Вы слышали о римлянах: упрямые, несговорчивые, начисто лишенные чувства юмора, да вдобавок это «наши-мраморные-обломки-будут-лежать-здесь-еще-тысячу-лет». В 212 г. до н. э. их армия подошла к побережью Сицилии, чтобы захватить непокорный маленький город Сиракузы. Историк Полибий отмечает, что они прибыли вооруженные до зубов, на 60 кораблях, «наполненных лучниками, пращниками и копьеметателями», захватив с собой четыре огромные осадные лестницы.

Но Сиракузы знали старую поговорку: «Попав в руки римлян, поступай, как римлянин». То есть сражайся, как с чертями в аду. Из маленьких и больших катапульт жители Сиракуз обрушили на римлян «град камней» и дождь железных дротиков. Затем из стен города появились огромные механические когти, хватавшие римские корабли и «бросавшие их на острые скалы или на дно моря». Историк Плутарх рассказывает: «Бо́льшая часть Архимедовых машин была скрыта за стенами, и римлянам казалось, что они борются с богами – столько бед обрушивалось на них неведомо откуда»[54].

Но дело обстояло намного хуже. Они сражались с Архимедом.

В обойме величайших математиков всех времен и народов Архимед единодушно признается ученым «первого ряда». Галилей называл его «суперчеловеком». Лейбниц твердил, что этот грек изменил само представление о гениальности, выставив более поздних мыслителей скучными и обыденными по сравнению с ним. «В голове Архимеда было больше воображения, – писал Вольтер, – чем у Гомера». Впрочем, Архимед, разумеется, никогда не получал Филдсовскую медаль – самую почетную в математике, но в его защиту можно сказать, что лицо мыслителя изображено на этой медали.

Хотите получить представление о его уме? Возьмите куб и разрежьте его на три равные части.

Три получившиеся фигуры – это идентичные пирамиды, каждая из которых имеет квадратное основание и острую вершину над одним из углов основания. Таким образом, каждая из них должна занимать 1/3 объема первоначального куба.

Пока все идет замечательно, но мы только начали.

Возьмите одну из этих пирамид и нарежьте ее на бесконечное количество чрезвычайно тонких ломтиков. Если я сделаю это правильно – а, принимая во внимание мою неуклюжесть в обращении с обычными кухонными ножами, вы, возможно, захотите лишний раз проверить мою работу с этим бесконечным концептуальным ножом, – каждое поперечное сечение должно быть идеальным квадратом.

Самый нижний квадрат представляет собой основание куба. Самый верхний выходит таким крошечным, что является одной-единственной точкой. Между этими двумя крайними случаями есть множество других квадратов промежуточного размера.

Теперь перейдем к дальнейшим действиям. Представьте себе эти квадраты как стопку бесконечного количества карт, каждая из которых толщиной с волос. Если перекладывать их с места на место, то объем не изменится, так что поехали! В данный момент у всех наших квадратов есть общий угол. Но почему бы не переместить их так, чтобы у них был общий центр? Это превратит нашу асимметричную пирамиду странного вида в классическую, в египетском стиле.

Самое замечательное – это то, что объем не изменяется. Он так и остается 1/3 от объема куба.

Теперь мы подошли к настолько гениальному и удобному шагу, что, когда математик Бонавентура Кавальери переоткрыл его в начале XIX в., его назвали «принципом Кавальери». На самом деле этот принцип придумал Антифон (V в. до н. э.), развил Евдокс (IV в. до н. э. – в действительности он впервые привел аргумент, о котором я говорю сейчас) и усовершенствовал Архимед (III в. до н. э. – вскоре мы доберемся до его уникального дополнения). Я собираюсь назвать его в честь охватившей ряды римлян паники «принципом бесчисленных бед».

Идея проста. Если вы имеете дело с трехмерными фигурами, то объем не меняется, когда вы заменяете одни поперечные сечения другими той же площади. Например, мы можем поменять наши квадраты на прямоугольники. Объем полученной теперь продолговатой пирамиды по-прежнему составляет 1/3 призмы, ранее известной как куб.

Или – эндшпиль великого гроссмейстера – мы можем превратить наши квадраты в круги. Неважно, что в действительности это делается с помощью карандаша и бумаги, называется квадратурой круга и по-настоящему невозможно. На практике – это для гимнастов, мы же с вами скользим по облакам чистой геометрии. Поэтому просто представьте, как каждый квадрат медленно превращается в круг, а площадь его не меняется.

Наша пирамида становится конусом. Наш куб становится цилиндром. И, таким образом, конус составляет 1/3 цилиндра, который содержит его.

Довольно круто, правда? Во II в. Плутарх писал:

…во всей геометрии не найти более трудных и сложных задач, объясненных посредством более простых и прозрачных основных положений… Собственными силами вряд ли кто найдет предлагаемое Архимедом доказательство, но стоит углубиться в него – и появляется уверенность, что ты и сам мог бы его открыть: таким легким и быстрым путем ведет к цели Архимед.

Тем не менее эти экскурсы в геометрию не описывают «военного гения». Читатель должен поинтересоваться: откуда взялись военные машины, сразившие римлян?

«Сам Архимед считал сооружение машин занятием, не заслуживающим ни трудов, ни внимания, – отмечал Плутарх, – большинство их появилось на свет как бы попутно, в виде забав геометрии». Как бы странно это ни звучало, такое часто происходит в истории математики. Бесцельная игра фантазии каким-то образом ведет к технологическому прорыву.

Хотя римляне не особенно оценили чисто математические достижения, они явно отдали должное смертельным когтям, крушившим их суда. Распознав в себе грабителей из древнего приквела к «Один дома», генерал Марцелл и его армия отступили.

В один прекрасный день несколько месяцев спустя Архимед рисовал фигуры на песке. Мне нравится представлять, что он вспоминал свое любимое доказательство – теорему, которую он велел друзьям и родным написать на его могиле.

Она начинается со сферы.

Мы заключаем ее в цилиндр, идеально подогнанный, как упаковка – к теннисному мячу.

Вопрос Архимеда заключался в следующем: какую часть цилиндра заполняет сфера?

(В действительности вопрос был более элементарным: насколько велика сфера? Но любое описание размера требует ссылки на что-то, что нам уже известно: к примеру, мой рост – это приблизительно 5 2/3[55] тех давно существующих единиц, которые называются футами. И тут-то в дело как раз и вступает цилиндр.)

Для начала разрежем всю фигуру пополам. Вместо теннисного мяча в контейнере мы получим полусферу в хоккейной шайбе.

Теперь, вместо того чтобы беспокоиться об объеме внутри полусферы, мы можем сосредоточиться на объеме вне ее. В духе «бесчисленных бед» мы можем считать эту область пачкой обручей или шайб, каждая из которых является окружностью с круглой дырой в середине.

Внизу этой стопки находится чрезвычайно тонкая шайба. Ее дыра занимает весь круг, оставляя только напоминающее струну кольцо. Наверху тем временем пребывает очень толстая шайба. Это почти целый круг с отверстием размером с булавочный прокол. Между ними находится целое семейство шайб.

Каковы площади этих фигур? После интерлюдии с хитрой алгеброй мы приходим к выводу, что площадь каждой равна πh², где h – расстояние от поверхности.

Это означает, что, применяя Принцип бесчисленных бед, каждую из них можно заменить кругом радиусом h.

Видите! У нас получился не странный кратер в форме полусферы, а простой конус, перевернутый острием вниз.

Как мы уже установили, конус заполняет 1/3 цилиндра. Таким образом, пустое пространство – то есть то, что было полусферой – заполняет 2/3.

Вывод: сфера заполняет 2/3 цилиндра.

Над этими чертежами на сицилийском песке Архимед мечтал об интегралах за тысячелетие до их изобретения. Площади и объемы, бесконечное количество ломтиков, перестановки, которые решают проблему непрерывности и кривизны, – все это химические ингредиенты, «первичный бульон», из которого позднее развились интегралы. Почему же тогда миру так долго пришлось ждать рождения математического анализа?

В тот день римляне взяли город. В течение нескольких часов Сиракузы были сожжены, а солдаты впали в состояние неистовства, грабя и убивая. «Множество жестокостей было совершено сгоряча и из жажды наживы», – писал историк Ливий. Тем не менее римский военачальник Марцелл настаивал на том, чтобы сохранить жизнь великому геометру, «находя в том, чтобы спасти Архимеда, столько же славы, сколько и в разрушении Сиракуз» (по словам другого историка).

Архимед даже не заметил падения города. Что значит какой-то грабеж и разрушения по сравнению с всепоглощающей красотой фигуры на песке?

Историки расходятся во мнении по поводу того, что сказал Архимед, когда к нему приблизился римский солдат. Возможно, он взмолился: «Пожалуйста, не стирайте мои круги!» Может быть, он разбушевался: «Не трогай моих чертежей, парень!» Весьма вероятно, что он прикрыл рисунки ладонями, как будто идеи значили намного больше, чем его собственная жизнь: «Лучше ударьте меня по голове, только не стирайте линии!» В любом случае все источники сходятся в одном: солдат убил Архимеда. Кровь заполнила прочерченные в песке дорожки, оставленные его пальцами. Марцелл настоял на подобающем погребении и осыпал родственников ученого подарками и милостями. Но виновник «бесчисленных бед» был мертв.

Сегодня величайшим наследием Архимеда считаются не катапульты и когти, а геометрия. Его понятные аргументы, его восприятие бесконечности, то, как близко он подошел к математическому анализу. Мог ли один легкий дополнительный толчок привести к нему? Мог ли матанализ возникнуть на Земле на тысячу лет раньше, чем это произошло в реальности?

Обдумайте высказывание математика Альфреда Норта Уайтхеда:

Гибель Архимеда от рук римского солдата – символ перемен первой величины в масштабе всего мира. Греки с их любовью к абстрактной науке уступили лидерство в европейском мире практичным римлянам.

В практичности в целом ничего плохого нет. Или все-таки есть. Премьер-министр Великобритании XIX в. Бенджамин Дизраэли определял практичного человека как «практикующего ошибки своих предков». Согласно Уайтхеду, именно это и делали римляне. Нигде в победившей стране вы не смогли бы найти искру воображения, которая была у побежденных.

Все их усовершенствования состояли в мелких технических деталях. Они не были мечтателями в достаточной степени… Ни один римлянин не поплатился жизнью за то, что был поглощен созерцанием математического чертежа.

Столетия спустя, когда жители Сиракуз забыли о наследии Архимеда, писатель Цицерон предпринял попытки отыскать его могилу. Он нашел ее, «скрытую кустами ежевики и терновника»: «маленькую колонну, едва видневшуюся над зарослями». Цицерон узнал могилу по тому, что было вырезано на ней, как и просил Архимед: сфера и цилиндр. Могила давно исчезла, но она запечатлелась в нашем коллективном воображении, которое может пережить пыль, кровь и все каменные строения, созданные руками римлян.