Фразеологизм «дойти до ручки» — о крайней степени какого-то состояния, безысходности. Когда всё настолько плохо, что человек опускается до нижней границы дозволенного. Но если на время забыть о привычном смысле и взглянуть на фразу со стороны, то она вызовет недоумение. Во-первых, как до ручки можно идти, если это часть тела? Или речь о дверной ручке? Или вообще — о шариковой?

Ручку как письменную принадлежность отвергаем сразу — выражение старое, этого канцтовара тогда еще не было. Как оказалось, остальные варианты тоже мимо кассы.