На самом деле, пока она не была доказана, в нее не очень вери­ли. Любое непрерывное отображение (разрешено всё. кроме раз­рывания) замкнутого выпуклого объекта (в теореме Брауэра го­ворится о замкнутом шаре) в себя всегда обладает неподвижной точкой. То есть точкой, которая никуда ни сдвинулась. Вы что-то растягиваете, что-то сжимаете, что-то складываете, но вы никогда, никогда не добьетесь того, чтобы все точки изменили свое поло­жение. Этого нельзя сделать. Этому есть математическое препят­ствие. и оно называется «теорема Брауэра о неподвижной точке».

* *

Вернемся к задаче, которой мы закончили предыдущую лек­цию.

(1 + х/2)², (1 + %/2)³, ... (1 + %/2)"

эти вот выражения почему-то тоже помогали нам решать урав­нение Пелля.

Сейчас как раз самое время открыть секрет. Заодно получим еще одно оправдание изучению уравнения Пелля:

ж² _ 2у² = 1.

Греки мыслили геометрическими образами. Старались увидеть чи­сло, увидеть теорему Пифагора. У них были «квадратные» и «тре­угольные» числа.

Например, 4 или 9 это квадратные числа (рис. 80).

ОО ООО ОО ООО ООО

Рис. 80. Из 4 или из 9 кружков можно сложить квадрат.

Что такое треугольное число? Это когда из такого количества кружочков можно треугольник собрать. 3, 6, 10 числа треуголь­ные (см. рис. 81).

_п О ° по ^{00 00} ООО ООО О О О О

Рис. 81. Пород началом партии в биллиард шары укладывают в «тре­угольник».

Следующее 15, потом 21. Каждый раз прибавляем на 1 больше, чем в предыдущий раз.

Сам собой возникает вопрос: бывает ли так, что одно и то же число и квадратное, и треугольное? То есть количество фишек таково, что можно собрать из них квадратик, а можно перемешать и собрать треугольник.

Слушатель: Число 1 и такое, и такое.

А.С.: Безусловно. Человек, который говорит «число 1», облада­ет математическим мышлением. Не пропустить даже простейшего случая. Это очень важно.

Однажды я ехал в поезде из Иркутска в город Тулуп. И со мной в плацкарте ехала женщина с дочкой лет пяти. Мама явно не ма­тематик, но при этом хочет дочку чему-то научить. И она спраши­вает: «Вот, смотри. У тебя пять кукол. Как их можно разложить?

и 2». «Ну, да». «А еще можно как-нибудь?» Я с интересом наблюдаю. Тут дочка и говорит: «Можно 5 + О».

Я вскакиваю с полки, спускаюсь и говорю: «Ваша дочь имеет нетривиальные, очень хорошие математические способности».

Мама немножко помолчала, а потом согласилась. Но она не по­няла. Ведь назвать 5 + 0 может только человек, у которого четко развита логика, другой человек не назовет, это нетривиальный ва­риант.

Вернемся к треугольным и квадратным числам. Какое следую­щее, после 1? Следующее «и такое, и такое» число это 36 (см. рис. 82).

О

оо

ООО оооооо оооо оооооо ооооо оооооо оооооо оооооо ооооооо оооооо

оооооооо оооооо

Рис. 82. Число 36 «дважды чемпион» среди натуральных чисел.

Давайте найдем общую формулу для всех чисел такого рода.

Слушатель: 36 на 6, ну, 36 на 36 умножить?

А.С.: Давайте, во-первых, выведем формулу для треугольных чисел. То есть, грубо говоря, есть формула для всех квадратных: п². Подставляете любое число, получается квадрат. А вот как на­писать общую формулу для чисел 1, 3, 6, 10, 15... Вот что нужно сделать с т, чтобы получить треугольное число?

Что получается? l + 2 + 3 + 4+ ... + m.

Нужно посчитать такую сумму. Вот оно, треугольное число. Как посчитать такую сумму? Есть знаменитая история про то, как Гаусс быстро в уме подсчитал сумму первых подряд идущих ста чисел. (Но это, мне кажется, байка.) Маленький Гаусс учил­ся в школе в 3-м классе. В школе к учителю или к учительнице пришел знакомый. Учительница решила дать задачу такую, чтобы дети занялись на весь урок. «Дети, а теперь посчитайте 1 + 2 + 3+ и так далее до 100». И ушла довольная. Выбегает маленький Гаусс через 5 минут, говорит: «Я посчитал: 5050».

«А как ты посчитал? А ты можешь доказать?» — «Ну конечно, могу. Смотрите. Я пишу две строки:

1 + 2 + 3 + ... + 100,

+ ...+ 3 + 2 + 1.

По-другому просто перенумеровал. Сумма внизу та же самая бу­дет. Пусть она равна ж. И сверху х и снизу х.

1 + 2 + 3 + ... + 100 = ж,

100 + ... + 3 + 2 + 1 = ж».

Давайте теперь сложим строчки по столбикам: 1 + 100, 2 + 99,

+ 98, ...

Слушатель: Всегда получится 101.

А.С.: Конечно. А сколько штук?

Слушатель: 100.

А.С.: 100. Значит, удвоенное значение нашего выражения равно

умножить на 100. Откуда после сокращения на 2, естественно, и получается х равно 50 умножить на 101.

2х = 10100,

отсюда

ж = 5050.

Вот Гаусс и сказал 5050. И был совершенно прав, ничего не счи­тая. Математика — это искусство лени. Математик — это тот, кто никогда не будет делать рутинных действий, он всегда придумает что-то машинное. Вот вы познали какой-то рутинный метод. Всё. Вы теперь на нём не зацикливаетесь, на нём будет зацикливать­ся компьютер. Компьютер ничего не выдумает, а математик, он свалит на компьютер всю рутину и найдет закономерность. В Бра­уншвейге Гауссу стоит памятник: бронзовый 17-угольник, на кото­ром стоит математик. А почему он стоит на 17-угольнике? Потому что Гаусс придумал, как строить правильный 17-угольник цирку­лем и линейкой. «Правильный» — значит с равными сторонами и углами.

До него эту задачу не могли решить. Можно построить пра­вильный треугольник, 4-угольник. На самом деле, если вы умеете строить многоугольник с простыми сторонами, то остальное лег­ко. То есть надо строить: правильный треугольник, 5-угольник,

угольник. А 7-угольник никто строить не умеет. Все мучились и думали: «Что ж такое? Какие-то мы глупые, наверное. Почему мы не можем построить правильный 7-угольник циркулем и ли­нейкой?»

А потом уже после Гаусса пришел Ванцель и сказал: «Это невозможно. Математически невозможно». И доказал это. Так же, как нельзя построить правильный 11- и 13-угольник. Помни­те, я рассказывал про теорему Галуа? Про то, что для уравне­ния выше 4-й степени нельзя написать общую формулу корней. Здесь та же ситуация, вы можете взять циркуль и линейку, во­оружиться ими и хоть всю жизнь строить какие-то дуги, что-то пересекать, но вы никогда не сможете построить правильный 7- угольник. Ванцель доказал это в 1836 году. Но еще значитель­но раньше девятнадцатилетний Гаусс сумел построить правиль­ный 17-угольник. Какая следующая фигура строится циркулем и линейкой из правильных многоугольников? После 17-угольника? Оказывается, 257-угольник. Это очень долго и сложно, но можно. Вернемся к треугольным числам.

Понятно теперь, как мы будем выводить общую формулу? Мы запишем всё наоборот. Мы здесь запишем

+ 2 + 3 + 4 + ... + тп = х, тп + (тп — 1) + (тп — 2) + ... + 1 = х.

Теперь сложим и получим тп экземпляров какого числа? Числа (тп + 1):

(тп + 1 )тп = 2х.

Поэтому формула вот такая:

тп(тп + 1) х = 2 ·

Теперь можно подставлять вместо тп любые натуральные числа и получать треугольные.

А вот теперь задается вопрос. Итак, число является треуголь­ным, значит оно имеет такой вид

тп(тп + 1)

2 '

С другой стороны, оно квадратное, то есть имеет вид: п².

Получается замечательное уравнение для решения в целых чи­слах

тп(тп + 1)/2 = п².

А теперь смотрите? Может быть, вы помните, что такое делители числа? Делитель числа а — это такое число, на которое а делится (без остатка).

т и {т + 1) — два соседних числа. Значит, одно из них точно четное, а значит, делится на 2. Значит т(т + 1)/2 — произведение двух целых чисел. Четное поделится на 2, а нечетное не поделится. Важно так же, что у соседних чисел не может быть общих делите­лей.

делится на 3, 16 нет. На 3 делится каждое третье число.

делится на 2 и на 4, но на 3 не делится.

Слушатель: А единица?

А.С.: Да. Единица. Но единицу мы за делитель не считаем, на нее всё делится. Еще пример. 28 делится на 7. Следующее число, которое делится на 7 — 35, а предыдущее — 21. Значит 27 на 7 не делится. То есть т и (т + 1) точно не имеют общих делителей.

В другой части нашего уравнения написан квадрат: п².

Его можно разложить на простые множители. И каждый та­кой множитель будет входить в разложение п² в четной степени. Например, если п делится на 5, то п² делится на 5².

Значит, чтобы выполнялось наше равенство, т(т + 1)/2 тоже должно делиться на 5². То есть на 25. Но т и (т + 1) не имеют общих делителей, значит одно из них делится сразу на 5².

И это будет верно для каждого простого делителя числа п. Ины­ми словами наше равенство возможно, только если каждый из т и (т + 1) является квадратом17.

Я, между прочим, в этой лекции обошел одну тонкость, которая называется основная теорема арифметики. В школе ее тоже обходят. Звучит она так: любое число однозначным образом рас­кладывается на простые множители. Школьников обманывают, говорят: «Ну, это очевидно». Действительно очевидно — если вы посидите, как я, и пораскладываете все числа от одного до 1000 на множители, то вы, конечно, убедитесь в этом. Но к абсолютному доказательству такая очевидность отношения не имеет.

Если же поверить в эту теорему, то получается следующее. Если п делится, скажем, на 11, то п² делится на II², на 121. Значит, и m(m+1) делится на II². Но 11 не может входить и в т, и в (т+1). Либо т делится на 11 в квадрате, либо (т + 1) делится на 11 в квадрате.

Эта важная истина говорит о том, что если т(т + 1)/2 = п², то либо т = а² и (т + 1)/2 = Ь² в случае если т — нечетное, а (т + 1) — четное, либо наоборот m + 1 = Ь² и т/2 = а² (если наоборот).

Отсюда уже один шаг до уравнения Пелля ж² — 2у² = 1.

В первом случае получаем:

т = а² и (m + 1)/2 = b² = т + 1 = 2Ь²,

а так как m и m + 1 соседние числа, то а² — 2Ь² = — 1.

Во втором случае получаем:

т + 1 = Ъ² и т/2 = а² = т = 2а² = Ь² — 2а² = 1.

Оба раза мы пришли к уравнению Пелля ж² — 2у² = ±1.

То есть, решая это уравнение, мы будем получать квадратно­треугольные числа.

Ребенок, который играет в эти кружочки и хочет составить од­новременно квадратное и треугольное число, вынужден решать уравнение Пелля.

Давайте посмотрим. Какие у нас были решения? 41 и 29.

41² — 2 · 29² = —1.

Следовательно

(т + 1)/2 = 29², т = 41², п² = 29²41², п = 1189.

Кто бы мог подумать, что когда-нибудь мальчик выложит такой треугольник. В нём должна быть 1681 строка. Представляете, ка­кую площадь займет этот треугольник!

Но я всё ухожу от ответа про (л/2 + I)², хотя и обещал его вам. Итак. Почему же, независимо от степени, у нас всегда получа­лось решение уравнения

ж² - 2у² = 1?

Возвожу, например, в 4-ю степень. (На самом деле, можно возвести в любую.)

(1 + л/2)⁴ = (1 + л/2)(1 + л/2)(1 + л/2)(1 + л/2),

(1 - V2)⁴ = (1 - л/2)(1 - л/2)(1 - л/2)(1 - V2).

Это классический бином Ньютона. Чтобы раскрыть все эти скоб­ки, нам нужно каждый раз из каждой скобки взять либо л/2, ли­бо 1. Представьте себе, какие из этих операций дадут целое число, а какие будут давать число с корнем из двух. Во-первых, целое по­лучается, если я отовсюду взял единичку. С другой стороны, если я из 2 скобок взял корень из двух, а из 2 единичку, тоже будет це­лое. Если я из 4 скобок возьму л/2 — тоже целое. А вот если из 3 скобок взять или из одной, то получится число с корнем. И после того, как я сложу, у меня получится выражение вида т + пу/2.

В т сидят все способы раскрытия скобки, где я беру с корнем четное число скобок, а все остальные разы единичку. А в п — все, в которых я взял с корнем нечетное количество скобок, а из осталь- ш,IX — единичку.

А теперь посмотрим на скобку с минусом. Получится то же са­мое, за одним исключением. Когда я возьму \[2 нечетное число раз, у меня получится число с минусом. Таким образом, при пе­ремножении получается знак минус ровно у тех слагаемых, кото­рые кратны л/2. Поэтому после того, как мы всё сложим, у нас получится т — пу/2

т + nV2 = (1 + у/2)(1 + л/2)(1 + л/2)(1 + л/2),