Я представляю производные функций х² и х³ (в главе X) и правило произведения (в главе XV) через рассуждения о бесконечно малых. Увы, мой новоприобретенный радикализм снова поднимает голову: если когда-то я считал этот подход противозаконным и даже аморальным, теперь полагаю, что философская выдумка, позволяющая представить dx как «бесконечно малое приращение х», – не самая высокая цена за огромную педагогическую выгоду от привнесения в процесс геометрии.

Наглядная иллюстрация: когда я впервые преподавал математический анализ, я был потрясен, обнаружив, что объем сферы (4/3 πr³), дифференцированный по радиусу, дает ее площадь (4 πr²). Каким образом получилось такое невероятное совпадение? В конце концов я увидел логику: дополнительное приращение радиуса добавляет к объему крошечный внешний слой, фактически равный площади поверхности. Тот факт, который я раньше воспринимал как чисто алгебраический, теперь ощущается глубоко связанным с геометрией благодаря решающему фактору – принять dx и однотипные выражения как (временно) значимые величины.