А.С.: Нет, это вовсе не 18 лет! 18 — число несовершенное, а вот

и 28 — совершенные числа! Поэтому математических совершен­нолетий в жизни каждого человека бывает ровно два — это когда человеку исполняется 6 лет, и затем — когда исполняется 28.

По определению, совершенное число — это такое число, которое равно сумме всех своих делителей, кроме себя самого. Например,

= 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2+4 + 7 + 14. Следующее совершенное число — 496, но до этого возраста никто (кроме библейских персонажей) еще не доживал.

Для четных совершенных чисел есть общая формула:

₂fe(₂fe+¹ _ х)

(где к обозначает произвольное натуральное число).

Правда, число такого вида совершенное тогда и только тогда, когда (2^fe+1 — 1) — простое число. При к = 1,2,4 получаются как раз совершенные числа 6, 28,496, а при к = 3 — число 120, совер­шенным не являющееся (потому что число 2^fe+1 — 1 = 15 в этом случае не является простым).

Тем не менее никто не знает, беконечно количество четных со­вершенных чисел или нет. Потому что никто не знает, бесконечно ли количество простых чисел вида (2^fe+1 — 1), или же оно конечно.

Последняя задача называется проблемой Мерсенна, а сами про­стые числа вида (2^к — 1) — простыми числами Мерсенна. Если мы поменяем в этом выражении знак минус на плюс, то получим так­же весьма интересную и важную, как мы увидим ниже, задачу — а именно, какие из чисел вида (229 +1) являются простыми? К Lft задаче мы вернемся ниже, а пока я расскажу кое-что еще про со­вершенные числа — конкретно, про нечетные совершенные числа.

Ровно 28 лет назад (совершенное число!)* я поступил в 57-ю школу. На уроках специальной математики мы решали задачки из так называемых листочков, в которых приводились только опре­деления математических понятий и объектов, а все свойства объ­ектов уже мы сами должны были доказать.

Так вот, в листочке номер 6 (совершенное число!), в задаче под номером 6 (sic!) речь шла о совершенных числах. Было дано их определение, а затем сформулированы три пункта: пункт 6(a) предлагал доказать, что любое четное число вышеуказанного вида является совершенным, если число (2^fe+1 — 1) простое; пункт 6(6) шел со звездочкой, и в нём требовалось доказать, что других чет­ных совершенных чисел не существует; и наконец, пункт 6(в) шел с тремя (!!) звёздочками, и в нём предлагалось доказать, что не­четных совершенных чисел не существует.

Никогда до этого ни в одном листочке не было задачек с тре­мя звездочками. Редкие задачки с двумя звездочками вызывали нездоровую конкуренцию математических самцов в нашем классе за то, кто быстрее решит очень сложную задачку и покрасуется перед немногими и потому особенно драгоценными для нас одно­классницами.

Увидев задачку с тремя звездочками, я бросил всё и два выход­ных подряд пытался ее решать.

Я исписал две общие тетради (кто постарше — помнит, что это такое!!!). В понедельник я шел в школу с опущенной головой, уже представляя себе Рому Безрукавникова, Сашу Сидорова или Са­шу Стояновского у доски, взахлеб рассказывающими решение этой задачи.

Интернета в те годы не было. Поэтому неудивительно, что всё принималось за чистую монету. Саша Шень (один из моих учите­лей в школе 57) стоял у стола, народ потихоньку собирался. Я по­дошел к нему, швырнул на стол свои тетрадки и сказал: «Сдаюсь».

«Ничего удивительного, — ответил Саша, — это пока что не­решенная математическая проблема. Мы дали на авось — вдруг кто-нибудь из вас изловчится и решит?..»

С тех пор прошло много лет, а воз и ныне там — до сих пор не­известно, существуют ли нечетные совершенные числа, или их нет совсем. Примера нет, но и доказательства несуществования — то­же нет. Конечно, компьютер перебирает уже лет 50-70 одно за дру­гим и проверяет, но к абсолютному доказательству такая провер­ка будет иметь отношение только в том случае, если вдруг какое-то нечетное число и впрямь окажется совершенным.

Вернемся теперь к проблеме Мерсенна - точнее, к ее «близне­цу». Про числа вида (2^fe + 1) (которые, кстати, использовал Гаусс при построениях!) известно довольно много.

Фокус состоит в том, что такое число простым может быть толь­ко в том случае, если к тоже является степенью двойки! И сейчас я это докажу.

Теорема. Если число (2^к + 1) — простое, то к = 2¹, то есть исходное число, имеет вид 2² +1.

Доказательство. Для доказательства нам потребуется один факт из школьной программы:

ж³ + 1 = (х + 1)(ж² — X + 1).

Вместо х можно подставить любое число. 2³ + 1, З³ + 1, 4³ + 1 рас­кладываются на такие множители. На самом деле раскладывается любая нечетная степень плюс один, например, ж⁵ + 1:

ж⁵ + 1 = (ж + 1)(ж⁴ — ж³ + ж² — ж + 1).

А четную степень плюс один таким способом разложить не полу­чится.

Предположим, что к не является степенью двойки. Это означа­ет, что у него есть нечетный простой делитель. У каждого числа есть какие-то простые делители. У некоторых чисел есть нечетные простые делители, у некоторых нет. Если у кого нет нечетных про­стых делителей, значит, это число делится среди простых чисел только на 2. Потому что все остальные простые числа нечетные. Но если число делится среди простых только на 2, то оно, очевид­но, есть степень двойки. Если же у него хотя бы один множитель будет нечетный, то я сделаю с ним следующее.

Предположим, что к не является степенью 2, тогда к равно не­которому нечетному числу р умножить на какое-то число t: к = pt. Что же такое теперь 2^к + 1?

2¹' + 1 2¹’¹ + 1 (2 *)Р + 1 =

= (2* + 1)((2*)(Р"¹) - (2*)(р-²) + (2*)(р-³) - ... + 1).

Я разложил 2^к + 1 на множители, очевидно отличные от 1 и даже положительные, значит, простым оно быть не может.

Поэтому число 2^к +1 может быть простым только в том случае, если к = 2¹ — степень двойки.

Пьер Ферма полагал, что все такие числа простые. Это была гипотеза Ферма. Он написал в свей тетрадке «мне кажется, что все эти числа простые». Он не был уверен, ему только казалось. Первое такое число: 2² + 1 = 5 — простое. Следующее: 2¹ +1 = 17 — простое. Дальше, 2^Н +1 257 — простое, 2 "’ +1 = 65537 — простое.

Однако уже следующее число такого вида оказалось составным. Ферма ошибся. Но, вообще, Ферма обычно не ошибался. Есть такой принцип, «Ферма ни разу не обманул»30. Все утверждения, которые он сделал с пометкой «это удалось строго доказать», впослед­ствии были доказаны. Он не оставлял доказательств, предлагая поверить ему на слово. Однако, в этом конкретном случае он на­писал: «мне кажется». И таки нет: 2³² + 1 раскладывается на мно­жители. Единственным исключением из «правила Ферма» была великая теорема Ферма, ее никак ни могли доказать. Но потом она тоже перестала быть исключением. Ее тоже доказали. Про­блема только в том, что то доказательство, которое сейчас суще­ствует, ни при каких условиях не мог выдумать сам Ферма. Оно содержит настолько сложную математику, которую Ферма не мог знать. Но ведь могло быть, что Уайлз (доказавший Великую Те­орему Ферма в 1993-1994 годах) «ехал из Москвы в Питер через Киев», а Ферма ехал напрямую. Никто этого не знает наверняка!

Давайте вернемся к числам п = 3,5,17, 257, 65537,.... Их на­звали простыми числами Ферма. Они замечательны тем, что та­кие правильные n-угольники строятся циркулем и линейкой. Пер­вый нетривиальный из них, 17-угольник, построил ещё Гаусс. А затем Ванцель доказал следующую общую теорему: правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки в том и только том случае, если в разложение числа п на простые множители (единственное, в силу Основной Теоремы Арифмети­

Прежде чем приступить к решению этой задачи, давайте немно­го отвлечемся и вспомним формулу сокращенного умножения

а² — Ь² = (а — Ь)(а + Ь).

Давайте докажем тождество а² + Ь² = с² геометрически.

Нарисую квадрат со стороной а. И вырежу из него квадратик со стороной Ъ.

а² — Ь² = (а — b) (а + b) а а — b

Рис. 132. Формула сокращенного умножения «в картинках».

Я хочу узнать, чему равна остающаяся площадь? Для этого я отрезаю прямоугольник и приставляю его снизу. Получаю пря­моугольник со стропами а — Ь и а + Ь и площадью (о, — Ь)(а + Ь).

Итак, с одной стороны оставшаяся площадь равна а?^Ь². С дру­гой стороны (а — Ъ)(а + Ъ). Значит, a²^t² = (а — Ъ)(а + Ъ). Тождество доказано.

А что такое прямой угол?

Слушатель: 90 градусов.

А.С.: А если кто-то прилетел с Марса, как ему объяснить, что значит «прямой угол»?

Есть безупречное определение прямого угла. Это такой угол, который, если вырезать его из бумаги и приставить к самому себе, даст развернутый угол (рис. 133).

Рис. 133. Слова исходный угол, справа приставлена к ному копия этого угла, вырезанного из бумаги. А внизу получилась сплошная пря­мая линия. Как говорится, ясно даже марсианину...

Развернутый угол это прямая. Прямой угол это но л овина развернутого угла. Это выводит нас на очень интересный вопрос: что имел в виду Евклид, когда писал, что все прямые углы равны между собой? Что такое «равны»? Есть одно очень важное поня­тие движение. Движение преобразование, которое сохраняет расстояние между парами точек. Мы всегда можем померить рас­стояние между точками на плоскости. Потом мы можем плоскость поворачивать, отражать, двигать главное, чтобы расстояние ме­жду точками не менялось. Так вот «равны» это всегда означает «совмещаются движением».

В 1872 году знаменитый немецкий математик Феликс Клейн вы­ступил с так называемой «Эрлангенской программой». Он сказал, что геометрия это наука о том. какие свойства фигур не меня­ются при «разрешенных преобразованиях». В частности, школь­ная геометрия это наука о том. какие свойства фигур не меня­ются при движениях. Но преобразования бывают и более общего рода: растяжение, инверсия. Есть много разных преобразований. И высокая геометрия, геометрия Лобачевского, сферическая гео­метрия это всё примеры того, как мы следуем Эрлангенской программе Клейна. То есть геометрию можно охарактеризовать как науку о свойствах фигур, которые не меняются при преобра­зованиях.

Я хотел охарактеризовать прямоугольные треугольники. Эта задача, несмотря на то. что ее полностью решили еще в античном мире. не самая простая. Вы быстро найдете несколько примеров целых сторон, для которых верно с² = а² + Ь². Ну. скажем, вот а = 3, Ь = 4. с = 5:

9 + 16 = 25.

Давайте посмотрим, сможем ли мы угадать еще какие-нибудь тройки? Посмотрим на картинку, которую тоже должны изучать в школе (в древнегреческой школе она была!).

Рис. 134- Справа — столбики различной высоты (по-гречески «гномо­ны»). Высота измеряется числом клеточек, помещающихся в столбик, и указана внутри них. Каждый гномон, начиная со второго, «заворачи­ваем» на 90 градусов (слева). Его площадь от этого не изменится! Вот и получилось доказательство замечательной теоремы: «Сумма нечетных чисел от 1 и до 2п — 1 равна те²».

Картинка на рис. 134 помогает понять тот факт, что сумма

+ 3 + 5 + 7 + 9 + ... на любом шаге вычислений дает квадрат натурального числа. Одновременно это — способ увидеть, чем от­личаются друг от друга два соседних квадрата. А именно, два со­седних квадрата всегда отличаются на нечетное число.

Но нечетные числа тоже иногда бывают квадратами, например, g _ _{эт0 3}2.

Значит, в момент, когда между соседними квадратами слой со­стоял из 9 квадратиков, у нас очевидным образом появилось ре­шение соответствующего уравнения Диофанта.

а

(I ■ 1

Рис. 135. Поиск одной серии решений уравнения и² + Ь² = (?.

Подобным же способом можно получить бесконечное множество таких троек. Все эти тройки будут иметь следующий специальный вид: (a, b, а + 1). Здесь Ъ нечетное число, обладающее тем свой­ством. что в изогнутой полоске между квадратом размера а на а и квадратом размера (о, + 1) на (о, + 1) умещается ровно Ь² маленьких квадратиков (см. рис. 135).

То есть между а² и (а + I)². между этими квадратами, иногда разница будет являться квадратом. И именно тогда, когда нечет­ное число будет случайно оказываться квадратом, будет появлять­ся новая тройка решений уравнения Диофанта.

Какое следующее нечетное число будет квадратом? 25. Давайте посмотрим, чему равна тогда разница между соседними квадрата­ми. На сколько клеточек отличаются а² и (а, + I)²? На 2а + 1.