Треугольники имеют три стороны и три угла.

Есть три типа треугольников. Треугольник, имеющий три стороны равной длины, называется равносторонним треугольником. Треугольник, имеющий две стороны равной длины, называется равнобедренным треугольником. Треугольник, имеющий три неравные стороны, называется разносторонним треугольником. Смотрите рисунок 10.

Рисунок 10. Различные типы треугольников.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам. Смотрите рисунок 11.

Рисунок 11.

Если треугольник имеет все три угла меньше 90 градусов, он называется острым или остроугольным треугольником.

Если треугольник имеет один угол, равный 90 градусам, он называется прямоугольным или прямым треугольником.

Если у треугольника один угол больше 90 градусов, он называется тупоугольным треугольником. Смотрите рисунок 12.

Рисунок 12. Различные треугольники.

Если вы хотите дать название углу, вы обозначаете его тремя буквами, начиная с буквы, обозначающей любую сторону угла. Например, вы можете обозначить угол ABC как CBA. В любом случае это правильно, хотя первый вариант предпочтительней.

Угол, образованный одной стороной треугольника и продолжением смежной стороны того же треугольника называется внешним углом. Угол BAD это внешний угол треугольника. Угол BAC является смежным по отношению к углу BAD. Внешний угол BAD равен сумме двух внутренних углов треугольника не смежных с ним. См. Рисунок 13.

Figure 13. BAD = ABC + ACB

Если линия, проведенная из вершины, перпендикулярна противоположной стороне треугольника, эта линия называется высотой. Высоты, проведенные из вершины каждого угла, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром.

Сторона треугольника, на которую опущена высота, называется основанием треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения его основания и высоты.

Смотрите рисунок 14.

Рисунок 14. Площадь = AC * BE / 2 AD _|_ BC, BE _|_ AC, CF _|_ AB

Линия, проведенная из вершины треугольника, которая делит угол на два равных угла, называется биссектрисой. Биссектрисы треугольника пересекаются. Точка их пересечения равноудалена от всех сторон треугольника и является центром вписанной окружности. Смотрите рисунок 15.

Рисунок 15. Центр треугольника с вписанным кругом.

Рисунок 16. Линия соединяет середины двух сторон треугольника.

AD = DB и BE = EC, DE || АС

Докажем, что отрезок DE, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне AC и что DE = AC / 2. Продолжите линию DE и начертите линию EF, равную DE. Смотрите рисунок 17.

Рисунок 17. AD = DB, BE = EC, DE = EF

Тогда треугольник DBE = треугольник EFC, потому что BE = EC, DE = EF и угол BED = углу CEF как вертикальные углы. Поскольку эти треугольники равны, их стороны и углы равны.

BD = CF и угол ECF = углу DBE. Если BD = AD и BD = CF, то AD = CF. Поскольку угол DBE = углу ECF, то BD || CF, потому что DBE и ECF являются противоположными внутренними углами. Если BD || CF, то AD || CF. Так как AD || CF и AD = CF, то ADFC — параллелограмм, и это означает, что DF = AC и DF || AC.

Поскольку DE = EF (дано) и DE + EF = DF = AC, тогда DE = AC / 2.

Линия, проведенная из вершины, которая делит противоположную сторону треугольника на два равных отрезка, называется медианой. Рисунок 18

Рисунок 18. Медиана CD.

Медианы треугольника пересекаются. Точка пересечения медиан называется центроидом. Центроид — это геометрический центр треугольника. Если вы вырежете треугольник из картона, найдите его центр тяжести и поместите треугольник на кончик карандаша так, чтобы наконечник находился в центре тяжести треугольника, треугольник будет идеально сбалансирован. Смотрите рисунок 19.

.

Рисунок 19. Центроид — геометрический центр треугольника.

AD, CE и BF являются медианами.

Перпендикулярная линия, проведенная от середины стороны треугольника, называется перпендикулярной биссектрисой. Смотрите рисунок 20.

Рисунок 20. ED _ | _AC; JH_ | _AB; GF_ | _BC; AD = DC; AH = HB; BF = FC;

Перпендикулярные биссектрисы сторон треугольника пересекаются. Точка, в которой пересекаются перпендикулярные биссектрисы, является центром описанной окружности. Смотрите рисунок 21.

Рисунок 21. О — центр описанной окружности.

Точка, лежащая на перпендикулярной биссектрисе, одинаково удалена от вершин треугольника, образованных стороной, перпендикулярной к биссектрисе. Смотрите рисунок 22.

Рисунок 22. Перпендикулярная биссектриса DG.

Если DG — перпендикулярная биссектриса стороны AC, то AE = EC и AF = FC.

В любом треугольнике ортоцентр O (точка пересечения высот треугольника), центр описанной окружности C (точка пересечения перпендикулярных биссектрис) и центроид I (точка пересечения медиан) лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Эйлера в честь швейцарского математика и физика Леонарда Эйлера. Расстояние от ортоцентра О до центроида I вдвое больше расстояния от центроида I до центра описанной окружности С. См. Рисунок 23.

Рисунок 23. Линия Эйлера. (CIO). IO = 2IC.

GF, JH, ED — перпендикулярные биссектрисы. Точка С — это центр окружности.

AI, BI, KI — это медианы. Точка I это центроид. AL, BJ и KE являются перпендикулярами. Точка О является ортоцентром.

Сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше, чем третья сторона. Разница в длине любых двух сторон треугольника должна быть меньше, чем у третьей стороны. Смотрите рисунок 24

Рисунок 24. Длина сторон треугольника. 8> 15 — 13; 15 <8 +13

Треугольник с двумя равными сторонами называется равнобедренным треугольником.

Равнобедренный треугольник имеет много интересных свойств и особенностей. Смотрите рисунок 25.

1. Если две стороны треугольника AB и BC равны, то два угла, которые лежат напротив равных линий, равны. Угол BAD = BCD.

2. Если вы проведете линию от угла между двумя равными сторонами к средней точке третьей стороны, эта линия будет биссектрисой угла.

Рисунок 25. AB = BC.

Линия BD является биссектрисой. Она делит угол ABC на 2 равных угла ABD и DBC.

3. Биссектриса, проведенная от вершины треугольника между его равными сторонами, перпендикулярна третьей линии АС, а угол АDB и угол CDB являются прямыми и равными 90 градусам.

Биссектриса, проведённая от вершины угла, делит его пополам.

AD = DC.

Два полученных треугольника также равны.

Треугольник ABD = Треугольник DBC.

Если все три стороны треугольника равны, такой треугольник называется равносторонним треугольником.

То, что верно для равнобедренного треугольника, верно и для равностороннего треугольника.

Кроме того, все три угла равностороннего треугольника равны 60 градусам. Смотрите рисунок 26.

Рисунок 26. Равносторонний треугольник. Углы А, В и С = 60 градусов.

AB = BC = AC

Биссектрисы, опущеные от каждого угла равностороннего треугольника, одновременно являются высотами и медианами. Медиана, высота или биссектриса делят равносторонний треугольник на два равных треугольника с углами 30, 60 и 90 градусов. Смотрите рисунок 27.

Рисунок 27. Равносторонний треугольник ABC.

BD — это биссектриса, высота и медиана. Треугольники ABD и BDC равны.

В прямоугольных треугольниках квадрат гипотенузы BC равен сумме квадратов катетов AB и AC. Смотрите рисунок 28.

Рисунок 28. Теорема Пифагора

Рисунок 29. Тригонометрические функции.

Синус угла А — это отношение противоположной стороны к гипотенузе.

Косинус угла A — это отношение прилежащей стороны к гипотенузе.

Тангенс угла A является отношением противоположной стороны к прилежащей стороне.

Котангенс угла A — это отношение прилежащей стороны к противоположной стороне.

Закон косинусов показывает соотношение сторон a, b, c любого треугольника и косинуса угла C между сторонами a и b:

C^2 = a^2 + b^2 -2ab * cos (C)

Найдем неизвестную сторону треугольника ABC. Смотрите рисунок 30

AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2AB*BC cos (ABC)

AC^2 = 8^2 +15^2 — 2 * 8 * 15 cos (65)

AC^2 = 64 +225 — 240 * cos (65)

cos 65 = 0.4226182617

AC^2 = 64 +225 — 240 * 0.42

AC^2 = 289 — 100.8=188.2

AC = квадратный корень из (188,2) = 13,72

Площадь треугольника можно найти, если известны две стороны и угол между ними. Площадь = 0,5 * (AB * BC) sin (ABC). Смотрите рисунок 30.

Рисунок 30. Второй способ найти область треугольника.

Если вы измените размер одного треугольника, сохраняя пропорции его сторон, то полученный треугольник будет подобным оригинальному треугольнику. Есть 3 признака подобия или сходства треугольников.

1. Если два треугольника имеют три пары сторон и отношение стороны одного треугольника к стороне другого треугольника одинаково для каждой пары, то такие треугольники подобны. Смотрите рисунок 31.

2. Если два треугольника имеют две пары сторон и отношение стороны одного треугольника к стороне другого треугольника одинаково для каждой пары, а угол, образованный этими сторонами одного треугольника, равен углу, образованному этими сторонами другого треугольника, то треугольники подобны. Смотрите рисунок 32.

Рисунок 31. Подобные треугольники. AC / DF = AB / DE = BC / EF

Рисунок 32. Подобные треугольники. AC / DF = CB / EF, ACB = DFE

.Если два треугольника имеют два равных угла, треугольники подобны. Смотрите рисунок 33.

Рисунок 33. Подобные треугольники. CAB = FDE, ACB = DFE

В геометрии равные треугольники называются конгруэнтными. Если вы положите один треугольник поверх другого треугольника и они совпадут, значит треугольники равны.

1. Два треугольника равны, если две стороны и угол между сторонами одного треугольника равны двум сторонам и углу между сторонами другого треугольника. Смотрите рисунок 34.

Рисунок 34. Равные треугольники

2. Два треугольника равны, если все стороны одного треугольника равны всем сторонам другого треугольника. Смотрите рисунок 35.

Рисунок 35. Равные треугольники. AB = DE, AC = DF, BC = EF

3. Два треугольника равны, если два угла и сторона между этими углами одного треугольника равны двум углам и стороне между этими углами другого треугольника. Смотрите рисунок 36.

Рисунок 36. Равные треугольники. AB = DF, BAC = EDF, ACB = DFE