с = а + 1

Ь² =2а+1

(ci I)² = ci² 2а 1

(a, b, а + 1)

Теперь мы хотим, чтобы 2а + 1 было равно этому нашему числу 5². то есть 25.

2а + 1 = 25, а = 12.

Итак, мы получили новую тройку: 12² + 5² = 13². Без сомнения, ведь 144 + 25 = 169.

Следующий нечетный квадрат 49. Появится решение 24, 7 и 25.

Кто-нибудь из вас спросит меня: «Может быть, это всё?» Мы получили бесконечный ряд решений уравнения а² + Ь² = с² в целых

числах. Но они все устроены одинаково. Гипотенуза отличается от большего катета на 1.

Вопрос: а есть какие-нибудь другие решения? Ответ: да. Очень много других серий. Вот вам одно из решений, устроенных иначе: 84, 187, 205.

Общая формула для всех решений — это отдельная история.

Лекция 3

А.С.: Сейчас мы немного вернемся к теореме Ферма и Диофан­ту с его тринадцатью томами. Шесть сохранившихся томов, как я уже рассказывал, были изданы, после чего попали в руки Ферма. Ферма читал труд Диофанта и оставлял замечания на полях книг. Так вот, в том месте, где Диофант полностью разбирает классиче­скую задачу о прямоугольных треугольниках, рукой Ферма была на полях сделана заметка: «В то же время никак нельзя разло­жить куб в сумму двух кубов». На нашем языке это звучит так: уравнение вида ж³ + у³ = z^?J не имеет решений в целых числах.

Далее у Ферма стоит запятая, и он продолжает: «Никакую че­твертую степень — на сумму двух четвертых степеней, и вообще никакую фиксированную степень — в сумму двух таких же сте­пеней». Далее он пишет восхитительную фразу, за которой мате­матики гонялись 357 лет. Он пишет: «Я нашел тому факту пои- стине удивительное доказательство, но поля этой книги недоста­точно широки, чтобы его вместить». Эта запись рукой Ферма была в экземпляре трудов Диофанта. Этот комментарий был единствен­ным случаем в истории, когда утверждение Ферма не удалось до­казать за разумный период времени, спустя 20-30 лет. Один раз Ферма ошибся, но он не утверждал определенно. В случае с про­стыми «числами Ферма» он написал «по-видимому, они простые». В случае с рассматриваемой нами теоремой Ферма написал, что на­шел доказательство. Он упомянул об этом в 1637 г., а в 1994 г. ее доказали. Мы сидели на семинаре по алгебре. Пришел преподава­тель и сказал: «У меня для вас потрясающая новость — доказана великая теорема Ферма». Все решили, что это розыгрыш, не мо­жет такого быть. Мы учимся на мехмате, и при нас происходит историческое событие. Если быть точнее, теорему доказал Эндрю Уайлз в 1993 г. Но затем в доказательстве им самим была найдена ошибка, которую Уайлз вместе с Ричардом Тейлором исправляли пол года. Поэтому окончательно теорема была доказана в 1994 го­ду. Некоторое время были сомнения, и в 1996-1997 гг. не все были убеждены в том, что это свершилось, так как понять это дока­зательство могли лишь немногие из математиков. Сегодня можно утверждать, что понимают доказательство этой теоремы человек 500 в мире, детально — около 100 человек. Ежу понятно, что Фер­ма подобного доказательства выдумать не мог. Следовательно, или Ферма один раз ошибся, или мы до сих пор не знаем простого дока­зательства этой теоремы. Математики предпочитают соглашаться с первым утверждением, ибо второе позорно для всего человече­ства.

Ферма не оставил доказательства общего случая, но сохрани­лись записи изящного доказательства для частного случая, для п = 4, гласящего, что уравнение ж⁴ + у⁴ = г⁴ не имеет нетривиаль­ных решений в целых числах.

Я не буду приводить этого доказательства, хотя оно и не очень сложное. Оно использует приемы делимости, что возвращает нас к нашей первой задаче (найти все пифагоровы тройки).

Итак, теорема Ферма: уравнение х^п + у^п = zⁿ не имеет ре­шений в натуральных числах. Давайте посмотрим, каким может быть число п.

Это число можно разложить на множители. Есть такая теорема, называется «Основная теорема арифметики», которая утвержда­ет, что любое натуральное число можно единственным образом, с точностью до перестановки множителей, разложить в произве­дение простых чисел. Смотрим, делится ли п на 2. Делим, пока делится, получаем 2 в какой-то степени и оставшийся нечетный множитель. Если оставшийся множитель не простой, то мы рас­кладываем его дальше, пока не получим произведение простых чисел.

Например,

п = 2^ттп₂ Г -17-7 3808.

Почему процесс разложения на множители не может продолжать­ся до бесконечности? Каждый раз, когда мы раскладываем на мно­жители, числа становятся всё меньше и меньше. Нельзя бесконеч­но долго уменьшать натуральное число. Это аксиома Архимеда, но для человека разумного это — очевидное утверждение.

Переименуем простые множители в р. Математики любят обо­значать простые числа буквой р от английского «prime»:

п = 2^ШР1Р2Рз · · ·Рк·

Некоторые из множителей могут встречаться несколько раз. А мо­жет быть, у п есть какие-то другие множители, которые здесь не перечислены, и в результате оно одновременно равно какому-то другому произведению:

в = 2^mpip₂p3 ■■■Рк = · · · Чк-

Может ли такое быть, чтобы одно и то же число раскладывалось на простые множители «существенно по-разному» (несуществен­ное отличие — например, 2-3-5 и 3-5-2)? Интуиция подсказывает, что нет, и интуиция права. Но доказать это аккуратно довольно сложно. Мы в это просто поверим и не будем проходить этой тер­нистой дорогой. Что же следует из единственности разложения на простые множители?

Есть два варианта. Либо у п есть хотя бы один нечетный про­стой делитель, то есть в записи:

п = 2^ШР1Р2Рз · · ·Рк

хотя бы одно р — нечетное. Второй вариант состоит в том, что ни одного нечетного числа нет. Поговорим сперва о втором варианте. Что можно сказать про п в этом случае? То, что п является сте­пенью двойки. Если п = 2, мы получаем задачу про Пифагоровы треугольники, которую скоро решим в этой лекции. Если п ф 2, то оно представимо в виде 4-к. Высшая степень двойки - это либо 4, либо 8 = 4-2, либо 16 = 4 · 4 и так далее. Получаем следующее уравнение:

X^ik+y^ik = z^4k,

но, как известно,

х^4к = (х^к)\

(^)⁴ + (У^к)⁴ = (z^k)⁴-

Если бы можно было решить это уравнение, то три натуральных числа х^к, у^к и z^k образовали бы решение задачи Ферма ж⁴+у⁴ = z⁴.

Но Ферма доказал, что такое уравнение не имеет решений в це­лых числах, строго больших нуля.

Поэтому случай теоремы Ферма для чисел п, являющихся ка­кой-то степенью двойки, сводится к п = 2. В других случаях ре­шений нет.

Вспомним, какой случай мы еще не рассмотрели: п содержит нечетный простой делитель р, п ф 1 (кстати, 1 тоже является сте­пенью двойки), то есть п = рк. Тогда:

(х^к)^р + {y^kY = (z^kf.

Получается, что если у п есть простой нечетный делитель р, то несуществование решения уравнения Ферма с показателем п сво­дится к несуществованию решения уравнения степени р.

То есть теорема Ферма сводится к исследованию уравнения про­стой нечетной степени. И если мы знаем, что ни при каком про­стом нечетном п уравнение х¹¹ + у^п = zⁿ не имеет решения, то оно не имеет решения и ни при каком другом п ^ 3. А теперь — история вопроса.

Про уравнение второй степени было известно уже древним ин­дусам. Уравнение третьей степени оказалось более сложным. По­чти полное решение, которое потом довели до конца, было полу­чено Леонардом Эйлером. В лекции 4 я расскажу, каким изящней­шим путем доказывается теорема несуществования для некоторо­го уравнения третьей степени (не связанного напрямую с теоремой Ферма), но сначала про пятую степень:

х^ъ + у^ъ = z⁵.

Неразрешимость уравнения пятой степени в целых числах была доказана в XIX веке. Потом стали увеличивать показатели и дока­зывать про седьмую, одиннадцатую, тринадцатую степени. Дошли

примерно до сотни. Особо отличились женщина-математик Софи Жермен, а также Куммер, потративший на теорему Ферма добрую половину своей весьма долгой жизни (1810-1893).

При решении уравнения Ферма выделяют два разных случая: регулярный и специальный (нерегулярный).

Регулярный случай: ни одно из чисел ж, у, г не делится на р. Специальный случай: одна из переменных делится на р, а две дру­гие — нет. (Если две переменные делятся нар, то и третья перемен­ная обязательно делится на р. Например, если ж и у делятся на р, то в левой части р выносится за скобку, и г тоже будет делиться на р. Тогда можно сократить обе части уравнения на максималь­ную степень числа р и получить какой-нибудь из двух описанных случаев.)

Софи Жермен далеко продвинулась в регулярном случае. Она доказала, что уравнение регулярного типа х^р + у^р = z^p не имеет решения для всех таких простых р (нечетных, то есть всех, кроме р = 2), что 2р + 1 — тоже простое.

Весь XIX век длилась борьба за разные простые показатели, и методология доказательств была типовая. Выражения раскла­дывали на множители типа

х³ + у³ = (х + у) (ж² — ж у + у²).

Если вы не помните эту формулу из школы, можете ее проверить, раскрыв скобки. Дальше незадача: (ж² — ху + у²) на множители не раскладывается — по той же причине, по которой не раскла­дывается ж² + у². А как было бы хорошо разложить его и в одну строчку получить решение! Но это возможно только с комплекс­ными числами, а с действительными, привычными нам — это не­возможно. Все дороги, которые ведут в настоящую математику — идут через комплексные числа. Это сложно, но интересно и кра­сиво. К комплексным числам мы вернемся в конце этой лекции.

Сейчас я хочу доказать математически, что два вышеупомяну­тых выражения ж² + у² и ж² - ху + у² не могут быть разложены на множители. Для этого я использую сложный, но наглядный путь через введение в алгебраическую геометрию.

Докажем неразложимость х² + у². Допустим, что его можно раз­ложить на множители (где а, /3, 7 и 5 вещественные числа):

х² + у² = (ах + /Зу)( jx + Sy).

Рассмотрим, какие множества на плоскости задают правая и левая части уравнения:

х² + у² = 0 и (ах + /Зу)(-ух + Sy) = 0.

После работ Декарта мы знаем, что х и у можно считать координа­тами на плоскости. Уравнение х² + у² = 0 задает нам только одну точку (0,0). Почему? Потому, что квадраты не могут быть отрица­тельными. Если одна из переменных положительна, например х, то выражение х² больше нуля, но квадрат второй переменной не меньше нуля, следовательно, сумма будет больше нуля. Не по­лучается. Если сумма равна нулю, значит х и у оба равны нулю. Рассмотрим второе уравнение:

(ах + [Зу)( jx + Sy) = 0.

Оно задает нам две прямые. Иногда они могут совпадать.

х² + у² = 0 (ах + /Зу)('ух + Sy) = 0.

Рис. 136. Для левого уравнения получается всего одна точка, для пра­вого или две прямых, или одна.

Получается, что с одной стороны у нас две прямые (в случае их совпадения одна), а с другой стороны точка (см. рис. 136).

Если бы х² + у² раскладывалось на множители, то второе урав­нение должно было бы определять то же множество на плоскости, что и первое. Но так как эти множества не совпадают, то сумму квадратов нельзя разложить на множители.

Вот вам пример методов классической алгебраической геоме­трии. Если я захочу изучать уравнение от трех переменных ж, у и z, то получится уже трехмерное пространство. А если у меня 26 переменных? Нам понадобится 26-мерное пространство. Нуж­но иметь воображение и жить в многомерном пространстве. Пред­ставьте, что вы выходите на улицу и переходите дорогу на красный свет. Вас может сбить машина, но стоит вам перейти в четырехмер­ное пространство, и вам станут безразличны все светофоры, так как машины будут проезжать сквозь вас, и даже не будут заме­чать этого. А ведь вы сделали только один шаг по четвертой оси координат!