Какое отношение все это имеет к квантовой механике? Сейчас я сделаю героическую попытку обозначить для вас эту связь. До сих пор я старался убедить вас, что, если мы хотим считать мир непрерывным, это порождает глубочайшие сложности. Возьмите, к примеру, ручку: сколько различных позиций она может занимать на поверхности стола? ℵ1? Больше, чем ℵ1? Меньше, чем ℵ1? Мы не хотим, чтобы ответы на «физические» вопросы зависели от аксиом теории множеств!
Ах, вы говорите, что мой вопрос не имеет физического смысла, поскольку положение ручки невозможно измерить с бесконечной точностью? Конечно, но дело в том, что, для того чтобы сделать само это утверждение, нужна физическая теория!
Конечно, само название квантовой механики проистекает из того факта, что многие наблюдаемые величины в этой теории, как, например, энергетические уровни, дискретны — «квантованы». Это кажется парадоксальным, поскольку один из критических аргументов, выдвигаемых кибернетиками против квантовых вычислений, состоит в том, что последние, на их взгляд, являются непрерывной моделью вычислений!
Лично моя точка зрения состоит в том, что квантовую механику, как и классическую теорию вероятностей, следует рассматривать как в своем роде «промежуточную» между непрерывной и дискретной теорией. (Здесь я предполагаю, что гильбертово пространство[14] и пространство вероятностей имеет конечную размерность.) Я имею в виду, что, хотя непрерывные параметры существуют (соответственно амплитуды и вероятности), эти параметры невозможно наблюдать непосредственно, и это, в частности, «заслоняет» нас от странной вселенной аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Нам не нужна разработанная физическая теория, чтобы признать физически бессмысленными вопросы о том, являются ли амплитуды рациональными или иррациональными и существует ли больше или меньше ℵ1 возможных амплитуд. Это непосредственно следует из того факта, что если бы мы хотели узнать точное значение амплитуды, то (даже если забыть об ошибках!) нам потребовалось бы измерить соответствующее состояние бесконечное число раз.