— Наконец-то! — злорадствует Мате. — Хоть раз за все время не вы, а вас прервали на самом интересном месте.

— Вы в этом уверены, мсье? — ухмыляется Асмодей, старательно огибая шпиль колокольни.

— Что?! — ахает Фило. — Значит, все это опять-таки ваши штучки?

— Попробовал бы я обойтись без моих штучек при таких-то требованиях. То подавай вам премьеру «Тартюфа», то вынь да положь Монтальта… Не могу же я делать два дела сразу. Что я вам, Юлий Цезарь? Или Наполеон?

— Смотрите, смотрите! — внезапно вскрикивает Мате. — Вот так зарево! Уж не горит ли снова какая-нибудь деревня?

— Ко! — прыскает бес. — Деревня… Это же огни Версаля!

Фило вне себя от радости. Так они летят в Версаль?

Тут у него возникает идея обследовать свое платье. Толстяк наклоняет голову, вертит ею во все стороны и…

— Ай! Моя шляпа! Держите… Держите… Она улетает!

— Ничего не попишешь, мсье, — отзывается черт. — Придется вам обойтись без шляпы.

— То есть как это! Вы хотите, чтобы я показался в Версале без головного убора?! Нет, нет и в третий раз нет!

— Ладно, — уступает Асмодей. — Что-нибудь придумаем.

Он вглядывается в плывущие уже под ними здания версальского ансамбля и плюхается вместе со своим живым багажом в узкий закуток между высокой чугунной решеткой и торцом какого-то дома.

Здесь, у приотворенной двери, откуда выпадает полоска яркого света и доносятся взрывы пьяного хохота, стоит узкая скамейка. А на скамейке — она: голубая, с белыми перьями…

Фило хватает свое сокровище и нахлобучивает на голову. Всё в порядке! Теперь можно идти. Но черт заявляет, что как раз этого-то и нельзя:

— Неудачная посадочка, мсье. Попасть отсюда во дворец можно только через караулку.

— Что же делать?

— Ждать, очевидно. Ждать, пока мушкетеры его величества не упьются окончательно.

Делать нечего — все трое покорно усаживаются на скамейку и начинают прислушиваться к голосам в караулке.

— Ставлю на Луи! — рявкает один, грубый и отрывистый.

— А я — на лилию! — вторит другой, поделикатнее.

После этого раздается металлический звон. За ним следует двухголосый вопль, бульканье и оловянный стук сдвинутых стаканов, сопровождаемый тостом либо за здоровье Луи, либо во здравие лилии.

Фило собирается уже спросить, что сей сон означает, но тут караульные принимаются горланить песню:

После этого незачем спрашивать, что происходит в караулке: ясно, что там играют в монетку. В ту самую, упомянутую Паскалем игру, которая у нас известна под названием «орла или решки». Теперь же ей скорее подходит название бурбо́нки, так как на монете, которой пользуются стражники, судя по всему, с одной стороны изображен Луи — Людовик XIV, а с другой — герб Бурбо́нов: лилия.

Но тут караульным надоедает подбрасывать монетку по одному разу, и они решают усложнить задачу.

— Давай вот что, — предлагает один. — Будем бросать по че-чи… ик!.. по четыре раза каждый, а выигрывает тот, у кого три раза из чечи… ик!.. из четырех выпадет Луи…

— Э, ттак дело не ппойдет, — не соглашается другой. — Ддавай бросать по ввосьми раз, и у кого ввыпадет Луи ппп… пять раз, ттот и забирай все деньги…

— Да ты что? — протестует первый. — Бросать нам так до второго пришествия! Давай по чечи…

Тут они начинают галдеть в два голоса, и Фило спрашивает у Мате, кто из караульных, по его мнению, прав. Оказывается, правы оба. Ведь вероятности выпадения что из восьми по пяти, что из четырех по три раза почти одинаковы. Вот если бы игроки условились, что при восьми бросках должен выпасть только один Луи, а то и вовсе ни одного, тут уж вероятность и вправду сильно уменьшится.

— Давайте разберемся, — предлагает Асмодей. — Только будем уж называть не Луи и лилия, а попросту орел и решка.

— Прибегнем к буквенным обозначениям, — начинает Мате, пристраивая блокнот на острых атласных коленках. — Орел — О, решка — Р. Думаю, всем ясно, что при одном броске вероятности выпадения О и Р совершенно одинаковы, то есть равны половине. Таковы же вероятности выпадения О и Р при каждом последующем, отдельно взятом броске, независимо от результатов предыдущих.

— Разумеется, мсье, — поддакивает бес. — Недаром французский математик Жозеф Бертран когда-нибудь, в девятнадцатом веке, остроумно заметит, что монета не имеет ни совести, ни памяти. Ей наплевать, какой стороной она соизволила шлепнуться в предыдущие разы. И это, кстати, имеет немаловажное значение в теории вероятностей.

— Если же, — продолжает Мате, — при двух бросках учитывать результаты обоих, то возможны четыре случая: ОО, ОР, РО и РР. И если, сверх того, по условию игры очередность выпадения О и Р безразлична, то в имеющемся у нас ряде случаев элементы ОР и РО можно заменить их суммой: 2ОР. Ибо ОР + РО = 2ОР. Так ведь? С другой стороны, (О + Р)² = О² +2ОР + P², а это и есть OO + 2OР + РР.

— Посмотрим теперь, что происходит при трех бросках. Здесь уже возможны восемь случаев:

ООО, ОРО, РОО, РРО, PPP, OOP, OPP, POP.

Преобразуем это хозяйство тем же способом: ООО, 3ООР, 3ОРР, РРР. И снова (О + Р)³ = О³ + ЗО²Р + ЗОР² + Р³. При четырех бросках в нашем распоряжении уже 16 случаев. Стало быть, (О+Р)⁴ = О⁴ + 4О³Р + 6О²Р² + 4ОР³ + Р⁴. Взглянув на все это вместе, мы увидим, что все время имеем дело с двучленом, иначе говоря, биномом 0 + Р, возводимым каждый раз в иную степень. Причем показатель степени бинома соответствует числу бросков. При двух бросках перед нами бином в квадрате, при трех — в кубе и так далее. Затем, обратив внимание на правые части наших неравенств, увидим, что показатели степени при О и Р всякий раз указывают на заранее условленное число выпадений О или Р, а числовые коэффициенты при этих слагаемых — на число благоприятных случаев. Сумма же всех этих коэффициентов есть общее число всех возможных случаев. И так как вероятность события — это отношение благоприятных случаев к числу всех возможных, то вероятность выигрыша р в данном случае равна отношению коэффициента соответствующего слагаемого к сумме всех коэффициентов.

— Все это хорошо, — мнется Фило, — но как вычислить коэффициенты заранее? Тем более — их сумму. Допустим, игроки условились бросать монету не по восьми, а по двадцати восьми раз, что тогда?

— Хороший вопрос, — одобряет Асмодей. — Из него следует, что нам необходимо вывести общее правило вычисления коэффициентов для любого количества бросков, иначе говоря — для любой степени бинома: О плюс Р в степени п.

— Начнем с того, что выпишем биномы для каждой степени в отдельности, — предлагает Мате. — Ну, в нулевой степени бином, естественно, превращается в единицу.

(O + P)⁰ = 1

(О + Р)¹ = О + Р,

(О + Р)² = О² + 2ОР + Р²,

(О + Р)³ = О³ + ЗО²Р+ЗОР²+Р³,

(О + Р)⁴ = О⁴ + 4О³Р + 6О²Р² + 4ОР³ + Р⁴.

Остается выписать отдельно все коэффициенты:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

— Ой, — изумляется Фило, — это же треугольник Паскаля! Прекрасно помню, что по наклонным линиям числа там расположены симметрично.

— Умница! — одобряет Мате. — Теперь вам легко понять, что любой коэффициент при возведении бинома в степень есть не что иное, как некое число сочетаний. А сумма всех коэффициентов данной строки равна двум в степени бинома, то есть номера строки.

Некоторое время Фило сидит молча. Ему необходимо переварить эти неожиданные совпадения. До чего все связано! То-то он никак не мог уразуметь, почему Ферма и Паскаль, занимаясь теорией вероятностей, обратились к фигурным числам и формуле сочетаний? А сочетания, оказывается, имеют для теории вероятностей немалое значение.

— Вообще, как я погляжу, — продолжает он уже вслух, — в науке одно постоянно вытекает из другого. Это похоже на разветвленную водную систему, состоящую из тысяч ручейков, речушек и рек…

— …которые в конце концов вливаются в одно большое озеро или море, — развивает его мысль Асмодей. — Нечто подобное как раз произойдет и в науке семнадцатого века. Все ее, иногда разрозненные, а иногда и связанные между собой течения в конце концов объединятся в научном творчестве двух величайших ученых: англичанина Исаа́ка Нью́тона и немца Го́тфрида Ле́йбница.

— Бесспорно, — поддерживает его Мате. — Возьмем механику. Всё, сделанное ранее Коперником, Галилеем и Кеплером в области движения небесных тел, найдет блистательное подтверждение и завершение в законе всемирного тяготения Ньютона.

— А математика, мсье? — перебивает Асмодей. — Весь этот пристальный интерес к неделимым, к наибольшим и наименьшим величинам, над которыми ломали головы и Декарт, и Роберваль, и Ферма, и, разумеется, Паскаль, — разве не приведет он в конце концов к открытию дифференциального и интегрального исчисления, которое почти одновременно и независимо друг от друга совершат Ньютон и Лейбниц?

— Не забудьте про комбинаторику, — суетится Мате, — науку о группировках, к которым как раз относятся сочетания. Комбинаторикой занимались и Ферма, и Паскаль, и Гю́йгенс[45], который, кстати сказать, тоже внес свою лепту в разработку теории вероятностей. Ньютон же, в свою очередь, использовал сочетания в разложении степени бинома.

Фило озабоченно хмурится.

— Бином Ньютона… Как сказал поэт, «все это уж было когда-то, но только не помню, когда». В десятом классе, кажется…

— С вашего разрешения, не далее чем несколько минут назад, — ехидничает Мате. — Потому что рассмотренные нами степени бинома имеют самое прямое отношение к формуле бинома Ньютона. Остается лишь записать ее в общем виде. — Он снова хватается за блокнот. — Однако прежде всего запомните, что число сочетаний принято обозначать латинской буквой С…

— От французского «комбинезо́н» — «сочетание», — поясняет Асмодей.

— При этом справа от С ставятся два индекса, — продолжает Мате, — пониже и повыше. Нижний обозначает число предметов, из которых составляются сочетания. Верхний — число предметов в каждом отдельном сочетании. Например, число сочетаний из пяти по два: C₅². А в общем виде число сочетаний из п предметов по k: C_n^k. Вот теперь можно и записать формулу бинома Ньютона для О и Р, чтоб уж не отвлекаться от нашей задачи:

(О+Р)ⁿ = О^п + С_n¹О^п—1Р + C_n²О^п—2Р² + C_n³O^п—3P³ + … + C_n^kO^n—kP^k+ … +Р^п.

— А как же все-таки вычислить вероятность выигрыша при любом числе бросков? — недоумевает Фило.

— Могли бы и не спрашивать. Вы ведь уже знаете, что вероятность события есть отношение числа благоприятных случаев к числу всех возможных. И стало быть,

P = C_n^k / 2ⁿ

Мате хочет еще напомнить, что 2ⁿ, то бишь сумма всех коэффициентов в разложении степени бинома, это и есть число всех возможных случаев, но вдруг умолкает и начинает прислушиваться: теперь вместо звона монеты и пьяных голосов из караулки вырываются другие, довольно-таки устрашающие звуки.

— По-моему, там храпят, — говорит он опасливым шепотом.

— Да, — соглашается Асмодей. — Похоже, они уже того… готовы.

— Так что же мы сидим! — ахает Фило. — Чего доброго, опоздаем на премьеру.

И, осторожно перешагнув через спящих на полу мушкетеров, компания благополучно достигает противоположной двери караулки, которая выпускает их в парк.