Это глава об антропном принципе и о том, как можно применить байесовские рассуждения там, где приходится рассуждать о вероятности собственного существования, что кажется весьма странным вопросом. Однако это забавный вопрос — можно сказать, что это вопрос, для которого намного проще сформировать мнение, чем получить результат. Но мы можем попытаться по крайней мере прояснить некоторые темы; кроме того, есть все же кое-какие интересные результаты, которые мы можем получить.

Существует центральное положение, вокруг которого многие из тех, кто склонен к рациональности, по идее, должны строить свою жизнь, хотя, как правило, и не делают этого на практике. Это теорема Байеса.

Если вы говорите с философом, то это зачастую единственный математический факт, который ему известен. (Шутка!) Теорема Байеса как таковая не вызывает совершенно никаких возражений. Она говорит о том, как можно уточнить вероятность того, что гипотеза H истинна, при наличии данных о событии E.

Множитель P [E|H] описывает ваши шансы увидеть событие E в случае, если гипотеза H верна. Остальные множители справа, P [H] и P [E], похитрее. Первый из них описывает вероятность того, что гипотеза верна, вне зависимости от каких бы то ни было других событий, а второе описывает вероятность события E, усредненное по всем возможным гипотезам (и взвешенное в соответствии с вероятностями гипотез). Здесь вы заранее предполагаете, что такие вероятности существуют, иными словами, что имеет смысл говорить о том, что байесисты называют априорной информацией. Если вы только что народившийся на свет младенец, вы можете прикинуть, что существует какая-то вероятность того, что вы живете на третьей планете местной звезды, другая вероятность — что вы живете на четвертой планете и т. п. Это и называется априорной информацией: ваши представления о чем-то до того, как вы познакомитесь хоть с какими-то данными об этом. Вы уже поняли, что это понятие, возможно, немножко выдуманное, но если считать, что такое априорное мнение у вас имеется, то теорема Байеса скажет вам о том, как уточнить это мнение при появлении новых данных.

Доказательство этой теоремы тривиально. Умножаем обе стороны уравнения на P[E] и получаем P[H|E]P[E] = P[E|H]P[H]. Это очевидно верно, поскольку обе стороны равны вероятности события и гипотезы вместе.

Таким образом, если вы не видите никакой возможности оспорить теорему Байеса, то я хочу заставить вас усомниться в ней. Это моя цель. Чтобы этого добиться, попробуем отнестись к этой теореме очень-очень серьезно — именно как к инструкции, согласно которой мы должны рассуждать о состоянии окружающего мира.

Я начну с чудесного мысленного эксперимента, которым мы обязаны философу Нику Бострому[153]. Называется он «Бог бросает монетку». В предыдущей главе я описал этот мысленный эксперимент как загадку.

Представьте, что в начале времен Бог бросает честную монетку (такую, что падает орлом или решкой с равной вероятностью). Если выпадает орел, Бог создает две комнаты: в одной находится рыжеволосый человек, в другой — человек с зелеными волосами. Если выпадает решка, то Бог создает одну комнату с рыжеволосым человеком в ней. Кроме этих комнат, во вселенной ничего нет, и людей за их пределами тоже нет.

Представим также, что положение дел всем известно от начала и до конца и что в комнатах имеются зеркала. А теперь предположим, что вы просыпаетесь, смотрите в зеркало и видите в нем цвет своих волос. На самом деле вы очень хотите узнать, какой стороной упала монетка. Так вот, в одном случае все просто. Если у вас зеленые волосы, то монетка точно легла орлом. Но предположим, вы видите себя в зеркале рыжеволосым. В этом случае как вы оцените вероятность того, что монетка легла орлом?

Одна вторая — первый ответ, который обычно предлагают. Вы можете просто сказать: «Смотрите, мы знаем, что монетка могла с равной вероятностью упасть и орлом, и решкой, и знаем также, что в том и другом случае должен быть создан рыжеволосый человек, так что рыжие волосы на самом деле ничего не говорят вам о том, какой стороной упала монетка; следовательно, вероятность — одна вторая». Может ли кто-нибудь обосновать другой ответ?

Студент: Представляется, что вероятность выпадения решки выше, потому что в случае выпадения орла одно событие — вы проснулись с рыжими волосами — разбавлено другим возможным событием — вы могли проснуться и с зелеными волосами. Эффект был бы более драматичным, если бы комнат с зеленоволосыми людьми было, скажем, сто.

Скотт: Вот именно.

Студент: Совершенно неясно, является ли выбор рыжих или зеленых волос в случае выпадения орла вероятностным. Нам этого никто не гарантировал.

Скотт: Верно. Это вопрос.

Студент: Вполне возможно, что Бог, прежде чем кинуть монетку, написал для себя правило, по которому в случае выпадения орла он должен сделать вас рыжим.

Скотт: Ну, тогда мы должны спросить, что мы подразумеваем, говоря «вас»? Прежде чем посмотреть в зеркало, вы понятия не имеете, какого цвета у вас волосы. Цвет волос может быть любым, разве что вы уверены, что рыжие волосы — это составная часть вашей «сути». То есть если вы уверены, что невозможно такое состояние вселенной, при котором у вас были бы зеленые волосы, но это по-прежнему во всем остальном были бы «вы».

Студент: Значит, вопрос задают обоим?

Скотт: Ну, зеленоволосый человек точно знает ответ, но вы можете вообразить, что рыжеволосому человеку задают вопрос в обоих случаях — и при выпадении орла, и при выпадении решки.

Чтобы сделать эту дискуссию чуть более формальной, можно просто вставить все это в теорему Байеса. Мы хотим узнать вероятность P[H|R] того, что монетка упала орлом, при условии, что у вас рыжие волосы. Мы могли бы провести расчет, пользуясь тем, что вероятность того, что у нас будут рыжие волосы при выпадении орла, равна 1/2 при прочих равных условиях. Людей двое, и ваша рыжеволосость априори не более вероятна, чем зеленоволосость. Далее, вероятность выпадения орла также равна 1/2 — это не секрет. Какова в этом случае полная вероятность того, что ваши волосы рыжие? Она вычисляется по формуле P[R|H]P[H] + P[R|T]P[T], где индекс H означает орла, а T — решку. Как мы уже говорили, если монетка упала решкой, то ваши волосы наверняка рыжие, так что P[R|T] = 1. Более того, мы уже допустили, что P[R|H] = 1/2. Таким образом, мы получаем, что Так что если провести рассуждения по Байесу, окажется, что вероятность должна быть 1/3, а не 1/2.

Видите ли вы какое-нибудь допущение, которое вернуло бы нашу вероятность к 1/2?

Студент: Вы могли бы допустить, что если вы существуете, то волосы у вас рыжие.

Скотт: Ну да, тоже способ, но есть ли способ добиться этого без априорных допущений о цвете волос?

Такой способ существует, но он может показаться немного странным. Один вариант — указать, что в мире орла, для начала, вдвое больше людей. Поэтому можно было бы сказать, что вероятность существовать в мире с удвоенным числом людей априори вдвое выше. Иными словами, можно было бы сказать, что ваше собственное существование — тоже событие, с которым следует считаться. Мне кажется, что если вы хотите подойти к этому чуть более конкретно, то метафизически ситуацию можно сопоставить с такой: существует склад, полный душ, и в зависимости от числа людей в мире соответствующее число душ выбирают с этого склада и помещают в тела. Можно сказать, что в мире, где людей больше, вероятность того, что вас выберут, будет выше.

При таком допущении можно пробежать все по тому же Байесовскому кругу. Выяснится, что это допущение в точности компенсирует эффект рассуждений о том, что если монетка упала орлом, то у вас могут оказаться зеленые волосы. Так что вероятность возвращается обратно к 1/2.

Таким образом, мы видим, что в зависимости от того, как вы хотите это делать, вы можете получить разные ответы — либо треть, либо половину. Возможно, существуют и другие ответы, которые можно обосновать, но эти два представляются наиболее правдоподобными.

Это был довольно понятный мысленный эксперимент. Можно ли сделать его более драматичным? Все это выглядит очень похоже на философию отчасти потому, что на кону ничего не стоит. Давайте рассмотрим поближе что-нибудь с серьезными ставками.

Следующим мысленным экспериментом мы обязаны, мне кажется, философу Джону Лесли[154]. Назовем этот эксперимент «комнатой безумца». Представьте, что в мире живет множество людей и что среди них есть один безумец. Этот безумец делает следующее: он похищает десять человек и запирает их в комнате. Затем он кидает пару костей. Если выпадают две единицы, он просто убивает всех в комнате. Если выпадает что-то другое, то он всех отпускает, а затем похищает 100 человек. После этого он начинает все сначала: бросает две кости, если на них выпадает две единицы, убивает всех, если нет, выпускает — и похищает 1000 человек. Все идет по кругу до тех пор, пока на костях не выпадет две единицы, — и в этот момент все заканчивается. А теперь представьте, что вас похитили. Вы следили за новостями и знаете всю ситуацию. Можно считать, что вы знаете — или не знаете, — сколько еще людей находится вместе с вами в комнате.

Итак, вы в комнате. С учетом этого факта, сильно ли вам надо тревожиться? Насколько вероятна ваша гибель?

Один возможный ответ состоит в том, что вероятность выпадения двух единиц составляет 1/36, так что беспокоиться следует лишь «слегка» (с учетом обстоятельств). Второе, на что можно посмотреть, это соотношение числа тех, кто вышел из комнаты, и тех, кого убил безумец. Пусть все закончилось на 1000. Тогда 110 человек благополучно вышли из комнаты, а 1000 человек умерли. Если все закончится на 10 000, то вышли 1110, а умерли 10 000. В том и другом случае примерно 8/9 всех тех, кто когда-либо попал в эту комнату, умрут.

Студент: Но к рассмотрению здесь привлекаются не все данные. Учитывается только то, что я в какой-то момент нахожусь в комнате.

Скотт: Но вы получаете по существу один и тот же ответ, в какой бы момент вы ни попали в эту комнату. Неважно, когда, по вашему мнению, процесс прервется, все равно примерно 8/9 всех тех, кто когда-либо входил в комнату, будут убиты. Для каждой точки остановки вы можете вообразить себя случайным человеком в череде комнат, ведущей к точке остановки. В этом случае вероятность вашей гибели сильно повышается.

Студент: Но разве вы не используете здесь в качестве условия будущие события?

Скотт: Да, но суть в том, что мы можем устранить эту обусловленность. Мы можем сказать, что мы обуславливаем конкретный пункт остановки, но, каким бы ни был этот пункт, результат получается один и тот же. Шагов может быть 10 или 50, но какой бы ни была точка остановки, почти все люди, когда-либо попавшие в комнату, погибнут, потому что число людей увеличивается экспоненциально.

Если вы байесист, то это представляется своего рода проблемой. Вы можете рассматривать все это как дикий мысленный эксперимент с безумцем или, если захотите, можете отстаивать точку зрения, что это реальная ситуация, в которой находится род человеческий. Мы бы хотели знать, какова вероятность того, что на нас обрушится некий катаклизм или мы вымрем по какой-то причине. Может быть, это будет астероид, обрушившийся на Землю, или ядерная война, глобальное потепление или что угодно еще. Так что существует, пожалуй, две точки зрения на это. Первая: сказать, что все эти риски представляются достаточно малыми — пока что они нас не уничтожили! Прошло множество поколений, и в каждом поколении были люди, предсказывавшие неминуемую гибель, — но она так и не материализовалась. Так что нам следует отталкиваться от этого и назначать относительно небольшую вероятность тому, что именно на наше поколение придется всеобщая гибель. Этот аргумент очень любят приводить консерваторы; я буду называть его «аргументом цыпленка».

В противовес этому существует аргумент, что население Земли растет экспоненциально и что если представить, что оно так и будет расти экспоненциально, пока не истощит ресурсы планеты и не дождется коллапса, то окажется, что громадное большинство когда-либо живших людей жили ближе к концу, примерно как в комнате безумца. Даже считая, что в каждом поколении вероятность всеобщей гибели невелика, громадное большинство когда-либо рожденных людей окажется где-то рядом, когда этот шанс наконец материализуется.

Студент: Но мне по-прежнему кажется, что мы пытаемся что-то обусловливать будущими событиями. Даже если ответ один, какое бы будущее событие вы ни выбрали, вы все равно берете одно из них в качестве условия.

Скотт: Ну, если вы верите в аксиомы теории вероятностей, то если p = P[A|B] = P[A|¬B], то P[A] = p.

Студент: Да, но мы говорим не о B и ¬B, мы говорим о бесконечном перечне вариантов.

Скотт: Так вы считаете, что бесконечность здесь имеет значение?

Студент: Ну, да. Мне не очевидно, что вы можете просто взять этот предел и не беспокоиться об этом. Если население у вас бесконечно, то, может, вашему безумцу будет все время не везти, и он никогда, за целую вечность, не выбросит две единицы.

Скотт: Ну хорошо, мы можем признать, что отсутствие верхней оценки для числа бросков могло бы усложнить ситуацию. Однако наверняка можно привести такие варианты этого мысленного эксперимента, в которых не фигурирует бесконечность.

Аргумент, о котором я говорю, известен как «аргумент Судного дня»[155]. Если коротко, он гласит, что вам следует присвоить событию глобального катаклизма в ближайшем будущем гораздо более высокую вероятность, чем вы могли наивно предполагать, по логике именно такого сорта. Можно привести абсолютно финитный вариант аргумента судного дня. Просто представьте для простоты, что существует всего два варианта развития событий: катастрофа скоро и катастрофа не скоро. В одном варианте род человеческий вымирает очень скоро, тогда как в другом он колонизирует Галактику. В том и другом случае мы можем записать число людей, когда-либо существовавших. Для примера скажем, что в случае скорой катастрофы на Земле успело пожить 80 миллиардов человек, а в случае катастрофы отдаленной — 80 квадриллионов. А теперь предположим, что мы находимся в той точке истории, когда число когда-либо живших людей вплотную приблизилось к 80 млрд. Далее приводим, по существу, те же рассуждения, что в варианте с бросанием монетки. Можно сделать рассуждения яркими и интуитивно понятными. Если мы находимся в ситуации «катастрофа не скоро», то громадное большинство всех тех, кто когда-либо жил, родится после нас. Мы находимся в особом положении людей, попавших в первые 80 млрд, — нас можно считать почти что Адамом и Евой! Если оттолкнуться от этого, мы получим гораздо более низкую вероятность варианта «катастрофа не скоро», чем варианта «катастрофа скоро». Если провести байесовский расчет, то выяснится, что если вы наивно считаете оба варианта равновероятными, то чуть позже, применив аргумент Судного дня, вы поймете, что почти наверняка находитесь в ситуации «катастрофа скоро». Ведь если оттолкнуться от ситуации «катастрофа не скоро», то логика подскажет, что мы почти наверняка не оказались бы в особом положении и не попали бы в первые 80 млрд человек.

Возможно, мне стоит немного рассказать об истории вопроса. Аргумент Судного дня был представлен астрофизиком по имени Брэндон Картер в 1974 г. и периодически обсуждался все восьмидесятые годы. Ричард Готт[156], который тоже был астрофизиком, предложил «принцип заурядности»: если рассматривать всю историю рода человеческого с незапамятных времен, то при прочих равных условиях мы должны находиться где-то в середине этой истории. То есть число людей, живших до нас, не должно слишком сильно отличаться от числа людей, которые будут жить после. Если население Земли увеличивается экспоненциально, то это очень плохая новость, потому что тогда людям на свете осталось совсем немного времени. Этот аргумент кажется интуитивно привлекательным, но большинством он был отвергнут, потому что на самом деле он не укладывается в формальные байесовские рамки. Мало того, что неясно, каково априорное распределение, вполне возможно, у вас есть особая информация, указывающая на то, что вы вряд ли окажетесь в серединке.

Так что современный вид аргумента Судного дня, формализованного Бостромом, — это байесовская форма, в которой вы просто считаете, что имеете какую-то априорную информацию о возможных вариантах. Далее аргумент утверждает лишь, что вы должны учитывать собственное существование и корректировать с его учетом априорное распределение. В книге, посвященной этому, Бостром заключает, что вывод из аргумента Судного дня на самом деле зависит от того, как вы разрешите загадку Бога, бросающего монетку. Если вы даете 1/3 в качестве ответа, это соответствует Допущению о самовыборке (Self-Sampling Assumption, SSA), то есть предположению о том, что можно выбрать некий мир согласно априорному распределению, а затем выбрать произвольного человека в этом мире случайным образом. Если избрать этот подход к применению теоремы Байеса, то избежать вывода о конце света в ближайшее время, похоже, будет очень трудно.

Если же вы хотите уйти от такого вывода, то вам потребуется допущение, которое Бостром называет допущением о самоиндикации (Self-Indication Assumption, SIA). Это допущение гласит, что вероятность вашего существования в мире с большим числом обитателей выше, чем с малым. Тогда аргумент Судного дня будет звучать так: если «на самом деле» катастрофа не скоро, то, хотя для вас действительно не слишком велика вероятность попасть в первые 80 млрд, правда также то, что чем больше людей, тем выше вероятность вашего существования. Оба эти допущения компенсируют друг друга и возвращают вас к первоначальному априорному распределению вероятностей между вариантами «катастрофа скоро» и «катастрофа не скоро» — точно так же, как допущение о самоиндикации возвращает нас обратно к вероятности 1/2 в загадке про Бога и монетку.

В этой точке зрения все сводится к тому, какое допущение — SSA или SIA — вы предпочитаете. Существуют возражения против сценария конца света, не признающие ни одного из этих допущений, но и сами эти возражения открыты для различных контраргументов. Одно из самых распространенных возражений против Судного дня состоит в том, что пещерный человек в свое время мог рассуждать точно так же — и был бы совершенно неправ. Проблема с этим возражением в том, что на самом деле аргумент Судного дня учитывает этот эффект. Конечно, некоторые из тех, кто выдвигает этот аргумент, ошибутся, но главное в том, что громадное большинство окажется право.

Студент: Мне кажется, существует противоречие между желанием оказаться правым самому и желанием построить такую политику, которая максимизировала бы число тех, кто оказался прав.

Скотт: Это интересно.

Студент: Я хочу предложить вариант задачи с рыжеволосым человеком в комнате. Предположим, что монетка у Бога не совсем честная, и с вероятностью 0,9 получается один рыжий и много-много зеленоволосых. С вероятностью 0,1 получается один-единственный рыжий. В том и другом случае в комнате у рыжего имеется кнопка. Вы можете нажать на нее, а можете не нажимать. Если зеленоволосых в мире нет, то на нажатие кнопки вы получаете печеньку, а если зеленоволосых много — то удар в лицо. Вы должны решить, стоит ли нажимать кнопку. Если я приму допущение SSA и проснусь рыжим, то мне нужно будет сделать вывод о том, что зеленоволосых не существует и нужно нажать кнопку.

Скотт: Точно. Ясно, что от того, какие вероятности вы присвоите разным состояниям окружающего мира, может зависеть то, какие решения покажутся вам рациональными. В каком-то смысле именно поэтому нас так интересуют эти вопросы.

Существует и другое возражение против аргумента Судного дня; в нем вообще отрицается, что можно говорить о том, что вас случайно выбирают из некоторого класса наблюдателей. «Я не случайный человек, я — это я». В ответ можно сказать, что существуют, безусловно, ситуации, в которых вы воспринимаете себя как случайного наблюдателя. Предположим, к примеру, что существует наркотик, который убивает 99 % тех, кто его принимает, но зато 1 % чувствует себя прекрасно. Готовы ли вы сказать, что, поскольку вы не случайный человек, для вас не имеет значения тот факт, что 99 % людей, попробовав его, погибает? Готовы ли вы его попробовать? Так что во многих случаях вы вполне реально рассматриваете себя как случайную выборку из какого-то распределения людей. Вопрос в том, когда такое допущение работает, а когда нет?

Студент: Мне кажется, существует разница между выборкой из равномерного распределения людей и равномерного распределения по времени. Вы ведь взвешиваете вероятность жить в определенное время в соответствии с численностью населения в это время?

Скотт: Согласен. Временной аспект действительно осложняет ситуацию. Позже мы перейдем к загадкам, в которых нет временного аспекта. Посмотрим, что вы о них скажете.

Студент: А вот еще иногда у меня возникает вопрос: «Почему я человек?» Может быть, я не случайный человек, а случайный фрагмент сознания. В этом случае, поскольку у людей больше мозгового вещества, чем у других животных, то и вероятность быть именно человеком для меня больше.

Скотт: Еще вопрос — выше ли для вас вероятность прожить долго. Продолжать можно до бесконечности. Предположите, что существует множество разных инопланетных существ. Изменит ли это как-то рассуждения по поводу Судного дня? Ведь в этом случае вы почти наверняка вообще не были бы человеком.

Студент: Может быть, вы ведете именно к этому, но мне кажется, что многое здесь сводится к тому, что вы вообще подразумеваете под вероятностью. То ли вы считаете, что кодируете таким образом недостаток информации, то ли события на самом деле могут быть случайными? Что касается аргумента Судного дня, то не сделан ли уже выбор между вариантами «катастрофа скоро» и «катастрофа не скоро»? В ситуации с наркотиком вы могли бы сказать: «Нет, я не случайно выбран, я — это я, но этот конкретный факт обо мне мне неизвестен».

Скотт: Это тоже один из вопросов. Я считаю, что если вы начинаете с теоремы Байеса, то вы, возможно, уже что-то решили про себя. Вы, безусловно, решили, что в принципе имеет смысл присваивать вероятности событиям, о которых идет речь. Даже если мы представим мир как полностью детерминистский и скажем, что все разговоры о вероятностях нужны для кодирования нашей неуверенности, то сторонник байесовского подхода скажет, что именно это вы и должны делать при неуверенности в чем угодно, не важно, по какой причине. У вас должна быть какая-то априорная позиция по возможным ответам, и вы просто присваиваете им вероятности и начинаете их корректировать. Конечно, если вы примете этот взгляд и попытаетесь быть последовательным, то будете попадать в странные ситуации, к примеру, такие.

Как указал физик Джон Баэс, антропные рассуждения чем-то похожи на науку для бедных[157]. Проводя больше экспериментов, можно получить больше информации, верно? Проверка факта собственного существования — эксперимент. который можно проделать без всякого труда. Вопрос в том, что вы можете узнать из результатов этого эксперимента. Судя по всему, существуют ситуации, в которых антропные рассуждения не вызывают возражений и ничему не противоречат. Пример такой ситуации — вопрос о том, почему Земля находится на расстоянии 150 млн км от Солнца, а не на каком-то ином расстоянии. Можно ли вывести 150 млн км как какую-то физическую константу или получить это число из фундаментальных принципов? Кажется очевидным, что нельзя, но кажется очевидным также, что в той мере, в какой для этого вообще может быть объяснение, оно должно звучать так: если бы Земля располагалась намного ближе к Солнцу, на ней было бы слишком жарко, и жизнь не развилась бы, а если бы она располагалась намного дальше, на ней было бы слишком холодно. Это рассуждение называется «принципом Златовласки»: разумеется, жизнь возникнет только на тех планетах, температура на которых годится для жизни. Представляется, что даже если существует крохотный шанс на возникновение жизни на какой-нибудь Венере или на Марсе, вероятность того, что она зародилась бы на планете, расположенной примерно на нашем расстоянии от Солнца, намного-намного выше. Здесь антропный принцип работает.

Но существуют и куда более двусмысленные ситуации. К примеру, физики давно спорят о том, почему постоянная тонкой структуры примерно равна 1/137, а не чему-то еще. На это вполне можно сказать, что если бы она была другой, нас бы здесь не было.

Студент: Здесь что, примерно так же, как в случае с обратно-квадратичной зависимостью в законе всемирного тяготения? Ведь если бы зависимость была хоть немного другой, наша Вселенная выглядела бы совсем иначе, да?

Скотт: Да. Абсолютно верно. Однако в случае гравитации мы можем сказать, что общая теория относительности объясняет обратно-квадратичную зависимость в этом законе как прямое следствие трехмерности нашего пространства.

Студент: Но ведь нам бы не потребовались подобные сложные объяснения, если бы мы ограничились наукой для бедных и сказали бы просто: «Все это объясняется антропным принципом».

Скотт: Именно это тревожит тех, кто выступает против антропного принципа: что люди просто обленятся и решат, что нет нужды экспериментировать, потому что мир таков, каков он есть. Если бы он был иным, мы тоже не были бы собой; мы были бы наблюдателями в каком-то другом мире.

Студент: Но ведь антропный принцип ничего не предсказывает, правда?

Скотт: Верно, во многих случаях как раз это и является проблемой. Этот принцип, судя по всему, не накладывает ограничений на вещи, которых мы еще не видели. Я люблю всякие идеи доводить до абсурда. Представьте, что ребенок спрашивает родителей, почему луна круглая. «Ясно, что если бы луна была квадратная, то ты был бы не ты, а твой двойник в мире с квадратной луной. Принимая во внимание, что ты — это ты, луна, очевидно, должна быть круглой». Проблема в том, что если вы никогда не видели луны, вы не можете ничего предсказать на этот счет. С другой стороны, если бы вы заранее знали, что вероятность развития жизни максимальна для планет с расстоянием 150 млн км от светила, а не, скажем, 500 млн км, то еще до измерения вы могли бы сделать соответствующее предсказание. Кажется, что в некоторых случаях антропный принцип на самом деле позволяет что-то предсказать.

Студент: То есть применять этот принцип следует именно в тех случаях, когда он дает вам конкретные предсказания?

Скотт: Это возможная точка зрения, но что делать, если предсказание не сбывается?

Как уже упоминалось, все эти разговоры и правда кажутся «просто философией». Но можно устроить так, чтобы от подобных рассуждений зависели реальные решения. Может быть, вам приходилось слышать о верном способе выиграть в лотерею: купить лотерейный билет, а если он не выиграет, покончить с собой. Тогда задать вопрос о результате, то есть выяснить, живы вы или нет, вы сможете только при условии, что будете живы; следовательно, раз вы задаете себе этот вопрос, вы, должно быть, живы, и значит, должно быть, выиграли в лотерею. Что вы можете сказать об этом? Вы можете сказать, что в реальной жизни большинство из нас не принимает за аксиому допустимость таких условий, как собственная смерть (или наоборот). Иначе можно было бы прыгнуть с крыши и рассмотреть ситуацию при условии, что где-то по пути вам встретится батут или еще что-нибудь, что вас спасет. Вам приходится учитывать возможность того, что ваш выбор убьет вас. С другой стороны, как ни трагично, но некоторые и правда кончают с собой. Может быть, на самом деле они оказываются именно в такой ситуации? И уничтожают миры, в которых события разворачиваются не так, как им хотелось?

Конечно, в какой-то момент все наши рассуждения вновь возвращаются к теории вычислительной сложности. И в самом деле, некоторые варианты антропного принципа должны сказываться на вычислениях. Мы уже видели, как это может происходить, на примере ситуации с лотереей. Вместо выигрыша в лотерею вы хотите добиться кое-чего большего: решить NP-полную задачу. Для этого вы могли бы воспользоваться тем же подходом. Выбрать случайное решение, проверить, подходит ли оно вам, и если нет, покончить с собой. Кстати говоря, в этом алгоритме есть техническая загвоздка. Видите, какая?

Верно. Если решения нет вообще, то у вас, кажется, возникнут проблемы. С другой стороны, эту загвоздку очень легко устранить: достаточно просто добавить некоторую фиктивную строку вроде ∗n, которая будет работать как карта бесплатного решения всех ваших проблем.

Итак, мы говорим, что существует 2n возможных решений плюс это фиктивное решение, которое выбирается с какой-то крохотной вероятностью вроде 2–2n. Если выбирается это фиктивное решение, то делать ничего не надо. Если нет, то вы кончаете с собой в том и только том случае, если выбранное решение вас не удовлетворяет. При условии, что решения не существует, а вы живы, получается, что вы выбрали фиктивное решение. Иначе если решение существует, то вы почти наверняка выбрали удовлетворительное решение, опять же при условии, что вы живы.

Естественно, на основании этого принципа можно определить класс сложности BPPpath. Вспомните определение BPP: класс задач, решаемых при помощи вероятностного полиномиального по времени алгоритма с ограниченной ошибкой. То есть если ответ на задачу «да», по крайней мере 2/3 траекторий BPP-машины должны принимать, тогда как если ответ «нет», то принимать должны не более 1/3 траекторий. BPPpath — то же самое, за исключением того, что все вычислительные траектории могут иметь разную длину[158]. Все длины должны быть полиномиальными, но могут различаться между собой.

Вот в чем смысл: в классе BPPpath, если какой-то выбор ведет к большему числу различных траекторий, то он и просчитывается большее число раз. Скажем, к примеру, что в 2ⁿ — 1 ветвях мы просто принимаем или отвергаем, то есть машина просто останавливается, но в одной ветви мы будем бросать дополнительные монетки и делать что-то еще. В BPPpath мы можем сделать так, чтобы одна ветвь абсолютно доминировала над остальными. Такой пример показан на рисунке ниже: предположим, мы хотим, чтобы ветвь, окрашенная в серый цвет, доминировала над всеми остальными. Тогда мы можем подвесить целое дерево на эту траекторию, и она будет доминировать над траекториями, которые нам не нужны (окрашены в черный цвет).

Простое рассуждение показывает, что BPPpath эквивалентно классу, который я назову PostBPP (BPP с поствыбором). PostBPP — это опять же множество задач, решаемых полиномиальным по времени вероятностным алгоритмом, где условия приема у вас опять же определяются вероятностями 2/3 и 1/3, но здесь, если вам не нравится выборка случайных битов, вы можете просто покончить с собой. Можно в качестве условия взять такой выбор случайных битов, при котором вы останетесь живы. Физики называют это поствыбором. Вы можете поствыбрать получение случайных битов с каким-нибудь очень специфическим свойством. При условии наличия этого свойства, ответ «да» должен вызывать принятие у 2/3 траекторий, а ответ «нет» — не более чем у 1/3 траекторий.

Если вам нужно формальное определение, то PostBPP — это класс всех языков L, для которых существуют полиномиальные по времени машины Тьюринга A и B (из них A решает, принять или отвергнуть, а B делает постселекцию), такие, что

1. Для любого x ∈ L, Prr[A(x, r)B(x, r)] ≥ 2/3;

2. Для любого x ∉ L, Prr[A(x, r)B(x, r)] ≤ 1/3.

Здесь x — входная строка, а r — строка, которая устанавливает флаг постселекции. В качестве технического условия мы требуем также Pr[B(x, r)] > 0.

Видите, почему это эквивалентно BPP_path?

Во-первых, вот доказательство того, что PostBPP ⊆ BPP_path. Для заданного алгоритма с поствыбором вы делаете множество случайных выборов, и если они вам нравятся, вы делаете еще множество случайных выборов, и этих траекторий становится намного больше тех, в которых случайные биты вам не понравились.

А как насчет обратного утверждения? BPP_path ⊆ PostBPP?

Суть в том, что в BPP_path мы имеем то самое дерево траекторий разной длины. Мы можем дополнить его, чтобы получилось сбалансированное двоичное дерево. Затем мы могли бы воспользоваться поствыбором, чтобы придать всем этим призрачным траекториям устраивающие нас более низкие вероятности, чем имеют траектории истинные, и таким образом смоделировать BPP_path в PostBPP.

Теперь, когда мы знаем, что PostBPP = BPP_path, мы можем задать вопрос о том, насколько велик класс BPP_path. Согласно приведенным ранее рассуждениям, NP ⊆ BPP_path.

С другой стороны, верно ли NP = BPP_path? Конечно, даже если это так, показать это будет трудно. Одна из причин состоит в том, что BPP_path замкнут относительно дополнения. Еще одна причина в том, что он включает в себя BPP. Более того, можно показать, что BPP_path содержит также MA и P||NP (P с параллельными запросами некоторому NP-оракулу, то есть запросами, которые не могут зависеть от ответов на предыдущие запросы). Я оставлю это вам в качестве упражнения. В другом направлении, можно показать, что BPP_path содержится в BPP||NP и, соответственно, в полиномиальной иерархии. Таким образом, согласно гипотезе дерандомизации получаем, что антропный принцип дает нам ту же вычислительную мощность, что и P||NP.

А как насчет верхней оценки? Покажем, что BPP_path ⊆ PP. Принятие решения о том, что делать с входным сигналом — принять или отвергнуть, напоминает экспоненциальную задачу суммирования. Вы можете сказать, что каждая из траекторий, которая является фиктивной, вносит оба варианта — и принятие, и непринятие, тогда как каждая из принимающих траекторий вносит два принятия, а каждая из отвергающих траекторий — два непринятия. В таком случае достаточно просто спросить, чего получается больше — принятий или непринятий. Тем самым мы промоделировали его в PP.

Разумеется, ничто из сказанного не было бы полным, если бы мы не рассмотрели квантовый поствыбор. Именно этим я хотел завершить этот разговор. По прямой аналогии с PostBPP, мы можем определить PostBQP как класс задач принятия решений, решаемых за полиномиальное время квантовым компьютером с возможностью поствыбора. Я имею в виду, что это класс задач, в которых вы должны проводить полиномиальное по времени квантовое вычисление, а затем некоторое измерение. Если вам не нравится результат измерения, вы кончаете с собой и выставляете в качестве условия то, что вы должны остаться в живых.

В PostBQP нам придется определить кое-что немного иначе, потому что там нет аналога строки r. Вместо этого скажем, что следует выполнить некоторое полиномиальное по времени квантовое вычисление, провести измерение, принимающее с вероятностью большей нуля, а затем оговорить условие по результатам этого измерения. Наконец, следует провести следующее измерение редуцированного квантового состояния, которое скажет вам, принять или отвергнуть. Если ответ на задачу «да», то второе измерение должно принимать с вероятностью по крайней мере 2/3 при условии, что первое измерение принимает. Аналогично если ответ на задачу «нет», то второе измерение должно принимать с вероятностью не более 1/3 при условии, что первое измерение принимает.

Далее мы можем спросить, насколько мощным является класс PostBQP. Одна из первых вещей, о которой вы можете сказать, — это то, что, разумеется, PostBPP ⊆ PostBQP. То есть мы можем смоделировать классический компьютер с поствыбором. В другом направлении, мы имеем PostBQP ⊆ PP. Адлеман, Де Маррэ и Хуанг[159] доказали также, что BQP ⊆ PP. В этом доказательстве они, по существу, находят то, что физики называли бы фейнмановским интегралом по траектории, где вы суммируете по всем возможным вкладам в каждую из финальных амплитуд. Это просто большое PP-вычисление. На мой взгляд, Фейнман получил Нобелевскую премию по физике за то, что показал BQP ⊆ PP, хотя сам он это так не формулировал. Во всяком случае, это доказательство несложно обобщить на случай PostBQP ⊆ PP, поскольку для этого нужно просто ограничить суммирование теми траекториями, которые заканчиваются в одном из тех состояний, которые вы поствыбираете. Влияние всех остальных траекторий можно исключить, сделав так, чтобы они вносили равное число плюсов и минусов.

Можно ли смоделировать множественный поствыбор при помощи единственного поствыбора? Еще один серьезнейший вопрос. Ответ: да, можно. Мы приходим к этому при помощи так называемого принципа отложенного измерения, который гласит, что в любом квантовом вычислении мы можем считать без потери общности, что в конце есть лишь одно измерение. Можно смоделировать все остальные измерения при помощи вентилей управляемой инверсии, а затем просто не смотреть на кубиты, содержащие результаты измерения. То же можно сказать и о поствыборе. Все поствыборы можно придержать до конца.

Несколько лет назад я показал, что обратное утверждение тоже верно: PP ⊆ PostBQP[160]. В частности, это означает, что квантовый поствыбор — штука гораздо более мощная, чем классический поствыбор, что кажется удивительным. Классический поствыбор оставляет вас в полиномиальной иерархии, тогда как квантовый поствыбор выводит вас в классы вычислений, которые, как мы считаем, намного больше.

Пробежимся по доказательству. Итак, у нас есть некоторая булева функция f:{0, 1}ⁿ → {0, 1}, где f эффективно вычислима. Пусть s — число входных строк x, для которых f(x) = 1. Наша цель — решить, верно ли, что s ≥ 2^n–1. Очевидно, что это PP-полная задача. Для простоты будем считать без потери общности, что s > 0. А теперь, используя стандартные квантовые вычислительные фокусы (которые я опущу), сравнительно легко подготовить однокубитное состояние вроде

Это означает также, что мы можем подготовить состояние

Это, по существу, условный вентиль Адамара, приложенный к |ψ〉, для некоторых действительных α и β, которые должны быть определены позже. Запишем в явном виде, чему равно H|ψ〉:

Так что теперь я хочу предположить, что мы берем представленное выше двухкубитное состояние и поствыбираем, что второй кубит должен быть 1, а затем смотрим, что при этом получается в первом кубите. Вы можете провести расчет и получить следующее состояние, которое зависит от выбранных ранее значений α и β:

Используя поствыбор, мы можем подготовить состояние такого вида для любых фиксированных α и β, каких нам заблагорассудится. Имея это в виду, как нам смоделировать PP? Мы будем продолжать подготовку различных вариантов этого состояния, изменяя отношение β/α по значениям {2^—n, 2^—n+1, …, 1/2, 1, 2, …, 2ⁿ}. Далее, возможны два случая: либо s < 2^n–1, либо s ≥ 2^n–1. Предположим, верно первое. Тогда s и 2ⁿ — 2s имеют один и тот же знак. Поскольку α и β — действительные числа, состояние |ψα,β〉 лежит на единичной окружности:

Если s < 2^n–1, то при варьировании β/α состояние |ψα,β〉 всегда будет иметь положительную амплитуду как для |0〉, так и для |1〉 (она будет лежать в правом верхнем квадранте). Нетрудно убедиться в том, что в какой-то момент это состояние станет достаточно сбалансированным. То есть амплитуды |0〉 и |1〉 сойдутся в пределы постоянной разницы между ними, как показывает сплошной вектор на рисунке. Если мы будем и дальше измерять эти состояния в базисе {|+〉| — 〉}, то одно из них будет выдавать результат |+〉 с высокой вероятностью.

Во втором случае, где s ≥ 2^n–1, амплитуда |1〉 никогда не бывает положительной, какими бы ни были α и β, тогда как амплитуда |0〉 всегда положительна. Следовательно, состояние всегда остается в правом нижнем квадранте. В этом случае при варьировании β/α в пределах полиномиального числа значений, |ψα,β〉 никогда не подходит близко к |+〉. Это вполне обнаружимая разница.

Итак, я написал об этом, считая, что нашел остроумное доказательство. Годом позже я сообразил, что существует теорема Бейгеля — Рейнгольда — Шпильмана[161], которая показала, что PP замкнут относительно пересечения. Это означает, что если два языка входят в PP, то и язык, полученный из них при помощи операции и, тоже входит в PP. Эта теорема решила задачу, остававшуюся открытой на протяжении 20 лет. Я заметил, что замкнутость PostBQP относительно пересечения тривиальна, потому что если вы хотите найти пересечение двух PostBQP-языков, вам достаточно просто прогнать соответствующие им PostBQP-машины и поствыбрать по условию того, что оба вычисления дадут корректный результат, а затем посмотреть, примут обе машины или нет. Чтобы остаться в пределах нужной ошибки, можно воспользоваться усилением.

Поскольку PostBQP тривиально замкнут относительно пересечения, он обеспечивает альтернативное доказательство замкнутости PP относительно пересечения, намного более простое, как мне кажется, чем первоначальное доказательство. Чтобы получить это более простое доказательство, нужно подумать о квантовом антропном поствыборе. Это напоминает язык программирования высокого уровня для построения «пороговых многочленов», необходимых Бейгелю, Рейнгольду и Шпильману для того, чтобы их теорема работала. Дело просто в том, что квантовая механика и поствыбор дают вам гораздо более интуитивный способ построения этих многочленов.

Позвольте мне привести еще одно интересное следствие теоремы PostBQP = PP, на этот раз для квантовых вычислений. Мы уже видели, что PostBPP = BPP_path входит в полиномиальную иерархию. С другой стороны, предположим, что PostBQP = PP входил бы в полиномиальную иерархию. Тогда P^PP = P^#P также входил бы в PH, но по теореме Тоды (что PH ⊆ P#P) это означало бы, что PH схлопнется до конечного уровня! Так что наш вывод таков: поскольку PH не схлопывается, постольку PostBQP строго больше, чем PostBPP. Да, и квантовый, и классический поствыбор — чертовски мощные инструменты, но мы можем быть совершенно уверены, что квантовая разновидность мощнее! Я бы даже сказал, что мы можем быть намного более уверены в этом неравенстве, чем в более знакомой гипотезе BPP ≠ BQP, которая основана «всего лишь» на штучках вроде предполагаемой классической трудности разложения на простые множители, что вовсе не настолько «прочно», как бесконечность полиномиальной иерархии.

Но говорит ли это хоть что-нибудь о мощности квантовых компьютеров в «реальном» мире в противоположность гипотетическим мирам с поствыбором? Поскольку в первый раз я писал эту главу в 2006 г., за это время произошли некоторые изменения, появилась новая информация; многое указывает на то, что ответ на этот вопрос: да. А именно: Бремнер, Йожа (Джозза) и Шепард (2011)[162] указали, что если из любого распределения, из которого выборка может быть сделана за квантовое полиномиальное время, она может быть сделана также и за классическое полиномиальное время, то PostBPP будет равен PostBQP, а это (согласно приведенным рассуждениям) вызовет коллапс полиномиальной иерархии. Более того, этот вывод верен даже в том случае, когда мы ограничиваем свободу квантовых вычислений и рассматриваем только те распределения, выборку из которых можно сделать чрезвычайно примитивными и почти наверняка неуниверсальными типами квантовых компьютеров. Примером у Бремнера с соавторами служило то, что они назвали «мгновенным квантовым компьютером», способным лишь применять гамильтониан, представляющий собой сумму тензорных произведений операторов Паули с различными подмножествами кубитов. В другой, независимой работе мы с Алексом Архиповым[163] пришли к такому же выводу для линейно-оптических квантовых компьютеров, где единственное, что вам разрешается делать, — это сгенерировать группу идентичных фотонов, прогнать ее через сложную сеть «пассивных оптических элементов» (то есть расщепителей и фазовращателей), а затем подсчитать, сколько фотонов завершили свой путь в каждой возможной точке. В обоих случаях заканчивается все моделью квантовых вычислений, которая, вероятно, не способна реализовать алгоритм Шора, алгоритм Гровера или любой другой «стандартный» квантовый алгоритм и потому не может, вероятно, даже производить универсальные классические вычисления! Тем не менее в этих моделях вы можете легко генерировать выборки из вероятностного распределения, что невозможно эффективно проделать при помощи классического компьютера, если только не выполняется PostBPP = PostBQP и полиномиальная иерархия не схлопывается. Более того, с технической точки зрения эти модели может оказаться проще реализовать, чем универсальные квантовые вычисления[164].

На данный момент крупнейший теоретический вызов в этой области состоит в том, чтобы показать: даже если классический компьютер мог бы генерировать выборки из приблизительно того же распределения вероятностей, что и квантовый компьютер, то это все же привело бы к схлопыванию полиномиальной иерархии. Главное, что сделали в своей статье мы с Архиповым, — это привели свидетельства в пользу того, что даже это более сильное заявление верно. Но чтобы сделать его строгим, потребуется, судя по всему, серьезное продвижение в классической теории сложности, обращения к теореме PostBPP = PostBQP будет уже недостаточно. На случай, если вам это интересно, мы с Архиповым нашли, что достаточно было бы доказать, что оценка перманента матрицы размера n × n из независимых комплексных гауссовых элементов с высокой вероятностью над матрицей есть #P-полная задача. Уже известно, что аппроксимация перманента произвольной комплексной матрицы есть #P-полная задача и что точное вычисление перманента гауссовой случайной матрицы также #P-полная задача. Так что осталось «только» показать, что задача по-прежнему будет #P-полна даже после того, как мы совместим в ней аппроксимацию и средний случай!

Осталось только дать вам пару загадок, чтобы не было скучно. Мы обсуждали временной аспект и как он вносит дополнительную путаницу в аргумент Судного дня. Одна загадка никак не связана с этим, но тоже внушает тревогу. Эта загадка — тоже авторства Бострома — называется «самонадеянные философы». Представьте, что физики ограничили выбор теории всего и свели его к двум априорно равновероятным вариантам. Главная разница между ними состоит в том, что Теория 1 утверждает, что Вселенная в миллиард раз больше, чем по Теории 2. В частности, считая, что Вселенная относительно однородна (с чем согласны обе гипотезы), Теория 2 предсказывает существование в ней в примерно в миллиард раз больше разумных наблюдателей. Поэтому физики планируют построить огромный ускоритель частиц, чтобы различить две теории; понятно, что проект этот будет стоит много миллиардов долларов. И тут приходят философы и говорят, что Теория 2 верна с вероятностью миллиард к одному, поскольку при условии верности этой теории вероятность нашего существования тоже в миллиард раз больше. Вопрос в том, надо ли давать философам Нобелевскую премию по физике за это «открытие».

Конечно, то, что философы в данном случае опускают, это допущение самоиндикации. Именно сюда приводит нас следование SSA и SIA. SSA — прямой путь к аргументу Судного дня, а SIA — дорога к самонадеянным философам. Похоже, что какой бы вариант вы ни выбрали, следствие получится жутковатое.

Наконец, если мы хотим совместить идею антропных вычислений с аргументом Судного дня, то вот вам загадка Адама и Евы. Предположим, что Адам и Ева — это первые двое наблюдателей и что они очень хотели бы решить какую-нибудь реализацию NP-полной задачи, скажем 3-SAT. Для этого они выбирают некоторое случайное размещение и заранее формируют очень четкое намерение: в случае, если это размещение окажется приемлемым, они не будут заводить детей, а если неприемлемым, то начнут плодиться и размножаться. Примем подход SSA. Тогда, при условии, что выбранное размещение неприемлемо, какова вероятность того, что это именно Адам и Ева а не какие-то из громадного числа будущих наблюдателей? Если предположить, что в конце концов у них будет, скажем, 2²ⁿ потомков, то вероятность этого, судя по всему, будет не больше 2^–2n+1. Таким образом, если поставить условием тот факт, что они и есть двое первых наблюдателей, то SSA предсказывает, что с ошеломляющей вероятностью они выберут приемлемое размещение. Если же вы убежденный байесист, вы можете выбрать SSA или SIA по собственному желанию — и в любом случае смириться с последствиями своего выбора!