В слове «богадельня» так и тянет написать вторую «О», памятуя о соединительных гласных. По опросам в моих пабликах так хотят сделать 50 % человек. Почему же пишется «А»?

Слово «богадельня» НЕ состоит из слов «бог» и «дело». Оно происходит от церковнославянского бога дѣля (бога деля), где «деля» — предлог, в современном языке имеющий форму «для».

Бога деля имеет значение «бога ради». Соединительных гласных в слове «богадельня» нет.