Мир «Флатландии» – романа о многих измерениях[56] – понятен из его названия. Место действия этого произведения, написанного в 1884 г., является абсолютно плоским: оно более плоское, чем блин, чем лист бумаги, чем женские характеры в фильмах Майкла Бэя. Это мир двух измерений, где имеются длина и ширина, но нет высоты. Тем не менее его обитатели – треугольники, квадраты, пятиугольники и так далее – не ощущают отсутствие одного измерения. На самом деле они, как канзасцы в Канзасе и техасцы в Техасе, не могут представить существование вне своего мира.

Пока в один прекрасный день не появляется очень странный визитер.

Вначале сфера выглядит всего лишь как точка, появившаяся из ниоткуда. Затем, по мере ее прохождения через Флатландию, рассказчик (по имени Квадрат) видит окружность, постепенно растущую в размерах.

В самом деле необычайно! Представьте себе, что бы вы чувствовали, если бы какой-то парень прошел через дверь и в этот момент увеличился в росте от 1,2 м до 1,8 м. (Возможно, вы бы ощутили себя, как я каждый раз, когда веду уроки у девятиклассников.) Квадрат задался вопросом, что же за чертовщина здесь происходит, но получил только зашифрованные ответы наподобие этого:

Вы называете меня Окружностью, но в действительности я не Окружность, а бесчисленное множество Окружностей различных размеров, от Точки до Окружности, достигающей тринадцати дюймов в диаметре, как бы сложенных вместе. Пересекаясь с вашей Плоскостью, я образую в сечении Фигуру, которую вы с полным основанием называете Окружностью. Ибо даже Сфера (так называют меня обитатели страны, в которой я живу), если у нее возникает необходимость предстать перед обитателями Флатландии, вынуждена принимать форму Окружности[57].

С помощью этих странных разглагольствований сфера находит способ рассказать о своей природе. Сфера – это стопка бесконечного множества дисков, отличающихся радиусом и чрезвычайно тонких. Понять сферу означает совместить – суммировать – все эти маленькие круги в единое целое.

Сфера – это интеграл окружностей.

Если вы посещали курс математического анализа на первом году обучения, то ранее уже встречались с этим понятием. Это завершающая тема, где лихо закручивается идея трехмерности.

(Предупреждение: если вы чувствительны к укачиванию и плохим каламбурам, обратите внимание на слово «закручивается».)

Для начала возьмите плоскую двухмерную область. Затем раскрутите ее вокруг оси, как жесткий флажок вокруг палки. Пространство, через которое она проходит, оформится в виде трехмерного объекта, называющегося «тело вращения».

Это вращение, как на гончарном круге, превращает двухмерные области в трехмерные объекты, Флатландию – в Трехмерие. Если вы хотите узнать объем созданного нами тела, подход будет очень простым: проанализируйте его как стопку бесконечного количества плоских дисков и объедините их.

Чтобы высчитать объем сферического «злоумышленника», вначале мы должны выбрать подходящую двухмерную область. Какая форма при вращении вокруг своей оси, как цыпленок на вертеле, создаст сферу с диаметром 13 см?

Подключите свой внутренний 3D-принтер, и, думаю, вы обнаружите, что этот фокус проделывает полукруг.

Забавный факт про полуокружности: они полны радиусов. Забавный факт про радиусы: каждый из них является гипотенузой прямоугольного треугольника. Это означает, что координаты каждой точки полуокружности подчиняются теореме Пифагора.

После небольших алгебраических манипуляций, которые я, как и любой рачительный хозяин, замел под ковер, чтобы спрятать из виду, мы получаем соответствующий интеграл. Это будет бесконечное количество бесконечно тонких дисков. Они начинаются с нулевого радиуса, возрастают до радиуса 6,5, а затем снова уменьшаются до нуля. Совсем как сфера, проходящая через Флатландию.

Я снова скрою от вас алгебраические детали и дам вам непосредственно конечный результат. Объем таинственной сферы равен или приблизительно 1150 кубических единиц.

В двух идущих друг за другом главах мы рассчитывали объем сферы. Возможно, вы заметили общие моменты. Оба метода начинают с того, что задача делится на две части, оба предполагают бесконечное рассечение, в обоих есть забавные картинки. И тем не менее они оставляют совершенно разное послевкусие, не так ли? Я лично предпочитаю доказательство Архимеда. Оно быстрое. Оно здравое. Детали в нем хорошо подогнаны друг к другу. Это работа мастера, это искусность и даже искусство.

Что же касается подхода с «телом вращения» – я не могу сказать, что он тешит душу. После многообещающего эстетического начала (вращение! бесконечные слои!) он заканчивается несколькими строчками грубой алгебры. Это словно прогулка пешком, которая каким-то образом ведет с живописной вершины холма в терминал аэропорта. Элегантная загадка, таким образом, сводится к упражнению.

И в этом-то все дело!

Мы все не можем быть Архимедами. На самом деле статистика доказывает, что никто из нас им не является. Если мы будем полагаться на космические озарения, чтобы решить стоящие перед нами задачи, нам придется ждать тысячелетия. Чтобы что-нибудь сделать, нам нужно превратить мистику в механику, текучее в статичное, невыразимое в нечто, что можно описать.

Тела вращения полностью выражают эту мысль. Любой из нас может спокойно пройти по пути, который раньше мог проделать только Архимед. В этом вся суть математического анализа: дать системный подход к решению задач, пугающих своей сложностью. Сделать каждого из нас Архимедом на автопилоте. Огромное семейство фигур – от кубов и конусов до пирамид и фигурок Микки-Мауса – можно рассечь и изучить с помощью тел вращения.

Как бы все это могло выглядеть для нашего героя из Флатландии, неустрашимого, но несколько обескураженного Квадрата? Вспомните, в начале истории он не мог видеть третье измерение. И даже не мог представить его. Чтобы понять его рассказ о том, что представляет собой жизнь во Флатландии,

положите на какой-нибудь стол в своем Пространстве монету достоинством в один пенни и, наклонившись над столом, посмотрите на него сверху. Монета покажется вам кругом.

Приняв затем вертикальное положение, начните медленно приседать таким образом, чтобы луч вашего зрения постепенно приближался к поверхности стола (а вы сами все более и более приближались бы к состоянию обитателей Флатландии). Вы увидите, что монета перестанет казаться вам кругом и примет овальную форму. Когда же, наконец, луч вашего зрения совместится с поверхностью стола (а вы как бы станете флатландцем), то монета вообще перестанет быть овалом и покажется вам, как вы сможете убедиться, отрезком прямой.

Как трехмерные создания мы можем видеть в двух измерениях, наше поле зрения словно холст художника или экран кинотеатра. По тому же самому принципу двумерные обитатели Флатландии могут видеть в 1D. Их поле зрения – это линия горизонта, выше и ниже которой ничего нет.

Так как же тогда вы объясните третье измерение этому бедолаге? В романе все попытки Сферы кончаются ничем.

Я: Не могли бы вы, ваша милость, указать или объяснить мне, в каком направлении простирается неизвестное мне третье измерение?

Незнакомец: Я прибыл к вам из третьего измерения. Оно простирается вверх и вниз.

Я: Ваша светлость, по-видимому, хотела сказать к северу и к югу?

Незнакомец: Ничего подобного! Говоря о третьем измерении, я имел в виду направление, в котором вы не можете взглянуть, потому что у вас нет глаз сбоку.

Я: Прошу прощения, ваша светлость, но достаточно даже беглого взгляда, чтобы ваша милость могла убедиться: там, где сходятся две мои стороны, у меня расположено великолепное око.

Незнакомец: Не спорю, но для того, чтобы вы могли заглянуть в Пространство, вам необходимо иметь глаз, расположенный не на периметре, а на боку: на том месте, которое вы скорее всего назвали бы своей внутренностью. Мы в Трехмерии называем ее нашей стороной.

Я: Иметь глаз в своей внутренности! Глаз в собственном желудке! Ваша милость шутит[58].

Когда язык и интуиция подводят, остается только одно спасительное средство. Нет-нет, не горсти галлюциногенов. Я имею в виду математический анализ. Даже если Квадрат не может увидеть форму неожиданного визитера, он тем не менее может рассчитать объем незнакомца. Расчет интеграла не требует всеобъемлющей визуализации или непосредственного опыта. Нужна просто определенная квалификация.

Если есть сомнения, математика поможет.

В колледже друг рассказал мне о «Флатландии» как о книге, с помощью которой «ты ближе всего подойдешь к тому, чтобы действительно увидеть четвертое измерение». Этот переломный момент наступает в конце романа, когда Квадрат просит Сферу показать ему не только три измерения, но и четыре:

Подобно тому как вы превосходите все Фигуры, населяющие Флатландию, объединяя множество Окружностей в единое целое, должно существовать Нечто, объединяющее в себе множество Сфер в одну высшую сущность, превосходящую по своему совершенству все Тела, обитающие в Трехмерии. Мы, находясь сейчас в Пространстве, взираем на Флатландию сверху и свободно заглядываем внутрь всех предметов. Точно так же должна существовать некая более возвышенная, более чистая область…

Но Сфера отказалась принимать свое собственное лекарство.

– Что за чепуха! – закричала она. – Оставим глупые шутки!

Я должен признать, что симпатизирую Сфере. Если существует четвертое пространственное измерение, то наша трехмерная реальность составит бесконечно тонкий его ломтик. Визитер из четырехмерного мира появится из ниоткуда посередине комнаты и будет меняться в размерах, потому что мы сможем видеть только одно его поперечное сечение за раз – не само существо, а его бесконечно малый слой.

Я могу все это описать словами. Но не могу вообразить и изобразить.

Тем не менее иногда там, где не может помочь размышление, на помощь приходит математический анализ. Чтобы вычислить объем четырехмерной сферы, мне просто надо собрать бесконечную коллекцию трехмерных.

На это мне потребовалась целая страница формул и несколько твитов, которые можно назвать помощью от моих добрых интернет-приятелей. Но я сделал это.

Мои действия похожи на рассказ математика Стивена Строгаца о его собственных школьных днях:

Я был трудягой. Стиль у меня был жесткий. Я искал метод, чтобы разгрызть задачу. Если это было отвратительно, трудоемко или требовало многих часов алгебраических вычислений, я не возражал, потому что в результате честного изнурительного труда гарантированно появлялся правильный ответ. На самом деле я любил именно эту сторону математики. В ней была справедливость. Если ты правильно начал, усердно трудишься и все делаешь правильно, то может быть тяжело и утомительно, но логика убеждает тебя, что в конце ты победишь. Решение будет тебе наградой.

Для меня огромным наслаждением было видеть, как рассеивается алгебраический дым.

Именно это нам дарит математический анализ. Он подтверждает нашу веру в космическую справедливость, в то, что тяжкий труд будет вознагражден, а долгие часы утомительной работы в конце концов принесут победу. В этом случае, когда дым рассеется и вы увидите объем четырехмерной гиперсферы, это будет

Пожалуйста, обратите внимание, что единицами измерения являются метры в четвертой степени. Что это означает, я не знаю, но, зуб даю, Архимед не знал тоже. И это утешает меня.