На первых страницах «Жизни на Миссисипи» Марк Твен[10] показывает читателям то, чего они так страстно желают, – статистику. Длина реки Миссисипи составляет 6920 км. Ее бассейн – 3 237 485 км2. Ежегодно она наносит 406 млн тонн ила. «Если бы эту грязь уплотнить, – рассчитывает Твен, – вышел бы массив площадью в квадратную милю (1,6 км2. – Здесь и далее прим. ред.) и вышиной в двести сорок один фут (73 м)». Это все чрезвычайно познавательно, хотя, возможно, несколько сухо для писателя, чьи книги то провозглашались самыми забавными, то запрещались как богохульные.
Но не беспокойтесь, фанаты Марка Твена! Этот человек сам сказал: «Вначале дайте ваши факты, а потом можете переиначивать их столько, сколько вам заблагорассудится». Такой виртуозный выдумщик, как Твен, мог рассказывать истории о чем угодно – даже о числах. Для примера:
Все эти сухие подробности важны потому, что дают мне возможность рассказать об одной из характернейших особенностей Миссисипи – о том, как она время от времени сокращает себе путь[11].
Как и во всех старых реках, воды Миссисипи струятся через лениво петляющие повороты. На одном участке своего течения она извивается так, что тянется на 2000 км, тогда как по прямой там всего 1086 км. И время от времени река прорезает узкие перешейки земли, укорачивая свое русло. «Не раз она сокращала свой путь на тридцать миль (48 км) одним прыжком»[12], – говорит Марк Твен. По сравнению с тем, что было за 200 лет до того, как вышла книга Твена, нижний отрезок реки между Каиром, штат Иллинойс, и Новым Орлеаном, штат Луизиана, сократился с 1955 до 1899 км, а затем до 1688 км и даже 1566 км.
Здесь снова дадим слово рассказчику:
У геологии никогда не было таких точных данных для умозаключений… А тут посмотрите сами!
За сто семьдесят шесть лет Нижняя Миссисипи укоротилась на двести сорок две мили (390 км), то есть в среднем примерно на милю и одну треть (2,15 км) в год. Отсюда всякий спокойно рассуждающий человек, если только он не слепой и не совсем идиот, сможет усмотреть, что в древнюю силурийскую эпоху – а ей в ноябре будущего года минет ровно миллион лет, – Нижняя Миссисипи имела свыше миллиона трехсот тысяч миль (2 092 147 км) в длину и висела над Мексиканским заливом наподобие удочки. Исходя из тех же данных, каждый легко поймет, что через семьсот сорок два года Нижняя Миссисипи будет иметь только одну и три четверти мили в длину (2,82 км), а улицы Каира и Нового Орлеана сольются, и будут эти два города жить да поживать, управляемые одним мэром и выбирая общий городской совет. Все-таки в науке есть что-то захватывающее. Вложишь какое-то пустяковое количество фактов, а берешь колоссальный дивиденд в виде умозаключений. Да еще с процентами[13].
Не играет ли Твен в какую-то глупую арифметическую игру? Вовсе нет! Это выдающаяся геометрическая игра. В основе математического анализа лежит фундаментальная геометрия, которая одновременно делает производные возможными и полезными, – всюду присутствующая геометрия прямой линии.
Посмотрите сами!
Мы можем нарисовать график, показывающий длину Нижней Миссисипи (от Каира до Нового Орлеана) в разные годы за время ее истории.
Да, наши данные несколько скудны, но нисходящее направление графика видно четко. В наши дни у статистиков есть излюбленный метод украшения таких схем. Этот инструмент известен экономистам, эпидемиологам и любителям поспешных обобщений как «линейная регрессия».
Во-первых, мы определяем «центральную точку» графика. Ее координатами является среднее арифметическое координат имеющихся данных.
Затем из всех прямых, проходящих через эту точку, мы выбираем ту, которая больше других совпадает с данными, то есть ближе всего проходит к уже обозначенным точкам.
Вот и все! Сейчас мы совершили переход от нескольких разрозненных точек – неподатливых и статичных – к великолепной непрерывной линии. Она включает в себя бесконечное количество точек и может быть продлена в любом направлении на такую длину, какая нам будет угодна.
Например, мы можем продлить прямую в далекое прошлое:
Подумать только! Миллион лет назад Миссисипи была просто громадной рекой, более миллиона километров длиной. Именно тогда она выглядела как гигантская удочка, висящая над Мексиканским заливом. Та, настоящая Миссисипи простиралась на расстояние в пять раз большее, чем от Земли до Луны, и при каждом обороте каменного спутника вокруг нашей планеты окатывала его, как из пожарного шланга.
Поскольку прямую можно продлить в двух направлениях, мы можем развить нашу линейную модель и вперед во времени:
Вот оно! В начале XXVIII в. Миссисипи будет иметь длину менее 1,6 км. Чтобы приспособиться к этому, североамериканский континент сомнется, как скрученная в шарик бумажка, в результате чего Каир и Новый Орлеан обретут свое долгожданное соседство вдоль реки. Между ними будет маячить расселина глубиной в 800 км, разрывающая земную кору.
Я прямо слышу, как вы жалуетесь. «Никакая серьезная математика, – скажете вы, – не может основываться на таком шатком фундаменте».
Ха! А что такое «серьезная» математика? Математика – это логическая игра, глупая шутка, состоящая из абстракций. И, как и во многих играх, прямые – это то, без чего невозможно обойтись для упрощения. Они помогают обойти медленные извилины математического анализа точно так же, как спрямившееся русло укорачивает путь реки. Именно поэтому прямые используются везде – в статистических моделях, в более многомерных преобразованиях, в экзотических геометрических поверхностях и, больше всего, в самой сущности производных.
Возьмем параболу. Если бы у вас были глаза, как у хорошо накачанного кофеином летчика-аса, едва бросив взгляд на рисунок ниже, вы заметили бы: парабола прямой не является.
Вместо этого она является – прошу прощения за использование математического жаргона – кривой. Но давайте посмотрим на нее поближе. Что вы видите теперь?
Это все еще кривая, да. Но у этой кривой меньше изгибов, эта парабола менее параболическая. А посмотрите, что будет, если мы приблизим ее еще больше:
Искривление является мягким, постепенным. Мы словно напеваем себе под нос, чтобы уснуть. Приблизьте его еще, и кривизна станет такой малозаметной, что невооруженный глаз просто откажется ее воспринимать. Фактически линия остается кривой, но для любых практических целей ее можно считать прямой.
И в бесконечно малом масштабе – меньше всех известных размеров, но все же не равном нулю – кривая достигает того, что мы ищем. Она становится – по крайней мере, в нашем воображении – по-настоящему прямой.
И какое же отношение это имеет к производной? Непосредственное.
Производная, как вы помните, – это уровень изменения в определенный момент. Например, она может сказать нам, как длина Миссисипи изменяется в отдельно взятое мгновение.
Но длина Миссисипи не изменялась с постоянной, устойчивой скоростью. Она какое-то время оставалась одной и той же, затем резко сокращалась, а потом постепенно увеличивалась. Будучи обычными людьми, мы не можем испытывать неудовлетворенность из-за того, что река течет и постоянно движется, но в качестве математиков явно выражаем недовольство. Как мы можем вынести такое беспорядочное поведение береговой линии? Как мы будем говорить о степени изменений, когда река не способна придерживаться какого-либо показателя дольше, чем одно мгновение?
Простой способ: мы можем изменить масштаб, как сделали это с параболой. В бесконечно малом масштабе изгибы графика выпрямятся, позволив нам расшифровать производную.
Таким образом, все дифференциальное исчисление основывается на одном простом наблюдении: приближение выпрямляет.
В большом масштабе Земля не является плоской. В самом деле, все наши безнадежные попытки сгладить ее, такие как проекция Меркатора, вызывают искажения, из-за которых Гренландия (имеющая площадь менее 2,59 млн км2) кажется такой же большой, как Африка (площадью почти 31 млн км2). Но в маленьких масштабах? Эй, да почему бы нет! Подойдите достаточно близко, и вы никогда не заметите кривизну. Если мне нужно проплыть по Миссисипи от Каира, штат Иллинойс, до Колумбуса, штат Кентукки, 32 км, или всего 0,08 % длины окружности земного шара, то плоская карта подходит мне просто идеально.
Твен совершил старую, как мир, ошибку, перепутав местную линейность с глобальной. И то, что он сделал в шутку, другие совершают всерьез. В своей язвительной книге «Как не ошибаться» (How Not to Be Wrong) (из которой я взял многие идеи для этой главы) Джордан Элленберг приводит замечательный пример подобной ошибки. Вышедшая в 2008 г. статья в журнале Obesity утверждала, что к 2048 г. доля взрослого населения США, имеющего лишний вес, достигнет – внимание, барабанная дробь! – 100 %.
Исследователи продлили свою линейную модель слишком далеко, доведя ее до космической пустоты, в то время как в реальности график искривляется.
Еще один случай: в 2004 г. журнал Nature опубликовал короткую заметку, где отмечалось, что у женщин время, которое они показывают в олимпийских забегах на 100 м, сокращается быстрее, чем у мужчин. Таким образом, «если подобная тенденция сохранится», пишут авторы с усмешкой, женщины сравняются с мужчинами к Олимпийским играм 2156 г., когда представители обоих полов будут пробегать стометровку за рекордные 8 секунд.
Увы, к тому времени, когда в Космическом Париже, Лунном Йорке или Народной республике Google состоятся Олимпийские игры 2156 г., я могу голову дать на отсечение: «текущая тенденция» не будет иметь места. Все это потому, что «текущие тенденции» всегда выглядят линейными, но дуга истории таковой никогда не бывает. Если экстраполировать ту же самую модель на Древнюю Грецию, мы узнаем, что воины пробегали то же расстояние за 40 секунд. Этой бодренькой прогулочной скорости недавно достигла пожилая женщина из Луизианы в возрасте 101 года. Будущее же выглядит еще более странным, поскольку скорость золотых медалистов, согласно этой модели, должна будет повышаться до тех пор, пока не достигнет значений, возможных разве что в сериале «Звездный путь».
Жизнь похожа на Миссисипи. Она течет. Она изгибается. Подойдите достаточно близко, и, возможно, вы увидите прямую, но в целом она никогда не останавливается и всегда извилиста.
Под конец я приведу еще один отрывок из «Жизни на Миссисипи» о том, как грязь оседает в дельте реки:
Отложения ила постепенно наращивают сушу, но именно постепенно: за двести лет, прошедшие с тех пор, как река вошла в историю, берега продвинулись в море меньше чем на одну треть мили (540 м).
Ученые думают, что устье находилось прежде у Батон-Руж, там, где кончаются холмы, и что двести миль (322 км) суши между этим местом и заливом были созданы рекой. Простой подсчет дает нам возможность без труда определить возраст этой части страны: ей сто двадцать тысяч лет[14].
И снова мы видим линейную модель. Марк Твен берет данные за два последних столетия, за которые суша приросла на 540 м, что составляет около 270 см в год, и, опираясь на эти цифры, приходит к выводу, что 120 000 лет назад дельта реки лежала на 322 км выше по течению.
Увы, Твен совершает ту же ошибку, что и исследователи из журнала Obesity, которую в других местах он высмеивал. Насколько нам известно, появление реки Миссисипи датируется концом последнего ледникового периода, то есть это произошло каких-то 10 000 лет назад. Линейная модель Твена простирается еще на 110 000 лет в прошлое, как река, текущая в глубины космоса. Он потребовал от производной рассказа о вечности, забыв, что она говорит лишь о мгновении.
