Я люблю изобретать математические слова. По крайней мере, мне нравится пытаться это делать. Жестокая правда состоит в том, что канселтарсис (от англ. сancel – отмена) и алгебраж (пламенный гнев из-за того, что пришлось потратить несколько часов на поиск крошечной алгебраической ошибки) так до сих пор и не прижились. Увы, есть и другие вещи, в которых достижения Готфрида Лейбница превышают мои скромные успехи, поскольку именно он ввел в математический лексикон такие слова, как:
● константа (постоянная) – величина, которая не изменяется;
● переменная – величина, которая изменяется;
● функция – правило, устанавливающее соотношение между данными на входе и на выходе;
● производная – одномоментная величина изменений[7];
● математический анализ – система исчисления, которую он разработал.
А если еще перечислить символы, которые Лейбниц, хотя и не придумал, но ввел во всеобщий обиход (например, ≅ для конгруэнтности, = для равенства и использование скобок для группировки), то становится ясно, что, делая математическую запись в XXI в., мы идем путем Лейбница, проложенным в XVII в. Но даже если это и так, все вышеперечисленные достижения – всего лишь примечания к его самому значительному вкладу из всех.
Букве d.
Это звучит ужасающе просто. Больше напоминает «Улицу Сезам», чем Гарвард Ярд[8]. «Все, что Лейбниц сделал, – это поставил d перед х, – шутил легендарный математик сэр Майкл Атья в 2017 г. – Очевидно, таким образом можно стать знаменитым».
Если уж быть справедливым, то любой ощутимый прорыв для удобства обозначений в ретроспективе кажется очевидным. Как часто вы благодарите Роберта Рекорда, изобретателя знака =, позволившего нам опускать бесконечные «равняется»? Цель математических символов – позволить нам перенести мысли на бумагу. Удачно выбранные обозначения ощущаются столь естественными, что вы забываете об искусственности всего процесса. Не стоит заблуждаться: математическая система обозначений – это технологическое достижение, расширение возможностей нашего мозга другими средствами, такое же сверхъестественное и значительное, как роботизированная конечность.
И никто в истории не изобретал символов, обладающих той же наглядной ясностью, как нововведения Готфрида Лейбница. «Подозреваю, что своими успехами в математике, – размышляет специалист в области информационных технологий Стивен Вольфрам, – Лейбниц в значительной степени обязан тому, что вложил немало сил в систему обозначений».
Родившийся в 1646 г., всего через несколько лет после Ньютона, «сооснователя» математического анализа, Лейбниц проявил себя в самых разнообразных областях. Философ, человек, ведущий светский образ жизни, и, как показывают портреты, обладающий головой, на которую возлагались гигантские парики, он мог бы включить «изобретение математического анализа» всего лишь одной строкой в свое резюме. Он был самым известным в Европе специалистом по геологии, Китаю, сложным юридическим вопросам, то есть, если говорить обобщенно, самым известным специалистом в Европе. Один королевский заказчик с тяжелым вздохом называл Лейбница «мой живой словарь». За свою жизнь ученый написал 15 000 писем более чем 1000 корреспондентов.
Лейбниц заботился о своих читателях. В отличие от Ньютона, который намеренно написал «Начала» тяжелым стилем («дабы избежать нападок дилетантов от математики»), Лейбниц ценил комфортное общение. Поэтому, разрабатывая понятия математического анализа, он озаботился тем, чтобы снабдить их ясными и подходящими символами.
Такими символами, как d.
В математике Δ (греческая буква «дельта») обозначает изменение. Возьмем достойный заголовков газет пример, который имел место этим утром и о котором шесть месяцев назад вы не могли услышать: я вышел на пробежку.
Если принять за х пройденное мной расстояние, то Δх – это изменение расстояния за определенный промежуток времени. Скажем, 26 км (поскольку это моя книга, я могу и солгать, если мне этого захочется).
Теперь, если t – это время, то Δt – время, затраченное на пробежку. Пусть это будет два часа (потому что это упрощает расчеты, а не для того, чтобы я показался скоростным монстром).
Какой была моя скорость? Ну, для того чтобы рассчитать величину изменений, мы делим. Δх разделить на Δt, это дает 13 км/ч.
А теперь что насчет моей скорости ровно в час дня? Производная, как вы, возможно, помните, – это мгновенная величина изменения. Она не анализирует неторопливый интервал времени – два часа. Она показывает единственный момент, стоп-кадр.
Но тут возникает проблема. За этот бесконечно малый промежуток времени никакого времени не прошло и я не покрыл никакого расстояния. Δх и Δt равны нулю. А 0/0 дает не слишком иллюстративный ответ.
Возьмем видоизмененные обозначения Лейбница. Вместо Δх и Δt рассмотрим dx и dt – бесконечно малые приращения положения и времени.
Исходя из этого, производная у Лейбница будет обозначаться dx/dt.
Здесь есть одна уловка: dx и dt не являются реальными числами, и по-настоящему вы не можете делить их. Запись не является буквальной, она, скорее, напоминает аналогию или магический пасс рукой. Но именно это делает символизм таким мощным. Гарвардский математик Барри Мазур сравнивает производную Лейбница с пиктографическим алфавитом китайского или японского: не просто произвольно выбранный знак, но крошечная выразительная иллюстрация сущности понятия. Мазур относит ее к своим «любимым частям математической терминологии» именно по этой причине: она «визуально объясняет саму себя».
Я должен признаться. Студентом я предпочитал обозначения, на которые повлияли работы Ньютона (с которыми мы имели дело в главе III). Для меня все это дело с dx/dt выглядело громоздким, сложным и, что хуже всего, словно содержащим в себе мину-ловушку: дробь, которая в действительности не является дробью.
Но со временем я сумел оценить тайную мощь d Лейбница – ее огромную гибкость. Тогда как производные предполагают единственную переменную на входе (часто – это время), символика Лейбница простирается гораздо шире. Она позволяет нам выстроить огромное количество классов переменных в сложном «балетном» порядке.
Чтобы увидеть это, давайте зайдем в класс, где идет урок экономики. Или, еще лучше, в конференц-зал компании, производящей игрушки.
Мы с вами делаем плюшевых мишек, продаем определенное количество (q) по определенной цене (p). Что случится, если мы незначительно повысим цену? В целом мы продадим меньше мишек, но точный ответ дает производная dq/dp. Она показывает текущий показатель изменения количества с учетом цены.
Тем не менее q зависит не только от p. Возможно, мы занимаемся рекламой и вкладываем а долларов в телевизионные ролики. В этом случае dq/da выражает незначительное влияние, которое каждый дополнительный доллар, вложенный в рекламу, оказывает на продажи.
И опять же, если мы даем больше рекламы, возможно, нам понадобится поднять цену. Это означает еще раз рассмотреть dp/da: как цена, которую мы назначаем, зависит от рекламного бюджета.
Мы даже можем перевернуть наши производные с ног на голову. Что насчет dp/dq? Это соотношение укажет нам на то, как цена отреагирует на бесконечно малое изменение количества.
Может ли обозначение производной со штрихом провернуть такие фокусы со столь разнообразными производными? Да бросьте! Только проворная d Лейбница может справиться с задачей с подобной грациозностью и точностью. И это делает язык Лейбница идеальным для обсуждения самого полезного применения математического анализа – искусства оптимизации.
Не знаю, как насчет вас, но я пришел в бизнес по производству плюшевых медведей не для того, чтобы завести друзей. Я в нем даже не для того, чтобы делать плюшевых хищников, которые портят здоровье детей и ослабляют естественный страх перед медведями. Я здесь, чтобы делать деньги, и вследствие этого на выходе для меня имеет значение только одна переменная: выгода.
Чтобы максимально увеличить выгоду, мы не должны ставить слишком низкую цену. Скажем, изготовление плюшевого мишки стоит $5, в таком случае продавать его за те же $5 – это не бизнес, а благотворительность. $5,01 немногим лучше: конечно, мы продадим множество медведей по такой низкой цене, но, даже если их будет миллион, наша прибыль составит всего $10 000.
С другой стороны, слишком задирать цену мы тоже не хотим. Если мы будем просить $5000 за одного медведя, то, возможно, какой-нибудь наивный миллиардер и купит одного. А может быть, и нет. В любом случае мы продадим слишком мало, чтобы получить какую-либо существенную выгоду.
Что нам нужно, так это производная. Если мы будем поднимать цену с бесконечно малым приращением, как это скажется на выгоде?
Производная положительна? Это означает, что подъем цены увеличит выгоду. Иными словами, мы назначаем слишком низкую цену.
Отрицательная производная? Это означает, что снижение цены принесет выгоду, поскольку привлечет больше клиентов. Иными словами, мы назначаем слишком высокую цену.
Мы хотим найти особый момент – цену, при которой производная точно равна нулю.
Максимум – это момент перехода, когда производная из положительной превращается в отрицательную. Между тем минимум – это полная противоположность: момент, когда производная из отрицательной превращается в положительную. Логика на самом деле очень простая: если ты в минимуме, просто двигайся вперед – и подъем начнется. Это лучшее, что можно сделать.
Мы определили максимум не по его общим свойствам («это самая высокая из всех точек графика»), но по частным характеристикам. Посмотрите на левую часть графика, она поднимается вверх. Посмотрите на правую – она снижается. Посмотрите прямо на обозначенную на нем точку: здесь производная равна нулю. Это определение максимума исходя из анализа бесконечно малых. Это очень остроумный трюк, похожий на то, как определить вершину горы с помощью анализа образца почвы.
Первой публикацией в истории математического анализа была статья Лейбница, вышедшая в 1684 г., – «Новый метод максимумов и минимумов» (Nova Methodus pro Maximis et Minimis). «В мире не происходит ничего, – однажды сказал математик Леонард Эйлер, – в чем не был бы виден смысл какого-либо максимума или минимума»[9].
Когда Лейбницу было слегка за двадцать, он решил присоединиться к эксклюзивному сообществу алхимиков. (Да, это был XVII в., все занимались этим.) Чтобы доказать свою алхимическую состоятельность, Лейбниц составил список профессиональных жаргонных слов, из которых соорудил длинное, выразительное и достаточно бессмысленное письмо с просьбой о приеме. Это сработало: пораженные алхимики выбрали его своим секретарем. Но – ну еще бы! – Лейбниц разглядел правду через обман. Он ушел через несколько месяцев, позднее объявив группу «братством золотодобытчиков».
Для меня в этом весь Лейбниц. Во-первых, вы овладеваете языком. Затем появляется истина, какой бы она ни была. Менее чем через десять лет после овладения невнятной галиматьей алхимиков этот резкий молодой человек разработал математический словарь, который миллионы людей используют по сей день.
Смог ли он когда-либо превратить свинец в золото? Нет. Он сделал лучше: превратил строчную букву d в неподвластный времени язык мгновения.
