Когда Евклид появился на свет в тогда еще строящейся египетской метрополии Александрии, там после своей преждевременной кончины был как раз похоронен ее основатель, Александр Великий. Александрия была одним из семнадцати городов, основанных завоевателем мира. Со временем она стала самым важным и самым знаменитым из них.

За те десятилетия, что Евклид провел в Александрии, ему довелось наблюдать, как на расположенном неподалеку острове Фарос сооружался знаменитый маяк, который возвышался более чем на сто метров и считался седьмым чудом света. Евклид также стал очевидцем того, как его родной город превратился в центр эллинистического мира. Эллинистическая культура возникла из греческой, которая, несмотря на раннюю смерть Александра, распространилась по всей его мировой империи и на Востоке протянулась до самого Инда Греческий язык стал международным. искусство, культура и науки достигли удивительной высоты. Вплоть до начала императорской эпохи в Риме (с принципата Августа в 27 году до н. э.) эллинизм сохранял доминирующее положение. Затем под натиском римской культуры он мало-помалу сдал свои позиции, хотя полностью не исчез. Его снова открыли в IV веке. Теперь он стал ориентиром и альтернативой для тех, кто противостоял наступающей христианской религии. В этом отношении любопытно, что Александрия как раз была одним из крупных центров христианства.

В Египте эллинизм был тесно связан с правящей династией Птолемеев. Птолемей I Сотер («Спаситель»), друг юности, попутчик и полководец Александра Великого, был наместником Александрии. После смерти Александра Птолемей искусно утвердил свою власть в борьбе диадохов, бывших полководцев Александра (греческое слово «διάδοχος» означает «преемник»). В конечном счете Птолемей стал царем и основателем династии Птолемеев, чье правление вынужденно оборвалось лишь в 30 году до н. э. со смертью ее последней представительницы, знаменитой Клеопатры. Птолемей I открыл в Александрии Мусейон — Академию наук и литературы. А рядом с ней его сын, Птолемей II, соорудил позднее знаменитую библиотеку. Она была публичной и в лучшие времена располагала фондом из более чем семисот пятидесяти тысяч книг в свитках.

Можно понять, отчего крупных ученых того времени тянуло в Александрию. Один из них, Евклид, находился там с самого начала. Область его исследований, геометрия, была тесно связана с общим развитием античной мысли. Геометрию можно было обнаружить везде: в архитектуре, судостроении и градостроительстве. Исхоженные Евклидом улицы Александрии пересекались под прямым углом. Расположенные геометрически правильно, словно фигуры на шахматной доске, стояли на полуострове в устье одного из рукавов Нила блоки зданий. Из них составлялись жилые кварталы египтян, евреев и греков. Население метрополии едва не достигало миллиона человек. В этом городе Евклид создал произведение, значение которого для дальнейшей истории человечества трудно переоценить. Более двух тысяч лет его труд «Начала» («Στοιχεία») оставался базовым учебником геометрии, и по воздействию, оказанному на западное мышление, некоторые даже сравнивают его с Библией.

В чем же причина такой популярности? То, что в «Началах» Евклиду удается резюмировать все математическое знание своего века, — только одна сторона дела. Это было его прямой обязанностью и выполнено им с большой тщательностью. Однако он пошел дальше и систематизировал собранный материал, то есть представил его в определенном порядке. Точно так, словно его вдохновляла шахматная планировка города Александрии. Свою систему он разработал из восприятия пространства, в котором выделил три измерения (впереди — сзади, слева — справа, сверху — снизу).

Евклид начал свое повествование с простых понятий, определил такие основные геометрические понятия, как точка или прямая, изложил общую теорию чисел и строил каждое следующее определение на предшествующих. Вся так называемая евклидова геометрия основывается на пяти основных постулатах, пяти аксиомах[3]. Каждое из своих доказательств Евклид заканчивал словами «что и требовалось доказать». Эти слова в последующие столетия — эпоха эллинизма давно миновала — стали известны в их латинском варианте «quod erat demonstrandum», или сокращенно «q.e.d.».

Многие математики хотели написать заветные слова под пятой аксиомой Евклида (и тем самым перевести ее из разряда аксиом в разряд теорем), но столкнулись со множеством трудностей.

Четыре первые аксиомы таковы:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой.

3. Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.

4. Все прямые углы равны между собой[4].

До сих пор все шло хорошо. Однако пятый постулат гласит:

5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Проще говоря, если рядом с прямой существует точка, то через эту точку можно провести только одну прямую, которая будет параллельна первой прямой. Поэтому пятый постулат Евклида носит также название аксиомы параллельности. Все это кажется логичным и находит отражение на шахматной доске. Однако эта аксиома не столь безупречна и ясна, как другие. Светлейшие умы вынуждены были в двух последующих тысячелетиях ломать об нее копья. Ибо они тщетно пытались дать аксиоме параллелей то, в чем ей, вероятно, на полном основании отказал Евклид: доказательство.

Попытки дедуцировать аксиому параллелей из других Евклидовых аксиом не увенчались успехом.

Только в первой половине XIX столетия дело дошло до так называемого коперниканского переворота в математике. Независимо друг от друга немец Карл Фридрих Гаусс, венгр Янош Больяй и русский Николай Иванович Лобачевский разработали неевклидову геометрию, пробелы которой в 1899 году восполнил немец Давид Гильберт. Неевклидова геометрия просто пропускает аксиому параллелей. На место представления «прямого» пространства приходит картина «искривленного» пространства, в которой позднее благодаря теории относительности Эйнштейна появилось новое измерение. Тем не менее «Начала» Евклида и в ныне не утратили своего значения для математики.