Год 1827. Наш главный герой – веселый седовласый ботаник по имени Роберт Броун. Он склоняется над микроскопом, вглядываясь в предметное стекло с пыльцой, – занятие, которое за десятки лет до появления кабельного телевидения можно было считать развлечением по выходным. Броун замечает нечто непривычное.

Танцевальную вечеринку в миниатюре.

Крошечные частицы зернышек пыльцы колеблются перед его глазами. Они танцуют джиттербаг[19]. Они исполняют джайв[20]. Они подпрыгивают, как зерна кукурузы на горячей сковородке, или как накачанные кофеином кролики, или как я на свадебной вечеринке у друга. Они извиваются, как будто слышат песню «Uptown Funk». Что же поддерживает эту неистовую активность?

Возможно, это жизненная сила пыльцы, похожее на перемещение сперматозоидов вечное движение половых клеток растений? Нет. Начнем с того, что, даже если жидкость стоит в закрытом сосуде целый год, танец так и не останавливается. (Реальная проверка танцевальной вечеринки!) Далее Броун обнаруживает такое же движение у частиц стекла, гранита, дыма и даже пыли, собранной с великого сфинкса в Гизе, из чего мы можем сделать вывод, что в те времена туристы запросто могли поскрести исторический памятник, чтобы собрать бесплатные образцы для опытов.

Броун был не первым, кто обнаружил это явление. Поколением раньше ученый по имени Ян Ингенхауз заметил, что частицы угля трепыхаются в алкоголе. Почти за 2000 лет до этого римский поэт Лукреций писал о пыли, дрожащей в луче света. Это древний вездесущий танец.

Так что же он собой представляет?

Итак, весь мир состоит из атомов. Они находятся в постоянном движении. Без электронного микроскопа атомы мы увидеть не можем, но можем заметить более крупные частицы, которые атомы все время бомбардируют, – частицы, такие как пыль со сфинкса и пыльца цветов. Представьте себе огромный шар в парке Дисней Эпкот[21], который непрерывно бомбардируют миллиарды невидимых маленьких шариков, и вы уловите эту идею.

В любой отдельно взятый момент совершенно случайный удар с одной стороны немного перевешивает удар с противоположной. Это вызывает отклонение частицы в одном направлении. В следующий момент схема меняется и частица движется в другом направлении.

Это продолжается вечность, момент за моментом, мгновение за мгновением.

Джига частиц, получившая название «броуновское движение», приводит в замешательство. Это движение частиц беспорядочно, то есть частицы не отдают предпочтения каким-либо направлениям. Оно непредсказуемо, иначе говоря, прошлые движения не дают никакой подсказки, в каком направлении частица будет двигаться в дальнейшем. Но, возможно, самое необычное из всего – это характер изменения направления.

Эти изменения в нашей математической модели являются недифференцируемыми.

Термин требует дополнительных разъяснений, поэтому представьте себя бейсбольным мячом. Я бросаю вас в воздух со скоростью 25 м/с. Предположим, вы простили мое агрессивное поведение, и мы вместе задаемся вопросом, что же происходит после этого. Вы пронзите атмосферу и отправитесь в долгое одинокое странствие среди звезд?

Боюсь, что нет, мой простроченный красными нитками друг! Вы житель Земли, попавший в гравитационную ловушку планеты. Поэтому через секунду вы замедлитесь до 15 м/с. Еще через секунду ваша скорость упадет до 5 м/с. А через следующую половину секунды вы замедлитесь еще сильнее, пока, наконец, не измените направление и не начнете падать с ускорением в направлении земли.

В верхней точке траектории нас ждет необычный и удивительный момент, когда вы уже перестали подниматься, но еще не начали падать. В этот краткий «чих» времени вы лишены движения, «путешествуете» со скоростью ноль метров в секунду.

А что, если мы снабдим вас ракетными ускорителями? Если когда-то вы были всего лишь просто шаром из воловьей кожи, то теперь стали оснащенным реактивным двигателем шаром из воловьей кожи. С помощью реактивной тяги вы взмываете вверх, а потом несетесь вниз. Не является ли это другим видом перемены направления?

На самом деле нет. Разумеется, то, что когда-то занимало целую секунду, теперь происходит за какие-то ее доли, но общая схема сохраняется. После того как ваше движение вверх замедлилось, и до того, как началось движение вниз, существует единственный момент смены направления, когда ваша мгновенная скорость равна нулю.

Только если очень напрячь свое математическое воображение, мы можем представить другой вариант развития событий, скажем, такой:

Тут происходит нечто невероятное. Вы переходите непосредственно от движения вверх к движению вниз без какого-либо промежуточного момента, о котором стоило бы говорить: никакой паузы, никаких пропусков хода, никаких удлинений седьмого иннинга.

Даже приближение – наш стандартный прием для всего, что касается математического анализа, – не вносит никакой ясности. Не важно, как близко вы смотрите или как замедляете видео, – этот момент перехода остается загадкой. Миллиардной долей секунды ранее бейсбольный мяч летел со скоростью 10 м/с вверх, а миллиардную долю секунды спустя он летит со скоростью 10 м/с вниз. Нет замедления, нет ускорения, только неожиданная смена курса, такая внезапная и таинственная, что сознание едва ли сможет ее уловить.

С какой скоростью бейсбольный мяч движется в этот момент? На самом деле движение настолько ничтожно, что само понятие скорости теряет смысл. В это мгновение бейсбольный мяч не имеет скорости. На жаргоне математического анализа функция его положения недифференцируема.

Теперь, после неожиданного рикошета, давайте вернемся к броуновскому движению. То, чего никак не может сделать бейсбольный мяч, частицы при броуновском движении, кажется, делают каждый день. Постоянно.

Изолированная точка недифференцируемости, единственное резкое изменение в движении, которое в иных случаях растягивается по гиперболе, – это само по себе плохо. Но через полвека после Броуна математик Карл Вейерштрасс создал куда более пугающую математическую функцию. Он не ограничился одной недифференцируемой точкой, и даже двумя, и двадцатью. Он придумал функцию, которая является недифференцируемой повсюду.

На графике франкенфункции Вейерштрасса каждая отдельная точка имеет острый угол.

Пытаетесь представить это? Я тоже, друзья мои, я тоже! Самое лучшее, что я могу предложить, – это некоторое приближение: первые несколько шагов по эволюционной лестнице, которые через бесконечное восхождение ведут к демоническому дикобразу Вейерштрасса.

Давайте разберемся с природой этого ужаса. Это единственная, неразрывная кривая без скачков и пробелов. Но она настолько зубчатая и непутевая, что ни человеческая рука, ни графическое программное обеспечение не могут ее нарисовать. Этот находящийся за границами воображения монстр, как пишет математик Уильям Данхэм, «забил последний гвоздь в гроб геометрического восприятия как надежного основания математического анализа».

Эмиль Пикар, французский математик, выражал глубокое сожаление по поводу этого изменения. «Если бы Ньютон и Лейбниц могли только подумать, что неразрывные функции не обязательно должны иметь производную, – заверял он, – дифференциальное исчисление никогда бы не было изобретено». Еще один французский математик Шарль Эрмит высказался еще более беспощадно: «Я с ужасом отворачиваюсь от этого прискорбного явления, которое представляют собой функции, не имеющие производных».

В истории математического анализа дьявол Вейерштрасса с заостренными отметинами на лице олицетворяет собой точку, где произошел резкий разворот, внезапное изменение направления.

В такие времена может показаться, что математика вначале потеряла голову где-то в облаках, а потом потеряла облака под своим собственным задом. Кого заботят невозможные детали, все эти абстракции, которые нельзя даже представить? Не охотился ли Вейерштрасс из любви к искусству всего лишь за каким-то философским понятием, рассчитанным на дешевый успех, презирая главное предписание о том, какой должна быть математика? Ну, вы знаете, полезной.

Виновен по всем пунктам. «Это действительно так, – говорил Вейерштрасс, – нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом».

И тем не менее, если вы с детства привыкаете к существованию резких поворотов, возможно, вы увидите, куда они ведут. Эта недифференцируемость повсюду, характерная черта, которая делает шипастого питомца Вейерштрасса таким пугающим и нереальным, особенность, которая ошарашила целое поколение математиков… В общем, именно так и работает наша модель броуновского движения.

Путь частицы при броуновском движении не просто включает в себя несколько углов. Вся их жизнь – острые углы. Каждое мгновение всюду присутствующая пыль делает новое и совершенно непредсказуемое движение в безумном танце. Поскольку производная – всего лишь скорость, броуновское движение – это что-то вроде неподвижного движения, глухой отголосок деятельности, которую традиционный математический анализ никак не может описать, разве что сказать «Вау!», «Ого!» или «Что?!».

Мне нравится необычность броуновского движения – пути, который ни одна рука не может зарисовать, движения, которое нельзя обозначить никакой скоростью. Именно поэтому власти позволили Броуну скрыться с фрагментом Большого сфинкса? Возможно, они чувствовали, что его работа, как загадки сфинкса и математический анализ, была игрой парадоксов и древних головоломок – одновременно совершенно невозможной и полностью реальной.