КУ?!!
Какой! Восторг!!!
Я действительно могу научить кого угодно,
но это не значит, что я готов работать с учеником, которому неинтересны мои уроки.
— Давай еще раз займемся графическим решением КУ.
— Напомню популярные способы:
1. Формула y = x2 + bx + c, описывает параболу. Функция получает значение «ноль» при пересечении этой, самой параболы с осью абсцисс.
Т.е. для графического решения КУ предлагается построить параболу и посмотреть где она пересечет ось X.
= Ну, в принципе, построить параболу по точкам — можно. …. Но это не наш метод.
- Согласен, к формулам подходить надо «по-мягше»
= И смотреть на них «по-ширше»
2. Уравнение x2 + bx + c = 0 можно перезаписать как: x2 = - bx — c. Формула y = x2 описывает параболу вершина коей будет расположена в начале координат. В свою очередь формула y = - bx — c отобразится прямой. Решением искомого уравнения будут ординаты точек пересечения этой параболы и той прямой.
= Так,… что тут сказать…. оно может и умно, но построений еще больше, а следовательно……….
= Еще я нашел какие то «нормо...»
— Нет, «номограммы» - отличная штука, но только, если требуется ПОСТОЯННЫЕ вычисления. Например вы лесник, и вам постоянно требуется вычислять кубатуру древесины по диаметру и длине дерева, ИЛИ вы постоянно подбираете точные сопротивления для настройки вольтметров ИЛИ вам надо знать время сброса бомбы (для попадания в цель) учитывая скорость и высоту самолета (на самом деле еще несколько параметров).
В подобных случаях ЗАРАНЕЕ строятся хитро размеченные прямые и кривые, и опытный оператор приложив линейку, за доли секунды находит ответ.
Номограмма для решения квадратного уравнения
z2+pz+q = 0
Например: z2 - 9z + 8 = 0
1. на шкале p находим отметку -9, на шкале q отметку 8.
2. проводим через эти метки прямую, которая пересекает криволинейную шкалу номограммы в отметках 1 и 8.
3. следовательно, корни уравнения 1 и 8.
* * *
* * *
* * *
Что-то мне это напоминает? Что же напоминает? Уже долгое время я смотрю на этот корень и… вижу что-то знакомое
= И что же?
— Видишь ли, если я так сразу скажу, то сработает эффект «Колумбова яйца»[1] - реакция будет: «Ну, это-же элементарно»
Гляжу, как безумный, на черную шаль,
И хладную душу терзает...
….меня терзают смутные сомнения
= Хватит интриговать, рассказывай!
— Сейчас, все поймешь сам. Расскажи, что ты видишь.
= Ну, корень, под корнем разность квадрата числа и еще одного числа.
— Хорошо! А теперь представь, что это не «еще одно число», а «некое число --- в квадрате»
= Теперь и мне что-то напоминает.
— Сосредоточься, напрягись «крибле — крабле — бумс»
= Теорема Пифагора???
— Бинго!!!
= Да, похоже на теорему Пифагора, но, что это дает?
— Ну-ну. Не стоит корить себя за бесконечную тупость. Это присуще всем моим сотрудникам.
— Разжевываю.
1 Гипотенуза нам известна (h)
достаточно:
2 вычислить (корень из с — назовем его v) - это один катет,
3 взять циркуль,
4 построить прямой угол
5 отложить на одной стороне v
6 циркуль раскрыть на расстояние h
7 и сделать засечки (x1 и x2) на другой стороне прямого угла.
Т.к. я разжевывал максимально мелко, то получилось вроде-бы длинно, но займет это дело пять секунд. (правда еще 1.5 часа на поиски циркуля и линейки)
= ?
— Повторю вывод. При данном методе графического решения КУ, надобно произвести только два вычисления
1. h = -b/2
2. v = (корень квадратный из с)
а дальше, поработать с линейкой и циркулем. И ни каких Али-Бабов.
= Не увижу! Не поверю!
— Хорошо. Пусть корнями будут x1 = 2 и x2 = 8. [честно признаюсь, для примеров я подобрал очень легкие уравнения]
Тогда уравнение будет x2 -10x + 16 = 0.
h = 10/2 = 5
выполняем самое сложное вычисление:
v = корень квадратный из 16 = 4
по оси Х откладываем h = 5
из полученной точки проводим перпендикуляр (как его построить отвлекаться не буду. Ты должен это знать. И строить его циркулем и линейкой 3 секунды)
откладываем на перпендикуляре значение v = 4
раскрываем циркуль на размер h = 5
делаем две засечки на оси ОХ. Это и есть ДЕРЕВО (т. е. корни квадратного уравнения)
= Да не может быть! Так просто!
— Попробуй сам.
……….
= Проверил. Получается. Но, что делать когда корни разных знаков, ведь тогда не разница квадратов, а сумма.
— Молодец. А подумать! Сумма квадратов — это что?
= Гипотенуза?
Пример
Задаем корни x1 = -2 и x2 = 8
Получится уравнение x2 -6x - 16 = 0.
Производим вычисления h = 3; v = 4
При разнополых корнях порядок действий немного изменяется.
По прежнему на оси ОХ откладываем h = 3
Перпендикуляр в данном случае не нужен.
V = 4 откладываем на оси OY [на рисунке я ошибся и отложил v в отрицательную сторону, но ущерба ошибка не принесла никакого. Посмотри внимательно и поймешь, что v можно откладывать в любую сторону]
Теперь самое забавное, ножку циркуля ставим в точку x = 3 и раскрываем его до точки y = 4 полученным радиусом R делаем засечки на оси OX.
Все — корни получены.
= Как-то это сложнее.
— Нисколько, дело практики.
+ + +
# В любом случае — решение КУ - это решение прямоугольного треугольника.
# таким значком я буду помечать упоминание КУ-треугольника
= Но графическое решение дает только приближенное решение!
— Ничего страшного. Точные значения совсем рядом, и тебе не составит труда за пару проверок их найти.
* * *
— О графическом решении КУ — пожалуй, все.
Но есть дополнение к анализу КУ.
+ + +
Я считал их совершенно банальными, однако надо поставить точку и над этим i.
— Разберем оставшиеся возможные варианты КУ.
{1}. Напиши уравнение в котором оба корня равны, но противоположны по знаку.
= Надо подумать, в чем подвох….. Так, если они равны и противоположны, то сумма будет равна нулю, значит b = 0. И уравнение будет:
x2 + c = 0
— Нет, ошибка. Если знаки противоположны то произведение отрицательно.
x2 - c = 0
— Т.к. решение уравнения элементарно, то обычно в заданиях его не используют.
= А графическое решение?
— Корни разнополые, и методику ты знаешь, НО
# треугольник КУ вырождается в отрезок (см. черную параболу)
{2}. А теперь напиши уравнение, в котором один из корней равен 0.
= Теперь меня не обманешь, с = 0, значит:
x2 - bx = 0
— Как видишь, решение еще проще, делишь все на x, и получаешь ответ.
(голубая парабола)
= интересное название
# треугольник опять превратился в отрезок
{3}. Теперь напишем уравнение в котором есть только одно решение и это решение 0.
x2 = 0
= Тут решать нечего.
— Да, решать нечего, но подумать есть о чем.
Формула y = x2 описывает параболу, вершина которой, находится в начале координат.
# треугольник уменьшится до точки (красная парабола)
А если вершина не в начале координат, то формула будет y = (x - h)2 [почему минус? ... подставь значения х и h ... сообразишь].
Откроем скобки в уравнении (x - h)2 = 0:
x2 — 2hx + h2 = 0
= Хе, хе, хе — опять то-же самое уравнение.
— Ты прав, структурно уравнение, обычное приведенное, НО ты можешь отчетливо видеть признак единственного решения уравнения [c = h2].
# напомню, треугольник все еще точка
Из этого варианта вытекает четвертый.
= Как? Еще и четвертый?
— Итак, вариант КУ НЕ ИМЕЮЩЕГО решения
Мы уже знаем формулу параболы «гуляющей» вершиной по оси ОХ:
y = (x — h)2
Добавим сюда еще смещение по оси ОУ
y = (x — h)2 - d
т. е. «гуляем» по всему полю оси координат.
Я утверждаю, что такая формула правильнее выражает графическое изображение параболы. Смещение по оси ОХ — h, смещение по оси ОУ — d.
Откроем скобки:
и сравни с привычной формой уравнения
y = x2 — 2hx + h2 — d
x2 — bx + c = 0
т. е. c — на самом деле состоит из двух частей c = h2 — d
Отсюда: d = h2 - c
= Погоди, погоди! Получается, что дискриминант…
— Совершенно верно. Нужен для вычисления смещения параболы по оси ОУ.
Если d — меньше нуля (парабола выше оси ОХ) — решения у уравнения нет.
Если d — равно нулю (вершина параболы лежит на оси ОХ) — решение единственное.
Если d — больше нуля (вершина параболы ниже оси ОХ) — обычные два ответа.
# Мы убедились, что в граничных случаях ( {1},{2},{3} ) треугольник решения КУ вырождается.
Домашнее задание: исследовать КУ с корнями (0.01; 4), (-0.01; 4), (1.99; 2.01)
= Интересно. Мы с тобой рассуждаем о КУ уже 6 дней. Создается впечатление, что такие разговоры можно вести бесконечно.
— Согласен.
I'll be back