т — _п V2 = (l- у/2)(1 - л/2)(1 - у/2)(1 - л/2).

А теперь давайте перемножим две наши строчки.

(т + nV2)(m — nV2) = т² — 2 п².

Напоминает Уравнение Пелля, не правда ли?

Наконец, перемножим правые стороны уравнений. Я не зря вам тут про Гаусса рассказывал. От перестановки множителей ведь ничего не меняется. Поэтому я могу в моем произведении перем­ножать скобки в любом порядке. Перемножу их по столбцам:

(1 + л/2)(1 - л/2) = 1 - 2 = -1.

Ну и тогда у нас получается после перемножения по столбцам

л/2)(1 + л/2)(1 + \/2),

- л/2)(1 — л/2)(1 — \/2),

в ответе (—1)(—1)(—1)(—1).

А что получится, если (—1) умножается на себя много раз? 1 или (—1). То есть, когда мы будем возводить (1 + у/2) в четную степень, будет (+1), а в нечетную (—1).

Но с другой стороны уравнения у нас стояло т²—2п². Получаем т² — 2 п² = ±1.

То есть мы доказали, что в любой степени (1 + л/2)” порождает решение нашего уравнения Пел ля.

Теперь несколько вопросов до следующей лекции.

* *

Вы залезли на вершину Хибинских гор. Высота их пример­но 1 км. И посмотрели вдаль. А там — дома. Вам померещилось, или это Мурманск? Могли ли вы увидеть Мурманск? На сколько километров вдаль можно увидеть с километровой горы? Обрати­те внимание, земля круглая, поэтому сильно далеко не увидишь. На сколько километров видно с Эвереста? С 20-этажного дома? Если кто-нибудь, например, говорит: «Я тут пролетал из Тбили­си в Дели и Москву на горизонте видел». Он врет или возможно такое? Это задача, которая возникает, когда вы идете в горы.

Вы стали астрономом. И наблюдали за звездами. Наблюда­ли, живя в городе Москве, а потом по семейным обстоятельствам перебрались в Санкт-Петербург. Вы обнаружили какие-нибудь но­вые звезды, которые из Москвы не видно? Как устроены между собой два множества звезд этих двух городов? (Множество звезд, которые видны из Петербурга, и множество звезд, которые видны из Москвы.) Случилось солнечное затмение. Летним днем в Мо­скве стали видны звезды, которые никогда не видны летним днем в Москве. Это новые звезды, например. «Южный крест», или это те звезды, которые вы уже видели над Москвой?

Вы идете на лыжах 22 марта. Начинает темнеть, и вы вспо­минаете. что 22 декабря, когда вы шли на лыжах, и солнце зашло за горизонт, вы успели добежать до деревни Морозки до полной темноты. Вы идете в том же самом месте. Успеете ли вы добежать до деревни Морозки или нет? Тот же вопрос про 22 июня и 22 сен­тября (но уже вряд ли на лыжах). Когда быстрее всего наступает темнота после захода солнца, когда медленнее?

Вы подошли с вашей маленькой двухлетней дочкой к дет­ской площадке. И обнаружили там некоторое количество качелей разного вида.

Картинка: качели, рассчитанные на двоих детей. Одни с ручкой для рук (см. рис. 83). другие с ручкой для ног (см. рис. 84). А также совсем простые качели в виде обычной доски (см. рис. 85).

а какие качели вы увидели, скорее всего, в перекошенном состоя­нии? Как это зависит от расположения спинки?

Вы опять пришли и увидели, что качели устроены как абсо­лютно плоская доска. Просто обтесанное с двух сторон бревно, и больше ничего. Но одни качели в положении равновесия висят, вторые всё время скатываются набок. Почему?

Алиса летит сквозь Землю. Помните сюжет книги Л. Кэрро- ла «Алиса в стране чудес»?

Алиса летит сквозь Землю и думает, что она к антиподам при­летит. В самом центре Земли выбегает гномик и дает ей пинок так, что увеличивает скорость ее полета на 1 метр в секунду. Вопрос: на какое расстояние она вылетит из Земли вверх благодаря этому дополнительному метру в секунду?

В лиге чемпионов в группе 4 команды. Они играют каждая с каждой. Причем каждая с каждой играет и у себя, и в гостях. То есть в каждой группе между каждой парой команд произой­дет ровно 2 матча. В случае ничьей каждой команде дают 1 очко. Тот, кто победил, получает 3 очка. Проигравший — ноль очков. А теперь — внимание! С каким минимальным количеством очков еще можно попасть в следующий раунд? В следующий раунд попа­дают 2 команды из 4. Вы должны привести конкретный расклад. Кто с кем играл, какие баллы получил. И доказать, что с меньшим числом очков «выйти из группы нельзя».

Каково максимально возможное количество родных прапра­бабушек?

Обсуждение ответов — на лекции 5.

А.С.: Сначала обсудим задачи, заданные на дом в конце лек­ции 4. Они не являются обязательными и ничего не проверяют (в отличие от ЕГЭ). Просто они показывают особенности матема­тического подхода в различных жизненных ситуациях. Всего задач было семь: 1) Обзор окрестностей с вершины горы; 2) Наблюдение московских звезд во время затмения; 3) Скорость наступления тем­ноты в различные дни года; 4) Странное поведение детских каче­лей; 5) Полет девочки Алисы к антиподам; 6) Математика фут­больного чемпионата; 7) А сколько у человека прапрабабушек?

Все разобрались, сколько у «среднего человека» пра­прабабушек? (Несредним человеком будем называть такого, у ко­торого две прапрабабушки (или два прадедушки) совпадают в од­ном лице. Всякое бывает. Например, изучение росписи русских дворянских родов приводит к выводу, что у А. С. Пушкина и Н. А. Романова (то бишь Николая I) были общие предки.)

Рис. 86. «Дорово» бабушек и прабабушек.

пра...

бабушки и дедушки

С каждым коленом удваивается количество как дедушек, так и бабушек (см. рис. 86). Папа один, мама одна, дедушек два, бабу­шек две, прадедушек уже четыре, и прабабушек тоже четыре, ну, а прапрабабушек, соответственно, получается восемь.

Теперь разберем задачу про футбол (рис. 87).

С каким минимальным количеством баллов можно выйти из группы в следующий раунд? Ниже приведен пример, когда это ко­личество равно четырем (рис. 87, справа).

Рис. 87. Слова: Матчи команд самих с собой но имеют смысла. Справа: финальные счета в матчах, где А всех победил, в то время как прочие игры сыграны вничыо.

Итак. «А» выигрывает все игры. Все остальные матчи сыграны вничыо. (Напомним, что за победу дается 3 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0.)

Получается, что выходит из группы в следующий раунд лучшая команда «А» и еще одна из команд с 4 баллами. Я не знаю, было ли такое в лиге чемпионов, но с 6 баллами точно выходили.

Встает другой вопрос. Как доказать, что с 3 баллами выйти не­льзя! Конечно, можно было бы перебрать все З¹² вариантов розы­грышей матчей (ибо имеется 12 незаполненных мест, и на каждом месте может быть 3 различных исхода). Но хотелось бы этого из­бежать. Давайте попробуем формально рассуждать. Как мы будем это делать? От противного. Предположим, что какая-то команда вышла с 3 баллами. Какие в этом случае количества баллов мо­гут быть у всех команд? Вышеуказанный вариант для команд А,

В, С, D был 18, 4, 4, 4. Если какая-то команда вышла в следующий раунд с 3 баллами, значит, как минимум у двух команд должно быть тоже не больше 3 баллов. Потому что иначе наша команда не вышла бы из группы. Раз она вышла, следовательно, у двух других команд баллов меньше или равно 3.

Вопрос: сколько баллов у команды, которая больше всех на­брала?

В каждом матче разыгрывается суммарно или 2, или 3 балла (ничья дает 1 + 1, победа дает 3 + 0). Поэтому за все матчи все ко­манды могут набрать минимум 2 · 12 = 24 балла, если все сыграли вничью, максимум — 3 · 12 = 36, если каждый матч был выигран.

В нашей ситуации три команды набрали не более, чем по 3 бал­ла, в сумме 9, значит у четвертой команды не меньше 21 — 9 = 15 баллов.

Значит, она выиграла почти все матчи.

Давайте уточним, как команда могла набрать 3 балла. Она либо три раза сыграла вничью, либо один раз выиграла. Больше спосо­бов нет. Одна победа и 5 проигрышей, либо 3 ничьих и 3 проигрыша. Обозначим это так:

Вариант 1. Н

либо

Вариант 2. 0 0 0

Слушатель: Это значит, что 18 очков в розыгрыше.

А.С.: Рассмотрим вариант 1. В 6 матчах было разыграно 18 оч­ков, значит, в оставшихся 6 матчах будет не менее 12 баллов, так как в каждом матче разыгрывается не менее 2 баллов. Значит, в сумме получается не меньше 30 баллов. Значит, у четвертой ко­манды не менее 30^9 = 21, чего быть не может, так как максималь­ный результат любой команды равен 18, то есть все выигранные матчи.

Итак, вариант с одним выигрышем отпадает. Рассмотрим дру­гой вариант: три ничьи.

Вариант 2. Четвертая команда набрала не меньше 15 баллов (минимальное количество 24, три команды набрали в сумме 9, получаем 21 — 9 = 15). Значит, она одержала минимум 5 побед. (Меньше не может быть, так как всего 6 матчей. Даже если 4 по­беды и 2 ничьи, получится 4 · 3 + 2 15).

Получается минимум, который команды могли набрать вместе: не 24, а 29 (ибо пять матчей с победами принесли 15 очков, а остальные 7 матчей — не меньше 14 очков). Значит у четвертой ко­манды минимум 29^9 = 20 баллов. 20 18, где 18 — максимально возможное количество баллов. Противоречие.

Другой вопрос, так сказать, «обратный» к первому. С каким максимальным количеством очков можно не выйти из группы в следующий раунд?

Слушатель: 12.

А.С.: Да. И как должна быть устроена таблица? Одна команда (скажем, команда D) всем проиграла — 0 очков. Остальные 3 ко­манды выигрывали по кругу: А у В, В у С, С у А. Тогда у трех команд будет по 12 очков. И одна из них должна будет покинуть чемпионат.

Почему нельзя не выйти в следующий этап с 13 очками? Пред­положим, что вы набрали 13 или больше очков, почему вы точно знаете, что вы вышли в следующий этап?

Подсказка. Если бы кто-то с 13 баллами не вышел, то две ко­манды, которые вышли, имели бы не меньше, чем 13.

Теперь поговорим о том, с какой горы на сколько кило­метров видно.

Я залез на Хибинские горы, могу ли я видеть Мурманск, ко­торый находится на расстоянии 100 км от гор? Ответ: на самом горизонте — смогу (если сопки около Мурманска не помешают).

Сейчас мы получим точную формулу для максимальной види­мости.

Уже первые шаги вверх от земли сразу дают очень большую видимость.

С поверхности ничего не видно. Ноль, он и есть ноль. Горизонт стянулся в точку. Чуть-чуть выше нуля поднялись, на 10 санти­метров, и сразу видно примерно на километр (это если Земля — идеальный шар). Обозначим высоту горы за h. Расстояние до цен­тра земли обозначим за R и 6400 км. Эта числовая величина нам также пригодится, когда мы будем решать задачу про Алису.

Посмотрим на рис. 88. Я хочу знать, чему равно L, то есть на сколько километров видно? Здесь есть одна тонкость.

Рис. 88. Земля в разрезе. Расстояние от центра до вершины горы R + /;. расстояние от центра до точки касания R. Через L обозначено расстояние от вершины до точки касания.

Вдали будет горизонт. А вот если с другой стороны (за горизон­том) имеется такая же гора высоты h. то ее видно вдвое дальше. А если там гора высоты ^ то всё равно гораздо дальше, чем просто до горизонта (рис. 89).

Один раз при мио па Байкале видный ученый совершил детскую ошибку. Он сказал: «Мы никак не можем видеть горы, которые на­ходятся в районе Улан-Удэ. Не можем, потому что... » и даль­ше привел вычисления по формуле, которую мы сейчас выведем. Я говорю: «Ты не учитываешь, что мы сами сейчас не на Байкале, а на сильном возвышении». «О...». говорит: «Конечно, это всё удваивает». На Байкале очень здорово наблюдать, что Земля круглая. Племена, которые жили на Байкале, наверняка издавна знали, что Земля круглая.

Помните теорему Пифагора? У нас образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой R + h и катетами R и L. Значит.

(R + /г)² = R² + L².

R² + 2 Rh + К² = R² + L².

Страшная величина (квадрат радиуса Земли) сокращается, и оста­ется:

I² = h² + 2 Rh.

Здесь нужно быть не только математиком, но и физиком для то­го, чтобы сказать, что К², в общем-то, равно нулю.

Потому что по сравнению с двойным радиусом земли Н² очень маленькое число. Это вещи несопоставимые, в том смы­сле, что первая подавляюще больше, чем вторая. Поэтому, чтобы без лишних усилий оценить, на сколько километров видно, доста­точно положить Н² = 0 и написать:

l = Vmh.

Что здесь важно понимать? Что 2R величина постоянная, ко­рень из нее равен 113. А если совсем грубо то просто 100.

Есть такая оценочная формула:

= mVh,

\fh эта функция, которая сначала очень быстро возрастает, а по­сле отхода от нуля увеличивается медленно (см. рис. 90).

Чуть-чуть h отлично от нуля, прямо самую малость, а корень уже очень большой. Поэтому и получается, что вы чуть-чуть под­няли голову от Земли и: «О! Уже хорошо видно!» Давайте немного покрутим эту формулу.

Вот при h = 1 км с Хибин видно на 100 км, а более точный результат — действительно — на 113 километров. 113 километров вполне достаточно, чтобы увидеть Мурманск с Хибинских гор.