают отрицательные числа. Я предлагаю вам понять, что все эти числа живут где-то на числовой прямой. Число 5/7 живет где-то между нулем и единицей (рис. 59). Давайте начнем шагать по оси шагами в одну сотую. Мы, на наш взгляд, целиком замостим нашу прямую: 211/100, −135/100 и т. д.

Puc. 59. Шаги-то получились меньше, чем точка от мелка!

И замостить вы можете сколь угодно плотно, можно ведь шагать шагами, равными 1/1000 или 1/000000. Где бы вы ни сидели на числовой оси, где-то рядом с вами, очень близко живет число вида m/n.

Математики употребляют в такой ситуации страшный термин «всюду плотное множество». Это такое множество, в котором, куда бы вы ни сунулись, в любой близости от вас будут точки этого множества. Рациональные числа образуют всюду плотное множество на числовой оси. Вроде как вся прямая ими заполнена. Вполне можно было бы ожидать, что никаких чисел больше нет. Это логично, но это неправда. Древние обнаружили, что есть числа, заведомо не представимые в виде m/n, ни при каких целых m и n (врезка 5).

Врезка 5. «Причина смерти — корень из двух!»[17]

Говорят, что пифагорейцы (ученики знаменитого философа и математика Пифагора) сначала верили, что для вычислений вполне хватает положительных рациональных чисел, и что в этом проявляется божественная гармония окружающего мира. Однако «не в меру способный» ученик Пифагора додумался до того, что строго доказал НЕИЗМЕРИМОСТЬ диагонали квадрата (с единичной стороной) с помощью рациональных чисел. Пифагорейцы в гробовом молчании выслушали его доказательство и не смогли его опровергнуть. Гармония мира оказалась под угрозой! Поэтому было принято решение: никому про это не рассказывать, а нарушителя мировой гармонии наказали… утоплением в реке, на берегу которой всё это и происходило. К счастью для математики, истина потом всё равно «воссияла».

Вот я и утверждаю, что корень из двух именно такое число. Возьмем 4 квадрата со стороной единичка. И составим из них новый квадрат (рис. 60).

Рис. 60. Нарушители мировой гармонии — за работой.

Какой площади один маленький квадратик?

Слушатель: 1.

Какой площади будет получившаяся фигура?

Слушатель: 4.

А.С.: Теперь я делаю следующее. Я провожу диагонали (см. рис. 61) и спрашиваю вас, чему равна площадь получившегося внутри квадрата?

Рис. 61. Внутренний квадрат — вдвое меньше по площади.

Слушатель: 2.

А.С.: Почему? Потому что в каждом маленьком квадратике ровно половину взяли, а половину не взяли. Итак, совершенно очевидно, что площадь этой фигуры вдвое меньше, чем у большого квадрата. С другой стороны, мы знаем, что если у квадрата сторона a, то площадь его равна a · a = a².

Нам нужно найти сторону квадрата с площадью 2. А это и есть корень из двух. Значит, если у квадрата сторона 1, то его диагональ имеет длину «корень из двух» (рис. 62).

Рис. 62. Сторона внутреннего квадрата равна корню из двух по двум причинам: алгебраическая причина — теорема Пифагора и определение корня; геометрическая причина — соотношение площадей наружного и внутреннего квадратов равно двум.

А.С.: Из школьного курса вы знаете теорему Пифагора.

Слушатели: Да.

А.С.: Теорема Пифагора говорит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов[18]. Давайте я покажу доказательство этого без единой формулы. Теорему Пифагора не нужно доказывать формулами, ее нужно просто узреть, увидеть, она видна. Вот смотрите, я беру вот такое равенство: a² + b² = c².

Мне нужно его доказать для любого прямоугольного треугольника со сторонами a, b, c (рис. 63).

Рис. 63. Для каждого треугольника мы ниже покажем теорему Пифагора методом «Взгляни на чертеж — из него все ясно».

Беру два квадрата со стороной a + b.

Они будут одинаковы, но я их по-разному разобью на части (рис. 64).

Рис. 64. Слева и справа виден квадрат со стороной a + b. Он по-разному разбит на части, но и там, и тут мы видим 4 одинаковых треугольника (их стороны указаны на рис. 63). Убирая эти треугольники, слева видим квадрат гипотенузы, а справа — сумму квадратов катетов. Вот и всё доказательство.

Площадь внутри левого квадрата равна c².

Площади квадратов внутри правого квадрата равны a² и b².

Теперь смотрите, правый квадрат состоит из 4 треугольников и двух квадратов, а левый — из четырех таких же треугольников и одного квадрата. Но внешние квадраты имеют одинаковые площади. Из площади правого квадрата я вычел 4 одинаковые площади и из площади второго квадрата те же 4 площади. Значит, площади оставшегося должны быть одинаковыми. В одном случае остается с², а в другом — сумма а² + b². Значит,

a² + b² = c².

Теорема Пифагора доказана. Но это было небольшое отступление. Я хотел сказать, что диагональ квадрата со стороной 1 по теореме Пифагора равна корню из двух, согласно тому, что я нарисовал, она и в самом деле ему равна. Древние ничего не могли с этим числом поделать. Потому что, если отложить отрезок, равный нашей диагонали, от нуля, то вы попадете в точку, которая заведомо не равна никакому числу вида m/n. Ни при каких m и n. Вы переберете все целые числа, и в числителе, и в знаменателе, и никогда не получите число, которое в точности совпадет с корнем из двух.

Есть очень много разных доказательств этого факта, и одно из них совершенно геометрическое. Мы разберем ниже два разных доказательства.

Мы сейчас придумаем некую процедуру, которую мы применим к любому рациональному числу, и она всегда будет конечной. А дальше, я вам покажу, что та же самая процедура для числа «корень из двух» никогда не прекращается, тем самым это число не может быть рациональным

Слушатель: То есть это несуществующее число?

А.С.: Существующее, но не в этом круге подозреваемых лиц. Это число существует, и оно очень нервировало греков, они не хотели допустить, что оно существует. Однако они отлично знали, что оно нужно для вычислений, но не выражается в виде отношения целых чисел. Они не понимали, что с ним делать. Вроде число не существует, а оно-таки есть. Оно не должно существовать, но оно существует. Числа, которые не представляются в виде m/n, называются иррациональными.

Что такое вообще «иррациональность»? Нелогичность. Неразумность. Иррациональное поведение, например. Но в математике, в отличие от философии, есть совершенно конкретные объекты, иррациональные числа. Это такие числа которые не представляются в виде m/n. Тем не менее, они вполне себе логичные и очень даже разумные.

Слушатель: А числа m и n, они целые?

А.С.: Целые. Непременно целые числа. Иррациональные числа — это числа, которые не являются отношением двух целых чисел. Рациональное число — это отношение двух целых.

Есть еще одно труднопроизносимое слово, оно тоже в философском смысле кое-что означает. Слово «трансцендентно». Что же оно означает в житейском (не математическом) смысле?

Слушатель: Находится за пределами.

А.С.: За пределами чего бы то ни было.

Слушатель: То есть иррациональное поведение — это поведение странное, но всё же в каких-то рамках. А трансцендентное — это что-то за пределами понимания окружающих.

А.С.: В математике трансцендентные числа — это тоже определенный термин. Им противопоставляются алгебраические числа. Согласно строгому математическому определению, алгебраическое число — это корень многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентным числом называется такое число, что ни один многочлен с целыми коэффициентами не обнуляется при подстановке вместо переменной х этого числа.

Внутри множества алгебраических чисел живут как все рациональные, так и корни любой степени и много, много чего еще. Очень много разных чисел. И вот трансцендентные — это те числа, которые не являются алгебраическими. Выдумать неалгебраическое число достаточно трудно. Сначала думали, что все числа алгебраические. А в XIX веке произошел взрыв в математике, было обнаружено огромное количество неалгебраических чисел — но это было только в XIX веке. Примером трансцендентного числа является знаменитое число «пи» — длина окружности с диаметром, равным 1. Доказательство трансцендентности одного-единственного числа «пи» занимает 10 лекций на 4-м курсе мехмата МГУ. Очень мало людей на Земле, которые знают это доказательство. Это — труднейшая теорема. А вот про иррациональность корня из двух всё очень просто.

Я представлю вам два разных доказательства: ОДНО будет длинным, но геометрическим (и оно будет полезно для изучения других тем), второе — короткое стандартное доказательство.

Я проведу некую процедуру; ну, сделал это не я, а не кто иной, как Евклид 2,5 тысячи лет назад. Называется эта процедура алгоритмом Евклида. Разновидность алгоритма Евклида называется цепной дробью. Цепная дробь — это очень просто. Любое число можно разложить в цепную дробь. Ниже я покажу, что числа вида m/n в цепную дробь раскладываются конечным образом, а корень из двух в цепную дробь раскладывается только бесконечным образом.

Приведу пример: дробь 21/13.

Давайте посмотрим, как превращать это число в цепную дробь.

Выделим из этой дроби целую часть. Между какими двумя целыми числами она расположена?

Слушатель: Между 1 и 2.

А.С.: Правильно. Значит оно равно 1 плюс сколько?

Слушатель: Мне трудно из 21 вычесть 13.

А.С.: Ничего. Я вычту.

Слушатель: 8, да?

А.С.: Правильно, да.

21/13 = 1 +  8/13

Но это не всё, что я хотел сказать. Потому что я напишу так. Один плюс один разделить на тринадцать восьмых:

Этот фокус с переворачиванием дроби «вверх ногами» и выделением целой части из знаменателя мы будем повторять до тех пор, пока будет возможно. А возможность такая будет нам представляться до тех пор, пока на очередном шагу после выделения целой части дробная часть не окажется равна нулю. Если этого никогда не случится, то исходное число окажется разложенным в бесконечную цепную дробь.

Итак, продолжим разложение числа 21/13 в цепную дробь:

Стоп, машина. После выделения целой части из числа 2 дробная часть равна нулю. Значит, числу 21/13 «суждено» разлагаться в конечную цепную дробь. Если кто не верит, можете упростить эту «6-этажную» дробь, сделав из нее обыкновенную. Конечно, она будет равна 21/13.

Эту операцию придумал Евклид. Называется она — разложение числа в «цепную дробь». Обратите внимание. На последнем шаге мы попали в целое число 2 при переворачивании дроби 1/2. На этом всё заканчивается, так как из целого числа не удастся выудить дробную часть.

Другой пример:

Опять пришли к целому числу. Ура. Закончили.

Евклид утверждал, что для любой дроби за конечное число шагов мы придем к целому числу. Попробую это пояснить «без формул». Вы берете какую-то очень большую дробь, например, 17284/3415.

Что происходит в процессе, предложенном Евклидом? Мы просто несколько раз делим с остатком, и всё. На каждом шагу мы получаем «нечто» плюс что-то меньшее, чем то, на что мы делим. Идея в том, что на каждом шагу числа будут уменьшаться. Числитель и знаменатель — целые положительные числа, и они будут уменьшаться. Но целое число, любое положительное целое число, не может бесконечно долго уменьшаться, оно в конце концов «закончится». Оно придет к нулю за конечное число шагов.

То есть любое рациональное число непременно порождает конечную цепную дробь. А теперь я возьму и покажу, что корень из двух порождает бесконечную цепную дробь.

Вот этот фокус-покус. Если «корень из двух» — рациональное число, то процедура, которую я только что проводил, должна закончиться. Берем корень из двух. Между какими целыми числами он расположен? Вспомним, что, согласно теореме Пифагора, корень из двух — это длина диагонали квадрата с единичной стороной. Поэтому он расположен между 1 и 2 (см. рис. 65).

Рис. 65. Ловись, дробная часть — большая и маленькая! Видно, что диагональ больше стороны, но меньше сумм сторон.

Значит, корень из двух = 1 + дробная часть (она примерно равна 1,4142 − 1 = 0,4142).

Что я сделал? Прибавил единицу и отнял единицу. Больше ничего не делал. То есть я выделил целую часть из «корня из двух» (дробная же часть записана в скобках; она равна примерно 0,414).

Рис. 66. Выделенный отрезок и есть «корень из двух минус один».

Для получения дробной части я взял окружность радиуса 1, провел ее до пересечения с диагональю, и всё (см. рис. 66). Эта часть, без сомнения, меньше единицы. Далее для краткости обозначим «корень из двух» через К. А выражение К − 1 обозначим за С. Значит, С < 1. Поэтому будем эту часть «переворачивать»:

Поясню, почему 1/C превратилось в К + 1.

Я возьму числитель и знаменатель и домножу на одно и то же число (это не изменит значения дроби). Я числитель и знаменатель умножу вот на такое число: К + 1. Помним, что К · К = 2.

Начинаем открывать скобки:

А теперь, по общему правилу, выделяем целую часть.

Между каким двумя целыми числами находится √2 + 1?

Слушатель: Между двойкой и тройкой.

А.С.: Конечно. Поэтому, если я по правилу Евклида выделяю из него целую часть, то она равна?

Слушатель: 2.

А.С.: Значит я должен написать так:

Не правда ли, мы уже сталкивались выше с такой дробной частью?

Слушатель: И так до бесконечности будет повторяться?

А.С.: И так до бесконечности. Значит, исходное число — не рациональное.

Мы получим бесконечную цепную дробь:

Только бесконечное число шагов приведет вас к числу, равному К[19]. Но не конечное — а значит, число К иррационально, что и требовалось доказать. Теперь вы знаете, что есть такие числа, страшные числа, которые не представляются в виде «количество яблок поделить на количество гостей».

Мы еще вернемся к цепным дробям, ибо в них прячется истинная бесконечность.

Пока что дадим стандартное книжное доказательство того, что корень из двух — число не рациональное. Проводится оно от противного.

Предположим, что

K = m/n.

Тогда, если можно, сократим эту дробь. То есть, если m делится на простое число p, и n делится на то же самое простое число p, поделим и числитель, и знаменатель на p. После того как мы сократили всё, что только можно, одно из чисел обязательно будет нечетным. Может быть, оба нечетные, но по крайней мере одно из них точно будет нечетным. Потому что если оба четные, значит, можно было еще раз сократить на 2.

Рассмотрим квадрат равенства (3):

2 = m²/n²

Получим m² = 2n².

Это значит, что если на сетке нарисован квадратик с целочисленной стороной, то в нём количество единичных квадратиков такое же, как удвоенное количество квадратиков какого-то другого квадрата с целочисленной стороной (рис. 67).

Рис. 67. Что-то не получается нарисовать два таких квадрата. И это неспроста!

Значит, если К — рациональное число, то m² = 2n² — верное равенство. Тогда m — число четное, потому что оно делится на 2. Но если m делится на 2, то это значит, что m = 2к для некоторого целого числа к. Тогда m² = 4к².

Подставим в m² = 2n² значение для m². Получим 4к² = 2n².

Сократим на 2, получится 2k² = n².

Но тогда n тоже делится на 2. А значит, мы в начале этого процесса недосократили. Но мы же договорились досократить всё, что возможно. В этом и заключается противоречие — с тем фактом, что в выражении — √2 = m/n можно добиться того, что хотя бы одно из чисел m, n будет нечетным.

То, что √2 никогда не представляется в виде m/n, на самом деле означает то же самое, что равенство m² = 2n² всегда неверно. Никогда не получится взять один квадрат с целыми сторонами, умножить его площадь на два и получить другой квадрат с целыми сторонами (удвоенной площади). Ни для каких целых чисел.

Попробуем копнуть этот вопрос поглубже.

А может ли быть так, что они почти будут равны, например, m² = 2n² ± 1?

Вдруг мы сможем взять какие-нибудь огромные числа, возвести их в квадрат, умножить одно из них на 2 и выяснить, что результаты отличаются на 1. Может ли такое быть или нет? И если может быть, то насколько часто такое бывает? И можно ли полностью описать все пары целых чисел (m, n), которые удовлетворяют уравнению m² = 2n² ±1? Вопрос, который ставился еще древними — он называется «решение Диофантовых уравнений в целых числах».

Диофант жил в Александрии в III веке нашей эры. Он оставил после себя 13 томов математических изысканий, 6 из них худо-бедно, но дошли до нас, 7 — полностью и безвозвратно потеряны. 6 томов его изысканий до сих пор питают умы математиков. Диофант писал всё словесно. Примерно так: «Может ли быть такое, что одно число, будучи взятое то же самое число раз (то есть n · n) и еще столько же раз (то есть 2n · n), отличалось бы от другого числа, взятого другое же число раз (то есть m · m) всего лишь на единицу?» Так он записывал уравнение

2n² = m² ± 1.

Можно ли такое уравнение решить в целых числах или нет? Мы пишем символами, поэтому далеко продвинулись в математике. Но все идеи буквально, буквально все подряд были в этих шести томах. Если чего-то в них не было, то, видимо, оно было в пропавших. Но мы уже не узнаем этого.

Диофант — человек, оставивший фантастическое наследие. В 1651 году Пьер Ферма читал книгу Диофанта по целочисленной арифметике. Читал и комментировал ее на полях. А сын Ферма издал книгу с комментариями своего отца. На полях был кладезь математических сокровищ. В частности, в одном месте было обнаружено следующее. У Диофанта решалось в целых числах уравнение а² + b² = с². То есть он пытался выяснить, может ли быть так, что все числа целые? Древним было хорошо известно, что такое может быть. Например, числа (3, 4, 5), и много-много других примеров.

Первое решение, возможно, даже имело практическое применение 2,5 тысячи лет назад. Берем веревку, делим ее на 12 равных частей, завязываем узелки в местах деления. После чего связываем веревку в кольцо и делаем из нее треугольник так, чтобы на одной стороне было 5 узелков, на другой 4, а на третьей — 3.

И вот вы получили прямой угол кустарными средствами. Это очень важно.

Землемеру этого хватит. Всё. У него веревка с 12 узлами есть, и отлично. Но математик всегда хочет пойти до конца. Все варианты найти, все целые а, b, с — такие, что получается прямоугольный треугольник. Задача древнейшая. Ответ был известен еще древним индусам. «Пифагоровы тройки» — вот как называются эти решения. Интересно то, что в этом месте слева на полях было написано рукой Ферма приблизительно следующее: «Вместе с тем, невозможно разложить никакой куб в сумму двух кубов, никакую четвертую степень в сумму двух четвертых степеней и вообще никакую произвольную степень числа в сумму двух таких же степеней. Я нашел этому факту поистине удивительное доказательство, но на полях оно не поместится». Это — начало истории величайшей загадки математики — великой теоремы Ферма.

Ферма утверждает, что при n большем, чем 2, уравнение

хⁿ + уⁿ = zⁿ

не имеет решения в целых числах. То есть, конечно, можно взять х = у = z = 0. Или, если мы поставим х = 0, тогда у и z могут быть любыми одинаковыми. Но это всё неинтересно. А вот если ноль запретить, то если мы ищем среди положительных целых чисел х, у, z решения этого уравнения, то их нет, вообще нет. Ни одного, ни одной тройки (x, у, z), ни для какого n, большего чем 2, то есть ни при n = 3, ни при n = 4, ни при каком n.

Эта загадка была страшно популярной среди широких масс населения — уж больно просто формулируется эта теорема (да еще какой-то чудак завещал крупную сумму тому, кто справится с доказательством теоремы Ферма). Но и опытные математики были озадачены. Дело в том, что все утверждения, которые Ферма оставил без доказательства, оказались правильными (их все доказали после его смерти), а с этим творилось черт знает что: начали все сходить с ума, потому что всё кажется просто, и хочется взять ручку и начать писать. Вот вы мне не поверите, но когда мне было 10 лет, я этим занимался, честно. Но всё это безумие продолжалось только до 1994 года.

В 1994 году она была полностью доказана нашим с вами современником математиком Эндрю Уайлзом. На самом деле ему предшествовали 30 разных имен, которые долго в разных местах подстраивали большое здание. А он просто понял, в каком месте нужно сшить то, что уже известно. В частности, безусловную важность здесь сыграла московская школа алгебраической геометрии. Последним был Уайлз, но в принципе это — всемирное творение.

Сейчас доказательство великой (или, как еще говорят, последней) теоремы Ферма входит в книгу А. А. Панчишкина, Ю. И. Манина «Введение в современную теорию чисел». Толстенная сложнейшая книга по теории чисел, 7-я глава целиком посвящена теореме Ферма.

Ну а теперь фокус-покус, ладно? А то лекция уже кончается.

Берем нашу цепную дробь для «корня из двух»:

Обрубаем, получаем приближенное значение для корня из двух:

Такую дробь можно превратить в некоторое рациональное число, то есть в некоторое отношение двух целых чисел. Получается 41/29.

Всё отлично.

А вот теперь берите калькулятор, пожалуйста. И возводите в квадрат 41 и 29. He забудьте, что 29 в квадрате при этом надо умножить на 2, «по просьбе Диофанта»:

41² = 1681,

29² = 841,

841 · 2 = 1682.

Ура! Они отличаются на единицу. Это те самые решения нашего уравнения

m² = 2n² ± 1. (4)

Мы нашли решение этого уравнения. Причем нетривиальное.

Теорема, которую я доказывать не буду (хотя она и не очень сложная), гласит: Где бы вы ни обрубили данную цепную дробь, всегда получается решение нашего днофантова уравнения.

Слушатель: Любое число разложу в цепную дробь, обрублю и получу решение какого-то похожего уравнения?

А.С.: Не для любого. Для любого числа, не являющегося квадратом. И обрубать надо будет аккуратнее, не в любом месте, как в случае с корнем из двух.

Например, уравнение m² = 9n² ± 1 не получится решить таким способом (впрочем, несложно показать, что у него всего два тривиальных решения (1, 0) и (−1, 0)). Но таких чисел довольно мало. Что же я могу подставить вместо 2 в уравнение (4): 3 — могу, 4 — не могу, так как квадрат; 5, 6, 7, 8 — могу, 9 — не могу, 10, 11, 12, 13, 14, 15 — могу, 16 — не могу, и так далее. Уравнение такого вида (см. подробнее об этом в следующей лекции) носит название уравнение Пелля. И, как обычно это бывает, Пелль не имеет к нему никакого отношения. В математике очень много фактов названо именами людей, которые никакого отношения к этому факту не имели. Шутки ради это явление математики тоже назвали «теоремой». Вот, получилось так, что эту теорему назвали теоремой Арнольда. Она самоприменимая (то есть Арнольд не является автором этой теоремы). Шутливую «Теорему Арнольда» придумал, вроде бы, Николай Николаевич Константинов и назвал теоремой Арнольда специально для того, чтобы она была самоприменимой, чтобы она тоже называлась не именем человека, который ее выдумал, а другим. Математики мыслят логически, даже когда они шутят!

Давайте все-таки, чтобы вас убедить, пообрубаем эту дробь в разных местах. Смотрите. 1 — это ведь «1 разделить на 1». Если подставить в уравнение (4) m = n = 1, то что получится?

1² = 2 · 1² − 1

(то есть (4) выполняется).

Обрубаем дальше. Будет 3/2.

Подставляем: 9 = 2 · 4 + 1.

Обрубаем еще раз. Получаем 7/5. Подставляем.

49 = 2 · 25 − 1.

Вы видите, что теорема верна.

Гуманитарию уже не надо доказывать теорему, он уже «видит», что она верна. Но математику нужно ее доказать, нужно установить, что это действительно всегда будет так. Мало того, оказывается, что все такие обрубания дадут вам решения этого уравнения, и других решений в задаче нет. Вообще никаких.

Слушатель: Ну, или мы просто не нашли?

А.С.: Нет. Доказали, что больше не существует.

Ну, последний фокус-покус. Но берегитесь, он страшный. Знаете ли вы, что такое бином Ньютона? Это — правило, по которому раскладываются выражения, в которых вы много раз умножили одну скобку на себя. В школе проходят (а + b)(a + b) = а² + 2аb + b². Еще проходят: (а + b)(а + b)(а + b) = а³ + 3а²b + 3ab² + b³. Но есть некая формула, которая верна всегда, для любого количества скобок. Считается, что ее придумал Ньютон, но на самом деле ее, скорее всего, знали и до него. Просто он ее огласил. Так вот, бином Ньютона тоже помогает искать решения уравнения m² − 2n² = ±1. Ниже мы снова за К обозначим корень из двух.

Возьму (1 + К)² = 1 + 2К + 2 = 3 + 2К. Решением будет пара (m = 3, n = 2), и мы уже выше встречались с ним. Но, может, это случайно так совпало?

Возведение в куб вас должно уже убедить. Имеем:

(1 + К)³ = 1 + ЗК + 6 + 2К = 7 + 5К.

Не правда ли, это следующее решение нашего уравнения? Здесь m = 7, n = 5.

Возведем в четвертую степень. А это всё равно, что возвести два раза во вторую, один раз в нее мы уже возводили.

(1 + К)⁴ = (3 + 2К)² = 9 + 12К + 8 = 17 + 12К.

Проверяем:

17² = 289,

12² = 144,

144 · 2 = 288.

Получается: 289 = 288 + 1.

Это работает!

До встречи на лекции 4.