Природа полна симметрии, и математика тоже, и поскольку базовые идеи в этой области просты для понимания, не удивительно, что симметрия достаточно широко представлена в программе по математике для начальной школы. Вот два основных связанных с симметрией понятия, которые ваш ребенок, вероятно, должен будет постичь:

• зеркальная симметрия, при которой одна половина фигуры представляет собой зеркальное отражение другой половины;

• вращательная симметрия, при которой фигура после частичного поворота идентична самой себе.

Все правильные фигуры, описанные ранее в этой главе, имеют столько симметрий, сколько у них сторон; квадрат, к примеру, имеет четыре оси зеркальной симметрии и четыре вращательных симметрии (см. рисунок):

Правильный пятиугольник имеет пять симметрий, шестиугольник – шесть, и т. д.

Проверьте себя

34. Палочки для коктейля

Из пяти палочек для коктейля на столе выложена «антилопа». Уберите одну палочку таким образом, чтобы оставшаяся фигура имела ось симметрии.

Строим симметричные фигуры

Считается, что дети должны уметь совершать операции вращения и отражения фигур – в том числе и за счет точного построения симметричных точек. Делается это при помощи «декартовых координат» – системы, придуманной Декартом (которому принадлежит знаменитая фраза «Я мыслю, следовательно, существую»).

Система эта очень проста: координаты точки на координатной сетке определяются тем, на каком расстоянии она расположена справа и вверху относительно точки пересечения нижней и боковой шкал. Единственная путаница при этом возникает оттого, что можно забыть, какое из расстояний должно учитываться первым – вверх или вправо от начала координат? На самом деле общепринятый порядок таков: сначала обозначается сдвиг вправо, затем вверх. Чтобы это запомнить, думайте о том, как человек входит в дом: сначала он идет по коридору, а затем поднимается по лестнице. Так что положение точки X на рисунке ниже задается как пять в сторону и три вверх и записывается как (5, 3).

Игра: «Морской бой»

Эта игра – один из лучших способов научиться работать с координатной сеткой. В нее можно играть на клетчатой бумаге с использованием поля, скажем, 10 на 10 клеточек. Каждый играющий чертит на своем поле заранее оговоренное число различных фигур, располагая их на координатной плоскости в тайных местах (фигуры эти изображают, к примеру, авианосец (четыре клеточки) или эсминец – три клеточки). Затем играющие по очереди называют координаты на игровом поле соперника. Если в этом месте оказывается один из кораблей, «стрелявшему» засчитывается попадание, и выигрывает тот, кто первым поражает все корабли соперника.

Проверьте себя 35. Где квадрат?

Отметьте и запишите координаты еще двух точек, которые вместе с отмеченными на рисунке координатами образуют квадрат. Сможете ли вы найти три способа сделать это?

Зеркальные фокусы, которые можно попробовать дома

1. Фокус с мороженым

Попросите ребенка назвать три любимых сорта мороженого (пусть это будут, скажем, ванильное, малиновое и клубничное). Запишите их названия заглавными буквами на листе бумаги и нарисуйте изображение каждого из них в рожке. Затем скажите ребенку, что ваше любимое мороженое – шоколадный брикет CHOC ICE, и тоже напишите на листе название и нарисуйте картинку. А теперь задайте вопрос: «Чем выбранное мной мороженое отличается от всех твоих?» В ответ, конечно, прозвучит множество вариантов (к примеру, «оно в шоколаде» или «оно другой формы»). Послушав некоторое время, объявите правильный ответ: CHOC ICE – единственное среди перечисленных мороженое, с которым ничего не случится, если его перевернуть вверх ногами. Переверните рисунок вверх ногами и взгляните на него в зеркало. Разумеется, из рожков мороженое вывалится, но дело даже не в этом: взгляните на слова. Все названия мороженого тоже «погибнут», за исключением CHOC ICE, которое – чудесным образом – будет читаться все так же.

(Причина в том, что все буквы названия CHOC ICE обладают зеркальной симметрией относительно горизонтальной оси. А взглянуть на перевернутый лист бумаги в зеркало – это все равно что перевернуть каждую букву с «ног на голову».)

2. Разгаданная головоломка

Можно обыграть ту же самую идею, но теперь в виде головоломки. Запишите следующий текст на листе бумаги (заглавными буквами).

ЭТО ЗАГАДОЧНЫЙ ТЕКСТ. ЗДЕСЬ ЕСТЬ СПЕЦИАЛЬНОЕ СЛОВО, КОТОРОЕ НАЙДЕТСЯ, ЕСЛИ ПЕРЕВЕРНУТЬ ТЕКСТ И ПОСМОТРЕТЬ НА НЕГО В ЗЕРКАЛО. В КРАЙНЕМ СЛУЧАЕ ИСПОЛЬЗУЙ ОКОННОЕ СТЕКЛО. ОСТАЛЬНЫЕ СЛОВА «СЛОМАЮТСЯ». СМОЖЕШЬ НАЙТИ ВОЛШЕБНОЕ СЛОВО?

3. Все в поход!

Напишите на куске прозрачного пластика:

Скажите: «Представь, что это дверь, за которой тебя ждет что-то интересное. Как думаешь, что именно? А если посмотреть с другой стороны двери?».

Палиндромы и числовая симметрия

Еще одна форма симметрии – так называемые палиндромы, или перевертыши, – то, что одинаково читается и слева направо, и справа налево. Девочке по имени АННА будет приятно обнаружить, что ее имя читается одинаково в любом направлении; то же можно сказать о мальчиках по имени НАТАН, ОТТО или БОБ. Можно попробовать поискать слова-палиндромы и даже придумать фразы-перевертыши, включая экзотические, к примеру: «МОЛОКО ДЕЛИЛИ ЛЕДОКОЛОМ». Очень увлекательное занятие!

Понятие палиндрома применимо и к числам тоже. В относительно недавнем прошлом было два года с номерами-палиндромами (1991 и 2002), хотя следующий год-«перевертыш», 2112-й, ваши дети вряд ли увидят. Тем не менее в числах, включая и даты, можно найти немало палиндромов – это, к примеру, 21-е числа первых десяти месяцев 2012 г. (так, 21 марта 2012-го записывается как 21.3.12).

Если умножать числа, состоящие только из единиц, на самих себя, получится палиндром:

11 × 11 = 121 111 × 111 = 12321 1111 × 1111 = 1234321

Если вам хватит терпения для умножения в столбик или если ваш калькулятор с этим справится, вы сможете проверить эту закономерность вплоть до 111 111 111 × 111 111 111 = 12345678987654321.