Где-то в далеком будущем, когда проводить отпуск с семьей на Марсе стало обычным делом, а то, что кто-то носит зеленые волосы, припорошенные жемчужной пылью, никого не удивляло, жила-была счастливая в браке жена по имени Оона. Ее муж Джик был «самым прекрасным мужчиной во всей Солнечной системе», хотя главным доказательством этого заявления было то, что «он всегда помнил о годовщинах», так что, возможно, конкурентов у него было не очень много. Далее мы узнаем, как Джик прилагал усилия для того, чтобы «поделиться своими интересами», и регулярно давал Ооне уроки математики.
В самые мирные моменты их медового месяца (а они отправились в недорогое стратосферное путешествие вокруг света) он пытался научить ее математическому анализу.
Он объяснял все, он объяснял все про все с самого начала до конца. Он объяснял так много, что она путалась, слушая его.
Как вымышленный персонаж, придуманный в 1948 г., Оона понятия не имела о том, что значит «самоутверждаться за счет женщины». Вместо этого она с радостью принимала уроки Джика и считала себя счастливицей. «Вот здорово! – думала она. – Множество мужей никогда не говорят со своими женами, только жалуются на плохую еду».
Однажды Джик пришел домой с великолепным подарком: «самым лучшим роботизированным мозгом, который когда-либо придумывали». Устройство называлось «визи-мат». Джик объяснил:
Ты пишешь на листочке любое математическое выражение, скармливаешь его машине… и получаешь перевод на язык визуальных представлений того выражения, которое тебя интересует.
В отличие от других подарков Джика визи-мат действительно помогает Ооне. И для высокотехнологичной машины вымышленного будущего он действует достаточно простым способом, показывая, как умножение связано с прямоугольниками.
Например, то, что 5 × 4 = 20, лучше всего можно понять, представив прямоугольник 5 × 4.
Это же работает и для умножения дробных чисел, скажем 6 × 2,5. Вы получаете 12 целых квадратов и шесть половинок, а всего – 15.
Так можно даже объяснить, как «возведение в квадрат» получило свое название, поскольку удвоение количества само по себе создает квадрат.
«Учить математике без иллюстраций – это преступление, – говорил Бенуа Мандельброт[22], – смехотворное занятие». Но каким-то образом такие учителя, как я, часто не могут следовать этому правилу. В том XXI в., где мы обитаем и где есть такие инструменты, как Wolfram|Alpha[23] и Desmos[24], которые могли бы посрамить визи-мат, мы в своей профессиональной деятельности остаемся теми же Джиками.
Возьмем одно из первых правил курса математического анализа: производной функции х2 является 2х. Должен отметить, что, объясняя ученикам этот факт, я всегда шел по алгебраическому пути:
Почему я продолжаю оставаться Джиком? Неужели стандартизированное обучение неумолимо ведет к механическому запоминанию? Или это связано с тем, что мы, учителя, не знаем хороших наглядных материалов, так как сами являемся продуктами системы? Или это затянувшееся влияние Бурбаки, радикальной группы математиков ХХ в., чей боевой клич «Смерть треугольникам!» предупреждал, что визуальное восприятие вводит в заблуждение, а абстрактный символизм – единственная твердая почва под ногами?
Какой бы ни была причина, визи-мат предлагает альтернативу. Начнем с возведения в квадрат, умножения х на х.
Производная, как вы, возможно, помните, – мгновенный уровень изменения. Следовательно, необходимо задать вопрос: «Если мы немного изменим х, на сколько изменится х2?»
Так давайте пойдем вперед и немного увеличим х, назвав это dx.
Рост х2 происходит в трех областях: двух длинных, тонких прямоугольниках (каждый х увеличивается на dx) и в крошечном квадратике в углу (dx на dx).
Здесь мы остановимся, чтобы порассуждать о природе миниатюрности. Примерно так: вот это маленькое, а это просто крошечное. Скажем х = 1, а dx = 1/100. Это достаточно мало, верно? Конечно, но (dx)2 в сотню раз меньше: всего лишь 1/10 000. Это такое крошечное значение, что предыдущее по сравнению с ним выглядит огромным.
А если dx еще меньше, например 1/1 000 000? Тогда (dx)2 в миллион раз меньше и равняется только 1/1 000 000 000 000. Это новый уровень миниатюрности.
Что же представляет собой dx в действительности? Это стремящаяся к нулю величина меньше любого известного числа. (Джон Валлис, изобретатель значка бесконечности, записывал бесконечно малые величины как 1/∞, хотя ваш учитель может рассердиться из-за такого обозначения.) Так что (dx)2 не просто в сотню или миллион раз меньше, оно бесконечно меньше, это бесконечно малое от бесконечно малого. Оно с таким же успехом могло бы быть нулем.
Так на много ли вырастет х2? Если игнорировать пренебрежимо малое (dx)2, он вырастет на два прямоугольника – один по ширине, другой по высоте.
Следовательно, производная равна 2х.
Вернемся в гостиную будущего. Оона находит демонстрацию захватывающей.
Так вот что они имели в виду, когда говорили о возведении числа в квадрат! Не просто умножение его на себя самого или что там Джик говорил, но превращение числа в самый настоящий квадрат… Тогда математика – это не просто набор цифр, букв и глупостей. Она что-то значит, а математическое выражение, как предложение, о чем-то говорит.
Возбужденная Оона погрузилась в следующий демонстрационный пример визи-мата. Как может с зевком или всхлипом подтвердить любой студент-математик, производная х3 – это 3х2. У Ооны – и у меня, и у моих студентов, и, черт побери, у любого человека, который когда-либо подвергался алгебраической пытке вроде той, которую устроил ведомый благими намерениями Джик, – возникает один вопрос: «Почему?»
Визи-мат знает. Если х2 дает нам квадрат, то х3 – куб.
Опять же, позволим х вырасти на небольшую величину dx и понаблюдаем: каждая сторона куба тоже увеличивается.
Это создает множество новых областей. Во-первых, есть три плоских квадрата, их глубина бесконечно мала.
Далее, есть три узких стержня, их глубина и ширина бесконечно малы.
А в углу находится один очень маленький куб, его высота, ширина и глубина бесконечно малы.
Эти последние четыре объекта – узкие стержни и претендующий на оригинальность куб – меньше самого мелкого, крошечнее крошечного. Они представляют собой практически ничто по сравнению с напоминающими листы бумаги квадратными областями. Таким образом, производная получается следующим образом: когда вы увеличиваете сторону куба, куб вырастает на три плоских квадрата, по одному на измерение.
Увидев, как визи-мат разворачивает перед ней все это, Оона внимает ему с удовольствием.
Теперь, когда она знала, что наконец может понимать все эти математические штуки, в ее крови заструилось что-то вроде пузырьков радости.
Больше не надо видеть, как Джик разочарован и задет, больше не надо слушать, как он говорит, говорит, говорит, пока она пытается понять, что, во имя Системы, все это значит. Отныне со всеми этими проблемами она может обратиться к визи-мату.
Вся эта история взята из рассказа «Алеф с нижним индексом один» (Aleph Sub One) Маргарет Сент-Клер, забытой современницы Азимова, Брэдбери и Кларка. В ее работах технологический оптимизм соединяется с социальным пессимизмом. Оона живет во времени, когда приспособления становятся все лучше и лучше, а люди остаются все теми же. «Я люблю писать об обыкновенных людях из будущего, – однажды объяснила Сент-Клер, – окруженных сложными техническими приспособлениями, порожденными супернаукой. Но эти люди, я уверена, знают о том, как вся эта техника работает, не больше, чем современный водитель осведомлен о законах термодинамики».
В этом отношении «Алеф с нижним индексом один» – выдающийся рассказ. Визи-мат, в отличие от агрегатов для уборки и приготовления пищи, одаривает Оону чем-то, что действительно имеет вес, – пониманием. Теперь она может взглянуть сквозь малопонятные формулы и увидеть стоящее за ними значение. Она может увидеть свет в конце длинного темного тоннеля лекций Джика.
Очень своеобразная точка зрения: освобождение женщины через геометрическую визуализацию.
«Битва между геометрией и алгеброй напоминает сражение между представителями различных полов, – сказал однажды математик сэр Майкл Атья. – Это навечно… Дихотомия между алгеброй как способом делать что-то с помощью формальных манипуляций и геометрией как способом мыслить на концептуальном уровне – две составляющих математики. Вопрос только в их правильном балансе».
Оона могла бы вмешаться: «В балансе? А зачем нам вообще нужна вся эта неразбериха алгебраических символов?»
Потому что геометрия имеет ограничения. Производные функций х2 и х3 нарисовать несложно, но для х4 вам придется изобразить тессеракт в четырех измерениях. Удачи вам в этом занятии. Оона попробовала это сделать на визи-мате, но без особого успеха. Она увидела «что-то вроде куба или набора кубов, от которых у нее заболели глаза». Мгновение спустя изображение исчезло, став плоским «так быстро, что Оона не была уверена, действительно ли его видела».
Именно в этот момент Оона приняла судьбоносное решение – скормить визи-мату самое ужасное, самое сложное выражение, какое она только могла придумать.
Она напряженно писала почти пять минут, обильно украшая свою работу различными dx, n-ными степенями и достаточным количеством e… Под уравнением своим круглым детским почерком Оона написала N = 5.
Когда машина затрещала и отключилась, Оона пожала плечами и ушла, занявшись хозяйством. Когда она вернулась, ее дом был поглощен «некой неестественной красноватой мутью, медленно вращающейся и напоминающей водоворот, который получается, когда вы спускаете воду из ванны». Попытка отобразить кошмарное уравнение Ооны создала уничтожающий пространство вихрь.
Для меня это выглядит правдоподобно: бессмысленные математические символы вполне способны разрушить реальность.
В конце концов Оона сумела спасти ситуацию, подсунув «улитке» написанную от руки записку: «Извините, я сделала ошибку. N не равна пяти. На самом деле N равна нулю (0). Вихрь получил ее записку, и «на какой-то момент казалось, что Вселенная качается на краю бездны. Затем все выглядело так, как будто нечто пожало плечами и решило утихомириться».
Возможно, не все производные могут быть визуализированы.
