Все громче поют ступеньки, все ближе хруст накрахмаленных юбок. Сейчас скрипнет дубовая створка, и в комнату войдет она, девочка, испуганно льнувшая к матери в тот тревожный овернский вечер. Жильберта Паскаль, нет, Жильберта Перье́, теперь уже и сама счастливая мать годовалого Этьена. Вот она у двери. Вот поворачивается медная, жарко начищенная ручка…

Трах! Что такое? Комната исчезает, и глаза филоматиков с размаху упираются в кровлю интендантского дома. Несносный бес! Если так пойдет дальше, об автографе Паскаля можно забыть.

Изложив этот мрачный прогноз, Мате погружается в молчание, где и пребывает довольно долго, вопреки адским стараниям Асмодея восстановить дипломатические отношения. Измученный бес совсем было приуныл, но тут у него мелькает счастливая мысль.

— Наидрагоценнейший, наиобразованнейший, наивеликодушнейший мсье Мате! — сладко поет он. — Окажите милость бедному черту, объясните подробнее, в чем смысл расхождений между двумя великими «Д»? Я хочу сказать, между Декартом и Дезаргом.

— Де, де. То есть да, да! — присоединяется Фило. — Я тоже не очень в этом разобрался.

— Что ж тут разбираться? — хмурится Мате (как и предполагал Асмодей, он не устоял перед соблазном поболтать о математике). — Вы же слышали: Дезарг признавал геометрию в чистом виде, Декарт алгебраизировал ее.

— Но какой из двух методов лучше? — допытывается Фило.

— Странный вопрос. Что лучше: теплоход или самолет?

— Лично я предпочитаю такси.

— Острите? А я, между прочим, не шучу.

— Ну, тогда все зависит от обстоятельств. Если едешь в очередной отпуск, нет ничего приятнее теплохода. Если же в срочную командировку, тут уж добывай билеты на самолет.

— Видите, — говорит Мате, — все, стало быть, зависит от сферы применения. То же и с методами двух «Д». Удивительно красивый, хоть и сложноватый, способ Дезарга имеет неоспоримые преимущества при решении задач практических: в землемерии, в инженерном деле… Кстати сказать, Дезарг и сам отличный военный инженер.

— Как же, как же! — сейчас же вклинивается бес. — Участник знаменитой осады Ла Роше́ли[38].

— Вот я и говорю, — продолжает Мате, будто не слыша, — в инженерном деле без чертежей не обойтись. Подсуньте токарю алгебраическое уравнение вместо вычерченной во всех проекциях детали — он вас так поблагодарит, что не обрадуетесь. В этом случае метод Дезарга, усовершенствованный в восемнадцатом веке другим французским геометром, Мо́нжем, не то что лучший, а единственно возможный. Если же говорить о чистой математике — здесь уже уместнее способ Декарта.

— Ко-ко-ко! — вкрадчиво кудахчет черт. — Как говорится, Декарту и карты в руки…

Но Мате и бровью не ведет.

— Допустим, — говорит он, — нам дан воображаемый треугольник, и мы должны выяснить все, что с ним связано: площадь, размеры сторон, углов, биссектрис, высот, медиан, радиуса вписанного и описанного кругов, в свою очередь — их площади, а также длины их окружностей — словом, всю подноготную. Так вот, методом Декарта все это можно вычислить без единого чертежа, зная всего лишь координаты трех вершин, то есть шесть чисел.

Фило потрясен. Этот Декарт — настоящий фокусник! Выходит на сцену с тремя точками, а через несколько минут все кругом завалено биссектрисами, медианами, вписанными и описанными окружностями… Ну, а Дезарг? Как вычислял эти штуковины он?

Оказывается, никак. Он вообще ничего не вычислял — только чертил. Проектировал разные геометрические тела и фигуры на всевозможные поверхности и изучал свойства проекций (оттого-то геометрия его и называется проективной). Возьмет, например, конус, проведет через его вершину различные плоскости, спроектирует на них круговое сечение конуса и исследует, что у него получилось.

Но Фило уже вошел во вкус, и общие слова его не устраивают. Он непременно хочет знать, что именно получилось у Дезарга, и, услыхав, что это окружность, эллипс, парабола и гипербола, впадает в тихое умиление. Подумать только, то самое, что они проходили на исфаханском базаре!

— По-моему, мы там проходили мимо верблюда, — острит Мате.

Но Фило не до шуток. Неужели Мате не помнит? Они брали бумажный фунтик, то есть конус, и рассекали его воображаемыми плоскостями. При этом у них, совсем как у Дезарга, тоже получались окружность, эллипс, парабола и гипербола.

— Вся штука в том, что Дезарг добывал их другим способом: с помощью проекций. Понимаете?

— Вполне. Кстати, что такое проекция?

Мате закатывает глаза с видом мученика. Не знать, что такое проекция! Что ж, придется объяснять. Но вот вопрос: где? Сказать по правде, ему еще не доводилось чертить, кувыркаясь в воздухе.

— Знаете что? Давайте посидим во-он на той крыше, — вдохновенно предлагает Фило. — Она вроде бы не такая покатая.

— Удачнейший выбор, мсье, — живо откликается бес. — Крыша руанской судебной палаты. Самое подходящее место, чтобы судить о чем бы то ни было, в том числе о достоинствах метода Дезарга. Ко-ко…

Через минуту они уже сидят на твердой черепичной почве, для удобства покрытой Асмодеевым плащом.

— Может, позавтракаем? — осторожно заикается Фило.

— Вы, кажется, проекциями интересовались, — отбривает Мате и лезет за блокнотом. — Начнем с проекции по кличке «Центральная».

Он набрасывает контур некой произвольной фигуры, на некотором расстоянии от нее обозначает плоскость…

— Допустим, нам надо спроектировать эту фигуру на эту плоскость. Выберем точку вне заданной фигуры — назовем ее центром проекций — и проведем из нее лучи через точки контура до пересечения с плоскостью. Точки пересечения объединим одной линией — и проекция готова.

— Как просто! — удивляется Фило. — Похоже на то, что мысленно делает художник, когда хочет изобразить предмет в перспективе.

— Всегда говорил, что искусству без науки не прожить, — ввертывает Мате. — Но давайте все же не отвлекаться. Следующая разновидность — проектирование параллельное. В этом случае лучи проводятся не из одного центра, а из каждой точки проектируемого контура.

Фило тычет в чертеж пухлым пальчиком:

— А почему ваши лучи косые?

— Так мне хочется. Имею полное право проводить лучи в любом направлении, с тем условием, чтобы все они были параллельны друг другу. Если же я проведу их перпендикулярно к плоскости проекции, это уже будет проекция ортогональная. Самая необходимая из всех, потому что используется в начертательной геометрии.

Фило понимающе кивает. Начерталка! У соседа-студента от этого слова нервный тик начинается. Мате подтверждает, что предмет и в самом деле свирепый. Но, увы, без него, так же, впрочем, как и без сопромата, нет настоящего инженера-конструктора…

— Наивосхитительнейший мсье Мате, — взмаливается бес, делая еще одну попытку вернуть расположение разобиженного математика, — не могли бы вы познакомить меня хоть с одной из работ Дезарга? Я так давно об этом мечтаю!

— Хм… — Мате с досадой отмечает, что злость его на Асмодея испаряется с катастрофической быстротой. — Как-нибудь в другой раз. Впрочем… вот вам одна, зато чрезвычайно важная, теорема проективной геометрии. Она так и называется: теорема Дезарга.

Он рисует небольшой треугольник, поясняя, что размеры сторон в данном случае значения не имеют, ставит где-то слева от него точку и проводит из нее три луча так, что каждый из них проходит через одну из вершин треугольника.

— Центральное проектирование, — глубокомысленно определяет Фило.

— Не совсем, — морщится Мате. — Вернее даже, совсем не. Ну да сейчас не в том дело… Строим второй треугольник, тоже с тем расчетом, чтобы каждая из трех его вершин оказалась на одном из трех лучей… Незачем говорить, что таких треугольников можно нагородить сколько угодно. А теперь продолжим в одном и в другом треугольнике те стороны, концы которых лежат на общих лучах, до их пересечения. Точки пересечения обозначим пожирнее и увидим, что все они лежат на одной прямой.

Бес изучает чертеж. Так вот она какая, теорема Дезарга! Очень оригинальна… Теперь бы разузнать доказательство…

Тонкий намек его ни к чему, ибо если сам Асмодей жаждет получить объяснения, то Мате просто умирает от желания дать их. Он уже готовится произнести свое любимое «итак», но Фило, который в это время на собственном опыте постигает справедливость пословицы «голод не тетка», зажимает ему рот ладонью.

— Только не теперь! Вы что, хотите, чтобы я съел сам себя?

Вид у него такой воинственный, что Мате уступает. В конце концов, для доказательств есть у них домашние итоги. Хотя кое-что надо бы подытожить сейчас: они так увлеклись разговором о двух великих «Д», что совсем забыли о великом «П».

— О Паскале, что ли? — нетерпеливо расшифровывает Фило. — По-моему, тут и так все ясно! Паскаль — последователь Дезарга.

Но Мате столь куцый вывод не устраивает. Последователи, говорит он, бывают разные. Одни рабски повторяют кем-то найденное, другие — творят заново. В данном случае не то главное, что Паскаль, совсем еще, в сущности, мальчик, в совершенстве овладел сложными приемами Дезарга, а то, что он проявил себя зрелым ученым и обогатил метод учителя. Доказательство тому — «Опыт о конических сечениях», юношеский трактат Паскаля. Он невелик — всего 53 строки. Но изложенные в нем теоремы заставили говорить о себе всю ученую Францию. А одна из них — теорема о шестивершиннике (Дезарг назвал ее «великой Паска́левой») — навсегда останется в числе главных теорем проективной геометрии.

— Ага! — азартно уличает Фило. — Вот когда вы раскрыли свои карты. Вы, как и Паскаль, тоже сторонник Дезарга. И не вздумайте отпираться.

Колючие глазки Мате разглядывают его с любопытством. Ну и упрямец! Умри, а скажи ему, кто лучше: Декарт или Дезарг. Но что же делать, если оба хороши!

— Вот и прекрасно! — весьма непоследовательно сдается Фило. — А теперь — завтракать, завтракать и в третий раз завтракать!

Он достает нечто завернутое в белоснежную салфетку и жестом первоклассного официанта отгибает крахмальные уголки.

— Прошу!

Мате подозрительно косится на содержимое свертка. Неужто паштет Генриха Второго? В таком случае, завтрак не для него. О, он отнюдь не привередлив. Но питаться паштетом двадцатилетней давности?! Асмодей, впрочем, убеждает его, что межвременны́е перелеты на свежести продуктов не отражаются, и мгновение спустя воздушное трио уплетает так, что за ушами трещит.

— Эх, хорош был завтрак! — говорит Фило, мечтательно орудуя зубочисткой. — К нему бы еще подходящий десерт…

— Могу предложить мою собственную теорему, — невозмутимо отзывается Мате.

Фило ядовито замечает, что имел в виду десерт, а не диссертацию. Но Мате говорит, что диссертация полезнее: от нее, по крайней мере, не толстеют.

Он вычерчивает треугольник («Совершенно произвольный, заметьте!»). На каждой из его сторон, снаружи («А можно и внутри, значения не имеет…»), строит еще по одному треугольнику — теперь уже равностороннему. Отмечает карандашом центры тяжести во всех трех, заново построенных, и соединяет их прямыми.

— Вот и всё! Обратите, пожалуйста, внимание на то, что пятый треугольник получился тоже равносторонний.

— Случайность? — предполагает Фило.

— Закономерность.

— Ну, это еще надо доказать…

— Вот и доказывайте. Кто ж вам мешает?

— Один?! — пугается Фило. — Без вашей помощи?

— Вот именно. Кстати, советую рассмотреть и два частных случая, когда первоначальный треугольник вырождается, то есть превращается в отрезок прямой. Это происходит либо тогда, когда одна из сторон «треугольника» равна сумме двух других, либо когда она равна нулю. Ну вот, на сей раз действительно всё.

Черт стремительно вскакивает и отвешивает один из самых своих изысканных, самых глубоких поклонов.

— Примите уверения в моей бесконечной признательности, наивосхитительнейший мсье Мате! Ваша теорема — лучший десерт в моей жизни. Во всяком случае, за последнее тысячелетие…