Итак, вопрос не в том, можем ли мы найти стохастическое преобразование S(|ψ〉, U), отображающее начальное распределение на конечное. Конечно, можем! Вопрос скорее в том, можем ли мы найти стохастическое преобразование, удовлетворяющее «хорошим» свойствам. Но какие «хорошие» свойства нам могут понадобиться? Я сейчас собираюсь предложить вам четыре возможных требования и затем показать, что, увы, ни одно из них невозможно удовлетворить. Смысл этого упражнения в том, что по пути мы очень много узнаем о том, чем квантовая механика отличается от классической теории вероятностей. В частности, мы узнаем о теореме Белла, теореме Кохена — Спекера и еще о двух запрещающих теоремах, не имеющих, насколько мне известно, названий.

1. Независимость от состояния. Ну хорошо, вспомним, о чем мы только что говорили: дана унитарная матрица U и квантовое состояние |ψ〉, и мы хотим соорудить стохастическую матрицу S = S(|ψ〉, U), отображающую распределение, полученное при измерении |ψ〉, на распределение, полученное при измерении U|ψ〉.

Первое свойство, которого мы могли бы захотеть — это чтобы S зависела только от унитарной U, но не от состояния |ψ〉. Однако несложно понять, что это невозможно. Ибо если мы возьмем

то из

следует

тогда как из

следует

Следовательно, S должна быть функцией U и |ψ〉 одновременно.

2. Инвариантность относительно квантования времени. Второе свойство, которое нам могло бы понадобиться в теории скрытых параметров, — это инвариантность относительно квантования времени. Это означает, что если мы проводим два унитарных преобразования U и V последовательно, то мы должны получать один и тот же результат как при применении теории скрытых параметров к VU, так и при применении ее к U и к V по отдельности с последующим перемножением результатов. (Грубо говоря, преобразование унитарной матрицы в стохастическую должно быть «гомоморфным».) Говоря формальным языком, нам нужно, чтобы

S(|ψ〉, VU) = S(U|ψ〉, V) S(|ψ〉, U).

Но здесь опять же можно показать, что это невозможно, за исключением «тривиального» случая, когда S есть преобразование произведения Sprod, разрушающее всякие корреляции между начальным и конечным моментами времени.

Чтобы убедиться в этом, обратите внимание на то, что для всех унитарных преобразований W и состояний |ψ〉 мы можем записать W как произведение W = VU таким образом, что U|ψ〉 равняется фиксированному базисному состоянию (|1〉, к примеру). Тогда применение U «стирает» всю информацию о начальной величине скрытого параметра, так что если мы позже применим V, то конечная величина скрытого параметра не должна коррелировать с ее начальной величиной. Но это означает, что S(|ψ〉, VU) равняется S_prod(|ψ〉, VU).

3. Независимость от базиса. Когда я определял теории скрытых параметров, некоторые из вас, вероятно, задавались вопросом: почему мы должны интересоваться только результатами измерений в каком-то конкретном базисе, если можно с тем же успехом выбрать любой другой базис? Так, к примеру, если мы собираемся сказать, что частица имеет «истинное, настоящее» положение еще до какого бы то ни было измерения, то разве не должны мы сказать то же самое и об импульсе частицы, и о ее спине, и об энергии, и обо всех остальных наблюдаемых ее свойствах? Что выделяет именно координату, что делает ее более «реальной», чем все остальные характеристики частицы?

Прекрасный вопрос! Увы, выясняется, что мы не можем присвоить определенные значения всем возможным свойствам частицы никаким «непротиворечивым» способом. Иными словами, мы не можем не только определить переходные вероятности для всех свойств частицы, мы не можем даже работать со всеми ее свойствами одновременно в любой отдельно взятый момент времени!

Это замечательный (хотя и тривиальный с математической точки зрения) вывод из теоремы Кохена — Спекера[93], которую Саймон Кохен и Эрнст Спекер доказали в 1967 г. Формально эта теорема гласит: предположим, что для некоторого ортонормального базиса B в R3 Вселенная хочет «предвычислить», каков будет результат измерения в этом базисе. Иными словами, Вселенная хочет выбрать в B один из трех векторов, назначить его «меченым» вектором и выдать этот вектор позже, если кто-то проведет измерение в базисе B. Естественно, меченые векторы в разных базисах должны «соответствовать» друг другу. То есть если два базиса имеют общий вектор, к примеру, так:

то общий вектор должен быть меченым вектором в одном базисе тогда и только тогда, когда он же является меченым вектором в другом.

Кохен и Спекер доказали, что это невозможно. Чтобы сделать это, они явным образом построили набор из 117 базисов (!) в R³, такой, что в нем невозможно непротиворечивым образом выбрать меченые векторы для всех базисов.

Замечание педанта: число 117 с тех пор было улучшено до 31; посмотреть пример можно по ссылке[94]. Очевидно, вопрос об оптимальности такого решения до сих пор открыт; лучшая нижняя оценка, упоминания о которой мне попадались, равна 18.

Главный вывод здесь в том, что любая теория скрытых параметров должна быть, как говорят специалисты, контекстозависимой. То есть хочешь не хочешь, но иногда ее ответ будет зависеть от базиса, в котором вы измеряете, без всяких претензий на то, что при измерении в другом базисе, также содержащем этот ответ, ответ окажется тот же.

Упражнение. Докажите, что в двух измерениях теорема Кохена — Спекера неверна.

4. Релятивистская причинность. Последнее свойство, которое может нам понадобиться от теории скрытых параметров, — это приверженность «духу» специальной теории относительности Эйнштейна. Для наших целей я определю это понятие как состоящее из двух вещей.

1) Локальность. Речь идет о том, что если у нас есть квантовое состояние |ψ_AB〉 на двух подсистемах A и B и мы применяем унитарное преобразование U_A, которое действует только на систему A (то есть на B является тождественным), тогда преобразование скрытых параметров S(|ψ_AB〉, U_A) также должно действовать только на систему A.

2) Коммутативность. Это означает, что если у нас есть состояние |ψ_AB〉 и мы применяем унитарное преобразование U_A только к системе A, а затем другое унитарное преобразование U_B только к системе B, то результирующее преобразование скрытых параметров должно быть таким же, как если бы мы сначала применили U_B, а затем U_A. Формально мы хотим, чтобы

S(U_A|ψ_AB〉, U_B) S(|ψ_AB〉, U_A) = S(U_B|ψ_AB〉, U_A) S(|ψ_AB〉, U_B).

Далее, вы, вероятно, слышали о такой штуке как неравенство Белла. Оказывается, неравенство Белла не вполне исключает теории скрытых параметров, удовлетворяющие двум приведенным выше аксиомам, однако если слегка усилить то, что доказал Белл, дело будет сделано.

Что же такое неравенство Белла? Ну, если поискать ответ на этот вопрос почти в любой популярной книге или почти на любом сайте, то обнаружатся многие страницы текста об источниках запутанных фотонов, приборах Штерна — Герлаха и т. п. с безусловно очень полезными для понимания подробными экспериментальными графиками. Разумеется, все это необходимо, — ведь если убрать все сложности, то читатели, чего доброго, и в самом деле ухватят концептуальный смысл!

Однако я не член гильдии физиков-популяризаторов и потому намерен сейчас нарушить этот неписанный профессиональный закон и просто коротко рассказать вам суть дела.

У нас есть два игрока, Алиса и Боб, и играют они в следующую игру. Алиса бросает честную монетку; затем, в зависимости от результата, она может либо поднять руку, либо нет. Боб бросает другую честную монетку; затем, в зависимости от результата, он тоже может либо поднять руку, либо нет. Оба игрока хотят, чтобы ровно один из них поднял свою руку в том и только том случае, когда на обеих монетках выпал орел. Если это условие выполнено, они выигрывают; если нет, проигрывают. (Это игра на сотрудничество, а не состязание между игроками.)

Теперь в чем состоит проблема: Алиса и Боб находятся в запертых комнатах (а может, вообще на разных планетах) и не могут сообщаться между собой в ходе игры.

Нас интересует следующий вопрос: какова максимальная вероятность, с которой Алиса и Боб могут выиграть в такой игре?

Ну, наверняка они могут выигрывать в 75 % партий. Почему?

Верно: они оба могут принять простое решение и никогда не поднимать рук, вне зависимости от того, какой стороной выпадают их монетки! В этом случае единственный случай, при котором они проиграют, — это если обе монетки упадут орлом кверху.

Упражнение. Докажите, что это оптимальный вариант. Иными словами, любая стратегия Алисы и Боба будет выигрывать не более чем в 75 % случаев.

Теперь главное: предположим, что Алиса и Боб имеют общее запутанное состояние

причем одну половину его держит Алиса, а другую — Боб. В этом случае существует стратегия[95], при помощи которой они могут выигрывать с вероятностью

Для ясности уточним: обладание состоянием |Φ〉 не позволяет Алисе и Бобу обмениваться сообщениями быстрее чем со скоростью света; способа делать это вообще не существует! Однако это состояние позволяет им выигрывать в данной конкретной игре более чем в 75 % случаев. Мы могли бы наивно предположить, что для этого Алиса и Боб должны «жульничать», обмениваясь сообщениями, но это вовсе не так — они могут жульничать и при помощи запутанного состояния!

Итак, это было неравенство Белла.

Но какое отношение эта глупая примитивная игра имеет к скрытым параметрам? Предположим, мы попытались смоделировать измерения Алисой и Бобом состояния |Φ〉 с использованием двух скрытых параметров: одного на стороне Алисы и одного на стороне Боба. Предположим также, что в соответствии с релятивистской причинностью мы потребуем, чтобы ничто происходящее со скрытым параметром Алисы не могло повлиять на скрытый параметр Боба или наоборот. В таком случае мы должны предсказать, что Алиса и Боб могут выиграть не боле чем в 75 % случаев. Но это предсказание будет ошибочным!

Из этого следует, что если мы хотим согласовать любую теорию скрытых параметров с квантовой механикой, то она должна допускать «мгновенную связь» между любыми двумя точками во Вселенной. Опять же это не означает, что сама квантовая механика допускает мгновенную связь (это не так) или что мы можем использовать скрытые параметры для отправки сообщений быстрее скорости света (этого мы не можем). Это означает лишь, что если мы считаем нужным описывать квантовую механику с использованием скрытых параметров, то наше описание непременно должно включать мгновенную связь.

Упражнение. Обобщите аргумент Белла, чтобы показать, что не существует теории скрытых параметров, которая удовлетворяла бы приведенным выше аксиомам локальности и коммуникативности.

Итак, из игры Алисы и Боба с бросанием монетки мы узнали, что любая попытка описать квантовую механику посредством скрытых параметров обязательно приведет к трениям с теорией относительности. Опять же все это не имеет никаких экспериментальных последствий, поскольку теория скрытых параметров вполне может нарушать «дух» теории относительности, подчиняясь в то же время ее «букве». И правда, поклонники скрытых параметров любят заявлять, что мы занимаемся только тем, что раскапываем подавленные семейные противоречия между теорией относительности и квантовой механики!