В 1916 г. немецкий физик и математик Арнольд Зоммерфельд на основе положения о корпускулярно-волновом дуализме электрона рассчитал две орбиты для атома водорода, одна из которых была круговая, а вторая — эллиптическая^{469}.

^{Арнольд Иоганнес Зоммерфельд (1868–1951)}

Выполненные исследования не только объяснили тонкую структуру спектра атома водорода, но и положили начало новому важному направлению в науке. Из исследований Планка, Эйнштейна, Бора и Зоммерфельда вытекала явная несостоятельность принципов классической физики при описании поведения субатомных частиц.

Решающее событие в развитии нового раздела физики произошло в 1924 г., когда Луи де Бройль углубил представления о корпускулярно-волновом дуализме^{470}. Пытаясь найти объяснение постулированным Н. Бором условиям квантования атомных орбит, французский ученый выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма.

Де Бройль предположил, что каждой частице, независимо от ее природы, следует поставить в соответствие волну, длина которой λ связана с импульсом частицы p определенным соотношением. Пользуясь знаменитым уравнением Эйнштейна, де Бройль смог записать выражение, связывающее длину волны электрона с величиной его импульса. Уравнение волны де Бройля имело вид:

где λ — длина волны частицы, m₀ — ее масса покоя, v — скорость, γ — фактор Лоренца.

Согласно этой гипотезе, не только фотоны, но и все «обыкновенные частицы» (электроны, протоны и др.) обладают волновыми свойствами, которые, в частности, должны проявляться в явлении дифракции.

^{Виктор де Бройль (1892–1987)} 

Это уравнение легло в основу нового раздела физики XX в. — квантовой механики, — призванного заниматься изучением поведения микрочастиц в периодических электромагнитных полях. Принимая во внимание чрезвычайно важную роль квантовой механики при решении многих фундаментальных и прикладных проблем современного естествознания, вполне уместно привести наиболее развернутое определение этой области современной физики.

Квантовая механика представляет собой раздел теоретической физики, который устанавливает способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и их систем (например, кристаллов), а также связь величин, характеризующих частицы или системы частиц, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми в макроскопических опытах.

Де Бройль, являясь одним из основоположников квантовой механики, предложил рассматривать электрон как стоячую волну, которая должна умещаться на круговой орбите целое число раз. Наличие волновых свойств у электрона экспериментально было подтверждено работами Клинтона Джозефа Дэвиссона и Лестера Халберта Джермера. Они обнаружили, что пучок электронов, подобно световому потоку, может испытывать дифракцию, проходя через монокристалл никеля или через тонкую металлическую фольгу. Явление дифракции электронов легло в основу создания электронных микроскопов, превосходящих оптические микроскопы по мощности и разрешающей способности. Позднее волновые свойства были обнаружены и у других частиц, и справедливость формулы де Бройля была подтверждена экспериментально.

Новая отрасль науки развивалась стремительно. В 1926 г. австрийский физик Эрвин Шрёдингер предложил свое знаменитое волновое уравнение для описания поведения субатомных частиц в стационарных условиях. Уравнение Шрёдингера, основное динамическое уравнение нерелятивистской квантовой механики, сыграло такую же фундаментальную роль, как уравнение движения Ньютона в классической механике или уравнения Максвелла в классической теории электромагнетизма^{471}. Если известна волновая функция ψ в начальный момент времени, то, решая уравнение Шрёдингера, стало возможным нахождение ψ в любой последующий момент времени t. Для частицы массы т, движущейся под действием силы, это уравнение имело вид:

где

— оператор Лапласа, x, y, z — координаты, ħ — постоянная Дирака.

Уравнение (5.31) называется временным уравнением Шрёдингера.

^{Эрвин Рудольф Йозеф Шредингер (1887–1961)} 

Если потенциал U не зависит от времени, то решения уравнения (5.31) можно было представить в виде:

где E — полная энергия квантовой системы, a ψ(x,y,z) удовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера: 

C математической точки зрения выражения (5.31) и (5.32) являются волновыми уравнениями и по своей структуре подобны соотношению, описывающему колебания нагруженной струны. Однако, в отличие от решений уравнения колебаний струны, которые дают геометрическую форму струны в данный момент времени, решения ψ(x,y,z) прямого физического смысла не имеют. Смысл имеет квадрат волновой функции, а именно величина |ψ_n(x,y,z)|², равная вероятности нахождения частицы (системы частиц) в момент времени t в квантовом состоянии n в точке пространства с координатами x, y, z. Эта вероятностная интерпретация волновой функции стала одним из основных постулатов квантовой механики.

Уравнение Шрёдингера позволило описать изменение состояния квантовых объектов, характеризуемых волновой функцией. Это уравнение является математическим выражением фундаментального свойства микрочастиц — корпускулярно-волнового дуализма, согласно которому все существующие в природе частицы материи наделены также волновыми свойствами. Волновое уравнение удовлетворяет этому принципу соответствия даже в предельном случае, когда длины волн де Бройля значительно меньше размеров, характерных для рассматриваемого движения, поскольку оно содержит и описание движения частиц по законам классической механики^{472}. Переход от уравнения Шрёдингера к классическим траекториям подобен переходу от волновой оптики к геометрической. Аналогия между классической механикой и геометрической оптикой, которая является предельным случаем волновой, сыграла важную роль в установлении уравнения Шрёдингера. Математическая формулировка постулатов квантовой механики, основанная на уравнении Шрёдингера, получила название волновой механики.

Уравнение Шрёдингера позволило объяснить и предсказать большое число явлений атомной физики, а также вычислить основные характеристики атомных систем, наблюдаемых на опыте. Например, с помощью этого уравнения были рассчитаны энергетические уровни атомов, изменение спектров атомов под влиянием электрического и магнитного полей и т. д. На основе этого уравнения удалось также понять и количественно описать широкий круг явлений ядерной физики, например закономерности α-распада, β-излучение ядер, рассеяние нейтронов на ядрах и многое другое.

Вскоре после этого в 1927 г. был сформулирован принцип неопределенности Гейзенберга, согласно которому невозможно с абсолютной точностью определить координату и проекцию скорости электрона на эту ось координат.

ΔxΔp_x ≥ h/2π = ħ, (5.34)

где Δx — погрешность в определении координаты; Δp_x — погрешность в определении проекции импульса на эту ось координат.

Согласно формуле (5.34), в каждый отдельный момент времени точно можно установить величину только одного из этих параметров. Принцип неопределенности Гейзенберга стал еще одним аргументом в пользу вероятностного характера описания процессов микромира.

В 20-е годы XX в. бурное развитие наблюдалось не только в становлении теоретических основ квантовой механики, но и в совершенствовании расчетных методов. В 1925 г. В. Гейзенберг предложил использовать при проведении квантово-механических расчетов матричный математический метод. Матричная механика В. Гейзенберга, в основу которой был положен соответствующий расчетный метод, была полностью эквивалентна волновой механике Шрёдингера.

Кульминацией развития квантовой механики в этот период явились работы английского физика Поля Дирака, в которых он развил и расширил матричный подход. Это позволило ему дать исчерпывающее теоретическое объяснение корпускулярно-волнового дуализма электрона^{473}. Ученому удалось доказать, что в некоторых случаях интенсивность волны в какой-либо точке пространства эквивалентна плотности вероятности нахождения в ней тех или иных субатомных частиц. В других ситуациях плотность вероятности нахождения частиц может быть настолько низка, что можно вообще пренебречь их волновой природой. Дирак разработал математический аппарат квантовой механики — теорию представлений, позволивших понять равноправие нескольких внешне различных вариантов описания поведения субатомных частиц. Также им был предложен «метод вторичного квантования», открывший путь к последовательному квантовому описанию электромагнитного поля. Одним из следствий построенной таким образом квантовой электродинамики явились выводы, касающиеся вынужденного излучения, которые уже в наше время легли в основу целого направления в физике — квантовой электроники.

^{Поль Адриен Морис Дирак (1902–1984)} 

Такой подход позволил П. Дираку теоретически доказать существование спина электрона^{474}, предсказание которого было сделано впервые американскими физиками Джорджем Юджином Уленбеком и Самюэлем Абрахамом Гаудсмитом на основании детального анализа тонкой структуры атомных спектров. Самым выдающимся достижением английского ученого явилась формулировка знаменитого уравнения Дирака — квантового уравнения движения для частиц со спином m_s = ± 1/2 (например, электронов и позитронов, мюонов), удовлетворяющее требованиям специальной теории относительности^{475}.

До этого момента две великих теории XX в. — теория относительности и квантовая механика — около двух десятков лет развивались параллельно, но независимо друг от друга, хотя становилось все более очевидным, что их объединение необходимо и неизбежно. Когда возникла квантовая теория атома и объектом рассмотрения стал электрон, вначале казалось, что для его описания достаточно «нерелятивистского» волнового уравнения Э. Шрёдингера (5.31) и (5.33). Это уравнение сопровождается эпитетом «нерелятивистское» по той причине, что его вид остается неизменным лишь при «нерелятивистских» преобразованиях Галилея для координат и времени, но меняется, если использовать «релятивистские» преобразования Лоренца.

Работы П. Дирака явились закономерным синтезом теории относительности и волновой механики, открыв поистине новые горизонты в использовании квантово-механических методов для описания и предсказания процессов и явлений микромира. Используя изящнейший и изощренный математический «матричный» метод, Дирак пришел к знаменитому уравнению, носящему его имя. Это уравнение было опубликовано в работе, вышедшей 1 февраля 1928 г. Впоследствии сам автор писал: «Я обнаружил из этого уравнения, что электрон обладает спином, равным 1/2, и магнитным моментом, и что значение спина и магнитного момента согласуется с экспериментальными. Полученный результат был совершенно неожиданным… Я считал, что простейшее решение получится для частицы без спина, а уже затем нужно будет ввести спин…»^{476}. Таким образом, строго математически П. Дирак доказал, что электрону, кроме заряда и массы, должна быть приписана еще одна внутренняя характеристика — спин.

Еще одним чрезвычайно важным фундаментальным следствием этого уравнения явилось теоретическое предсказание существования «античастицы» электрона. Эту частицу, названную позитроном, действительно вскоре обнаружил на опыте американский физик Карл Дэвид Андерсон. В настоящее время представление об античастицах — «партнерах-двойниках» всех частиц — прочно вошло в физику.

Большое значение для дальнейшего развития квантовой механики сыграл открытый швейцарским физиком Вольфгангом Паули знаменитый принцип, который регламентировал расположение электронов на дискретных энергетических уровнях вокруг ядра. Принцип или запрет Паули утверждает невозможность существования более, чем одного электрона в одном и том же энергетическом квантовом состоянии. Другими словами, в атоме может находиться только один электрон, характеризующийся одинаковым набором всех четырех квантовых чисел: главного квантового числа n, орбитального квантового числа l, магнитного квантового числа m_l и спинового числа m_s.

^{Вольфганг Паули (1900–1958)} 

Дальнейшие исследования показали, что принцип Паули имеет фундаментальное значение в теории строения атома, ядра и твердого тела. Принцип Паули приобрел исключительное значение не только в физике атомов, где связь между химическими свойствами и расположением электронов на атомных орбиталях была уже показана — хотя и не так глубоко — самим Н. Бором. Принцип Паули является определяющим для понимания структуры Периодической системы элементов Д.И. Менделеева. В сложном атоме на каждом энергетическом уровне может находиться число электронов, равное кратности вырождения этого уровня, т. е. числу разных состояний с одинаковой энергией. Кратность вырождения K зависит от орбитального квантового числа l и от спина электрона m_s:

K = (2l + 1)(2m_s +1) = 2(2l +1). (5.35)

Так возникло представление об электронных оболочках атома, отвечающих периодам в таблице элементов Д.И. Менделеева. Принцип Паули сыграл решающую роль в понимании закономерностей заполнения электронами уровней и подуровней в атомах. Он послужил исходным пунктом для объяснения атомных и молекулярных спектров. Следует подчеркнуть фундаментальность роли принципа Паули для квантовой теории твердого тела: его применение привело к новой, фермиевской, статистике для электронного газа, являющейся основой для объяснения большинства тепловых, электрических и магнитных свойств твердого тела.

В 1940 г. швейцарский ученый доказал, что все субатомные частицы с полуцелым спином (m_s = ¹/₂, ³/₂, ⁵/₂) подчиняются принципу Паули. Таким образом, стало ясно, что этот принцип, лежащий в основе так называемой статистики Ферми-Дирака, играет принципиально важную роль в физике микромира. Примером системы, состоящей из фермионов (ферми-системы), является электронный газ в металле, примером бозе-системы — газ фотонов (т. е. равновесное электромагнитное излучение), жидкий ⁴He и другие. За открытие этого принципа В. Паули в 1945 г. был удостоен Нобелевской премии.

Становление квантовой механики является важнейшим этапом в развитии естествознания XX в. Ее законы составляют фундамент изучения строения вещества. Они позволили выяснить сложное строение атома, установить природу атомных спектров, объяснить внутреннее строение Периодической системы элементов, понять строение молекул, изучать свойства вещества. Поскольку свойства макроскопических тел определяются движением и взаимодействием частиц, из которых они состоят, законы квантовой механики лежат в основе понимания большинства макроскопических явлений. Она позволила, например, объяснить температурную зависимость и вычислить величину теплоемкости газов и твердых тел, определить строение и понять многие свойства твёрдых тел (металлов, диэлектриков, полупроводников). Только на основе квантовой механики удалось последовательно объяснить такие явления, как сверхпроводимость, ферромагнетизм, сверхтекучесть, выяснить механизм протекания термоядерных реакций на Солнце и звездах.

Ряд крупнейших технических достижений XX в. основан по существу на специфических принципах квантовой механики. Например, квантово-механические законы лежат в основе работы плазменных ускорителей, обусловливают возможность осуществления в земных условиях термоядерных реакции, проявляются в ряде явлений в металлах и полупроводниках, применяемых в новейшей технике, и т. д. Законы квантовой механики используются при целенаправленном поиске и создании новых материалов (особенно, магнитных, полупроводниковых и сверхпроводящих).

В настоящее время без теоретических основ и математического аппарата квантовой механики невозможно развитие таких областей науки, как физика твердого тела, квантовая химия, квантовая электроника, атомная физика, нелинейная оптика и теория атомного ядра. Создание квантовой теории свидетельствует об исключительной силе человеческого разума, сумевшего обнаружить в кажущемся хаосе микроявлений поразительные по своей общности и красоте закономерности.