Итак, каждый человек в любой момент времени видит звезды только половины небесной сферы. Другая половина не видна, ее загораживает Земля (хотя она вовсе не занимает половины про­странства). Фактически, модель ситуации (при наблюдении из кос­моса) такая. Вы прижимаете к Земле плоскость в любой точке — хотите, в Москве, хотите — в Питере, и наблюдаете ее полный оборот вместе с Землей. В этой плоскости отметим прямую, ка­сательную к меридиану в выбранной точке. В процессе поворота Земли вокруг полярной оси эта прямая опишет поверхность не­которого конуса, которого в каждый момент касается плоскость (оставаясь при этом касательной и к поверхности Земли — пото­му что Земля оказывается вписанной в этот конус). Вот теперь мы, наконец-то, добрались до изучения двух особых наблюдате­лей: экваториального и полярного (см. рис. 95). А там, глядишь, и с точкой «Москва», и с точкой «Петербург» станет ситуация по­нятной. Они же ведь точки по сравнению с Землей, правда?

Рис. 95 показывает, какие звезды увидят наблюдатели, находя­щиеся на широте 0 градусов (экватор) и на широте 90 градусов (полюс), если они будут в течение 24 часов наблюдать звездное небо (то есть пока Земля совершит полный оборот). Понятно, что в дневное время свет Солнца помешает видеть звезды (а если слу­чится полное солнечное затмение, то всё же увидят). Но есть та­кие участки звездного неба, которые наблюдатель в принципе не сможет увидеть. Например, наблюдатель на экваторе не уви-

(нижняя часть рисунка). Вертикальные линии образующие бесконеч­ной в обе стороны цилиндрической поверхности. Для удобства восприя­тия верхняя часть цилиндрической поверхности срезана горизонтальной плоскостью (верхняя линия край среза). Отдельная точка это Се­верный полюс. Через него проведена горизонтальная плоскость, касаю­щаяся Земли. Эта плоскость схематически изображена в виде паралле­лограмма.

дит (ни в какое время суток) тех звезд на небесной сфере, которые лежат внутри цилиндрической поверхности21. (Половина невиди­мых звезд лежит «выше северного полюса», другая же половина «ниже южного».) Наблюдатель же. находящийся на Северном по­люсе. не увидит (ни в какое время суток) звезд «нижней половины небесной сферы». Но зато звезды «верхней половины» он увидит не постепенно в течении 24 часов, а все СРАЗУ. Дело в том. что го­

ризонталъная касательная плоскость на рис. 95 по мере вращения Земли хотя и будет поворачиваться, но она всё время будет со­впадать сама с собой. Если мы рассмотрим только наблюдателей из северного полушария, то можно сформулировать такое доста­точно простое правило:

«Видно всё, кроме внутренности конуса». Чем ближе к се­веру находится наблюдатель, тем более «плоский» получается ко­нус. и тем меньше звезд видно. Чем ближе к экватору он нахо­дится. тем более «острый» получается конус (а на экваторе его вершина оказывается удаленной до бесконечности; на полюсе же его вершина совпадает с самим полюсом). См. рис. 96.

(60 град.), поэтому коническая поверхность, внутри которой располага­ются невидимые звезды, для Москвы имеет более значительную высоту над полюсом, но угол расхождения левого и правого луча из вершины меньше, чем для Петербурга. Поэтому из Москвы видно больше звезд (если наблюдение вести 24 часа). (Рекомендуем мысленно вращать этот рисунок относительно оси симметрии пунктирная линия образует то­гда северное полушарие Земли, а сплошные «конусы невидимости».)

Поэтому из Санкт-Петербурга видно меньше звезд, чем из Мо­сквы (рис. 97). А на экваторе не видно ни Полярной звезды, ни Южного Креста (да и соседних с ними звезд тоже не видно). Од­нако последнее утверждение является схоластическим. Чтобы по­нять это. представьте себе, что цилиндрическая поверхность, изо­браженная на рис. 95, продолжена вверх до пересечения с небес­ной сферой. Тогда на этой сфере получится линия пересечения в виде окружности, радиус которой примерно равен 6400 кило­метров (радиусу Земли). А радиус небесной сферы, как указано

выше, примерно равен расстоянию до ближайшей звезды (не счи­тая Солнца). Это расстояние неизмеримо больше, чем 6400 км. Так что даже с помощью самого мощного современного телескопа бу­дет проблематичным понять, какие же звезды попали в «область невидимости» для экваториального наблюдателя!

Рис. 97. Сомойство прямых, касательных к меридианам.

Задача про 22 мая.

В формулировке задачи упоминаются такие известные даты, как «летнее солнцестояние» (22 июня) и «зимнее солнцестояние» (22 декабря). Здесь уже без Солнца никуда! В этом случае, ка­залось бы, надо использовать гелиоцентрическую модель Копер­ника, но вполне работает и модель Птолемея, в которой Солнце вращается вокруг Земли. В этой модели, как объяснено во врез­ке, Земля преспокойно стоит на месте, несмотря на возмущение других миров, населенных мыслящими существами (согласно по­словице «Вся рота шагает не в ногу, один поручик в ногу»).

Что же происходит в нашей земной системе координат? В зави­симости от времени года солнце всходит и заходит в разное вре­мя. Но восходит/заходит оно под разным углом, поэтому меняется скорость восхода и заката. Когда наступает темнота? Когда Солн­це достаточно низко «залегает» под уровнем горизонта. (ПОЯС­НЕНИЕ. В этом месте, в астрономию вмешиваются... государ­ственные. законы. Надо дать юридическое определение, что такое «сумерки». Ведь с наступлением сумерек государство должно по­тратиться на освещение объектов цивилизации. Вот и появились на свете два вида сумерек: «гражданские сумерки», начинающие­ся с глубины залегания Солнца в 6 градусов, и «астрономические сумерки», когда на небе можно различить практически все види­мые звезды, начинающиеся с глубины в 18 градусов.) В дни рав­ноденствия Солнце уходит под крутым углом к линии горизонта, поэтому темнеет очень быстро. А в дни солнцестояния угол, под которым заходит солнце, оказывается гораздо более пологим, по­этому темнеет и светает медленно.

В высоких широтах северного полушария (равно как и в низких широтах южного) заметен эффект, который можно назвать «фаль­шивыми сумерками» — или, более поэтично, «белыми ночами».

Солнце начинает нисходить за горизонт под малым углом, но очень быстро выходит на угол еще меньший, чтобы «успеть бы­стро выскочить обратно», ибо широта этого места такова, что еще немного, и начнется сплошной полярный день, без всяких сумерек. В итоге еще не кончились вечерние сумерки, как пора уже гото­виться к рассвету. Как это было у Пушкина: «Одна заря сменить другую // Спешит, дав ночи полчаса...» И что же получается? Не только не достигнута «глубина залегания Солнца» в 18 граду­сов (астрономические сумерки), но и даже не дотянули до 6 гра­дусов (гражданские сумерки). Значит, градоначальник не включит освещение, и придется нам уподобиться тому же Пушкину («когда я в комнате моей пишу, читаю без лампады... »). Вот в Питере уже заметен этот эффект — там просто никогда не темнеет до кон­ца. Даже вот это расстояние до Полярного круга (это расстояние примерно 7 градусов в Питере) — оно такое, что не темнеет про­сто, да и всё тут! 7 градусов под горизонтом позволяет получать от спрятавшегося Солнца вполне достаточную подсветку. Ведь Пи­тер — это 60-я параллель, а 66° и 33 минут (66,5622°) — это По­лярный круг, где уже светло, где Солнце 22 июня просто сияет круглые сутки. Из этого, в частности, следует, что в Мурманске на самом деле зимой немного светает, потому что 69-я параллель отличается от 67-й всего на 2 с лишним градуса, поэтому на самом деле зимой в Мурманске в 3 или 4 часа вполне себе светло, про­сто Солнца нот. Потому что если бы там было томно, то том болоо было бы томно ночыо в Петербурге летом. Но это ведь не так. Ле­том в Петербурге достаточно светло, а уж тем более на Соловках. 64-й градус. Соловки и Мурманск симметричны относительно По­лярного круга. Поэтому если 22 июня на Соловках можно просто читать газету в час ночи, то значит, что в Мурманске 22 декабря в час дня тоже можно будет читать газету, это будет то же самое состояние светового дня. Это надо понимать, потому что когда вам говорят, что там. в Норильске или Мурманске, никогда не света­ет в течение пол угода, это сказки просто. Светает, каждый день, но солнце не восходит. А вот на Диксоне, да. В порту Диксон на ши­роте 73,5 градусов состояние «22 декабря в час дня» почти такое же, как в Москве «22 июня в час ночи», то есть практически темно, поэтому уже в Диксоне, например, никакого вам не будет «рассве­та» в течение пары месяцев подряд. Вот. Учтите это, когда будете планировать ваши путешествия. Все загадки отгаданы.

Слушатель: Нет. Не обсудили про качели.

Задача про качели.

Почему положение уравновешивания (рис. 99) не является устойчивым? Предположим, что качели чуть-чуть покачнулись от ветерка. Они перешли в следующее состояние: (рис. 99).

Видно, что одно плечо рычага после поворота уменьшилось, а другое увеличилось. Поэтому качели наклонятся в сторону боль­шего плеча. И это можно показать математически. Но не нужно. Это давным-давно уже сделано в механике, причем в виде общей и очень простой теоремы: чтобы жесткая система сохраняла

Рис. 98. Почему эти качели не поддаются уравновешиванию?

Итак. Начнем с простого. Качели, которые устроены как палка и сидение (рис. 98). Какие у них устойчивые положения равновесия и почему?

Рис. 99. Прослодим-ка мы. что произошло с центром тяжести системы «доска+спинки».

равновесие, центр тяжести этой системы должен лежать ниже точки опоры.

А теперь рассмотрим ситуацию, когда у качелей вместо спинок есть держалки для ног (рис. 100).

Пусть опять подул ветерок, и качели наклонились. Опять изме­нились плечи, только увеличилось то плечо, которое сверху. По­этому качели потянет вниз, обратно к горизонтальному состоянию равновесия. А дело в том. что теперь центр тяжести НИЖЕ точки опоры (сами поймите, почему).

Но самое интересное, почему качели без спинки и подножки всё равно находятся в наклоненном виде? Здесь и без теоремы ясно.

Дело в том. что у доски есть толщина. И когда качели наклоня­ются. одно плечо получается на маленький треугольничек больше, чем другое (см. рис. 101).

Он-то и перевешивает качели в сторону.

* *

А теперь нерешенные проблемы школьной математи­ки. Но прежде я хочу рассказать о том. как мыслят математики.

как они решают задачи. Есть такой английский принцип: «Think out of the box», то есть «Подумай, не выглянуть ли за пределы исходного ящика». Давайте посмотрим, как он работает.

Задача:

На плоскости даны три различные по радиусам окружности, не пересекающиеся друг с другом. К каждой паре окружностей проведена пара внешних касательных, и отмечена точка их пере­сечения (см. рис. 102). Лежат ли три отмеченных точки на одной прямой?

ОТВЕТ: :точки пересечения касательных лежат на одной пря­мой.

А как же быть с рис. 102? Он что. нас обманывает? Да!!! С ри­сунками это часто бывает. Поэтому делать выводы надо не после беглого взгляда на рисунок, а после строгого математического до­казательства (или строгого опровержения).

Доказательство состоит в следующем. Рассмотрим три полу­сферы. которые пересекаются нашей плоскостью по своим боль­шим окружностям. Представьте себе 3 сферических купола боль­шого. среднего и малого радиуса.

Эти 3 сферы сверху накрываются постепенно опускающейся вниз горизонтальной плоскостью, пока не произойдет касание са-

мого большого купола. (Такая плоскость ровно одна.) Теперь (гля­дя на рис. 102 и мысленно выходя за пределы исходной плоскости) будем «вертеть» получившуюся плоскость до тех пор, пока она, оставаясь касательной к большому куполу, не коснется среднего купола; затем вертим ее дальше (не теряя точек касания с боль­шим и средним куполом), пока она не коснется малого купола. Та­кая «трижды касательная плоскость» уже ровно одна (здесь надо предполагать, что центры окружностей не лежат на одной прямой). Так вот. После очень простых соображений становится очевидно, что наши отмеченные точки лежат в этой новой плоскости.

(ПОЯСНЕНИЕ. Считая, что рис. 102 нарисован не на плоскости, а в пространстве, содержащем исходную плоскость, представьте себе, что вместо пары внешних касательных мы нарисовали конус, внутри которого «спрятались» касающиеся этого конуса сферы. Таких конусов будет ТРИ. Вершина каждого из них находится (как нам подсказывает «пространственное воображение») как раз там, где находятся отмеченные в условии задачи точки.)

Но отмеченные точки также лежат и в исходной плоскости. Зна­чит, они лежат на прямой пересечения этих плоскостей. Теорема доказана.

Я сейчас пояснил, как думают математики. Это задача никаким простым методом не решается без выхода в пространство. Выход в пространство решает ее в один ход. Так происходит с математи­кой. Идея — выйти за пределы того, что у вас дано. Математи­ка — это выход за пределы. Все великие открытия, все великие доказательства связаны с покиданием пределов изученного, пре­делов данного и требуемого в задаче.

Нерешенные математические проблемы

Самая старая — из известных мне — нерешенная математиче­ская проблема. Говорят, был такой в Сиракузах царь или вельмо­жа, который занимался странным видом деятельности22. Он брал натуральное число. Если оно было четное, он делил его на 2, пока оно не станет нечетным. Например, если это было число 12, оно превращалось в 3.