Из-за многочисленных слияний черных дыр при сжатии Вселенной значительная часть их массы должна перейти в гравитационные волны. Согласно Эйнштейну (1919, 1953), Эддингтону (1934), Шрёдингеру (1986), Anderson (2018) и другим авторам, гравитационная масса Вселенной будет уменьшаться при генерации гравитационного излучения. Kutschera (2003) получил в приближении слабого поля модифицированную метрику Шварцшильда для переменной гравитационной массы расширяющегося файрбола:

, (1)

где

, (2)

а является переменной гравитационной массой, поле которой описывается запаздывающим потенциалом с . Kutschera (2003) сделал вывод, что уменьшение гравитационной массы файрбола порождает монопольную гравитационную волну. Gorkavyi & Vasilkov (2016) рассмотрели квазисферическую систему с переменной массой, состоящую из многих излучателей гравитационных волн, и независимо получили аналогичную метрику пространства-времени. Отметим, что теорема Биркгофа, на которую нередко ссылаются в качестве аргумента против существования монопольной гравитационной волны, не применима к системам с гравитационным излучением, не обладающим строгой сферической симметрией (Синг, 1960). Получим нулевую компоненту метрического тензора из метрики (1), следуя вычислениям Gorkavyi & Vasilkov (2016). Запишем уравнения Эйнштейна в следующем виде (см., например, монографию Вайнберга, 1975):

, (3)

где слева стоит тензор Риччи, составленный из вторых производных метрического тензора g_mn, а справа — комбинация из g_mn и тензора энергии-импульса материи T_mn, в который не включается энергия гравитационного поля или излучения (Эйнштейн, 1919, 1953).

Рассмотрим квазисферическую систему, которая содержит большое количество сливающихся черных дыр, генерирующих гравитационное излучение. Для слабого внешнего гравитационного поля этой системы: g_mn  _mn + h_mn, где _mn — тензор Минковского для плоского пространства-времени и h_mn ≪ _mn. Запишем уравнение Эйнштейна для слабого поля в хорошо известном виде (Ландау и Лившиц, 1973; Вайнберг, 1975):

, (4)

где

(5)

Решением волнового уравнения (4) является запаздывающий потенциал (Вайнберг, 1975; Мизнер, Торн, Уилер, 1977; Ландау и Лифшиц, 1973), в который входит переменная гравитационная масса, проинтегрированная по объему V_*:

(6)

Пренебрегая скоростями движения тел по сравнению со скоростью света, нулевую компоненту тензора S₀₀ запишем в простом виде:

(7)

Для массы системы, занимающей компактный объем с радиусом r_* ≪ r, запишем:

(8)

Из (6) — (8) получим для нулевой компоненты h₀₀:

(9)

Это даст искомую нулевую компоненту метрического тензора из метрики (1) — (2):

(10)

Хотя выражение (10) похоже на нулевую компоненту тензора из метрики Шварцшильда, оно описывает более сложный случай переменной гравитационной массы и зависит от запаздывающего потенциала. Можно рассматривать выражения (1), (2), (10) как модифицированную метрику Шварцшильда. Мы также будем называть ее метрикой Кутчеры.

Gorkavyi & Vasilkov (2016) вычислили и исследовали гравитационное ускорение для метрики Кутчеры (1) — (2). Запишем с учетом (10) выражение для гравитационного ускорения F (t, r) в случае слабых полей и медленных движений (Вайнберг, 1975):

(11)

или, после дифференцирования:

(12)

В (12) первый член справа характеризует всегда отрицательную ньютоновскую силу, описывающую только притяжение, которое в рассматриваемом случае может меняться по величине со временем из-за вариаций массы. Если рассмотреть, например, Солнечную систему, где орбита планеты определяется на ньютоновском языке равновесием гравитационной и центробежной сил, то уменьшение ньютоновского члена из-за уменьшения гравитационной массы должно вызывать смещение планеты наружу из-за избытка центробежной силы. Этот эффект иногда ошибочно рассматривается как антигравитация, хотя никакой отталкивающей гравитационной силы здесь нет. Отметим, что уравнение (12) не включает центробежных ускорений, поэтому не может описывать нарушение баланса между гравитационной и центробежной силами. При этом второй член в правой части (12) принципиально отличен от члена ньютоновского притяжения: он зависит от скорости изменения массы и может менять свой знак.

Опишем переменную массу M функцией, которая в зависимости от знака показателя α может описывать как уменьшение, так и увеличение массы:

(13)

Для функции (13) выведем из (12) следующее выражение для гравитационного ускорения (простым способом оно было получено в заметке Gorkavyi, 2003):

(14)

При α > 0 (уменьшение массы) новый член гравитационного ускорения описывает антигравитацию, а при α < 0 (увеличение массы) — гипергравитацию. Отметим, что новый член (14), в отличие от обычного ньютоновского члена гравитации, имеет релятивистский характер и в классическом пределе (при устремлении скорости света c к бесконечности) исчезает. Так как новый член слабее зависит от расстояния — как r ^–1, а не r ^–2, как у ньютоновского притяжения, то новая сила должна доминировать на космологических масштабах. Подчеркнем, что никаких центробежных сил уравнение (14) не включает, поэтому бессмысленны попытки интерпретировать обсуждаемую антигравитацию как проявление центробежных эффектов. Также неверно рассматривать уменьшение ньютоновского притяжения как антигравитацию, потому что эффект уменьшения ньютоновской силы описывается в (14) классическим отрицательным членом с r ^–2, то есть он при любых изменениях гравитирующей массы описывает только притяжение.

Проясним физический смысл уравнения (14), записав гравитационное ускорение через квазиньютоновский потенциал ϕ (Gorkavyi, 2003):

(15)

После дифференцирования потенциала ϕ получим выражение (14). Как нетрудно показать из анализа нового потенциала (15), антигравитация возникает тогда, когда склон потенциала направлен не внутрь, как в случае ньютоновского притяжения, а наружу: потенциал образует не воронку, а пик (см. Gorkavyi & Vasilkov, 2016; а также главу 10 основной части книги).

Отметим, что формула для гравитационного ускорения, использованная в (11), является классическим выражением для случая слабых полей и медленных скоростей. Поэтому, как детально показали Gorkavyi & Vasilkov (2016), данная антигравитация, которая определяется переменностью гравитационной массы, не имеет никакого отношения к координатной антигравитации, которую обсуждают Hilbert (1917) и ряд других авторов и которая, с одной стороны, фиктивна, а с другой — появляется лишь возле радиуса Шварцшильда и на скоростях, близких к скорости света.

Можно предположить, что новый член уравнения (14), который описывает антигравитацию при уменьшении гравитационной массы, отвечает за механизм Большого взрыва. Насколько реалистичны условия, при которых обсуждаемая антигравитация будет сильнее гравитационного притяжения?

Рассмотрим Вселенную с массой M и радиусом R, которая, коллапсируя, уменьшает свою массу из-за превращения ее в гравитационное излучение. Умножим выражение (13) на c ² и продифференцируем:

, (16)

где E — энергия гравитирующей материи. Из уравнения (14) с учетом (16) получим условие доминирования антигравитации над притяжением:

(17)

Хотя это условие было получено формально для случая слабых полей, можно ожидать, что оно будет выполняться для любых полей, потому что аналогичная формула получается и из квази-ньютоновских уравнений (15), на которые не накладывались какие-либо ограничения (Gorkavyi, 2003). Для оценки излучения системой гравитационных волн можно воспользоваться общим выражением для мощности излучения (Мизнер, Торн, Уилер, 1977):

(18)

Здесь мы ввели параметр несферичности S, который равен нулю для идеально сферической системы и S  1 для системы типа двойной звезды. Отметим сильную зависимость мощности гравитационного излучения от радиуса R ^–5 — гораздо сильнее, чем зависит от этих параметров ньютоновская гравитационная сила. Тем самым последняя будет безусловно проигрывать при коллапсе, стремящемся к достижению малых радиусов. Подставим (18) в (17) и получим условие доминирования антигравитации, если гравитационное излучение порождает достаточное уменьшение гравитационной массы:

(19)

Легко заметить, что это условие с точностью до коэффициента 2 и параметра S совпадает с условием нахождения внутри черной дыры:

(20)

Рассмотрим S — параметр несферичности. Как показано во многих работах, гравитационный коллапс приводит к нарастанию несферичности (см. книгу Ландау и Лившица, 1973, и ссылки в ней). Физический смысл неустойчивости, приводящей к росту несферичности, можно изложить и на ньютоновском языке: малые флуктуации поверхности коллапсирующего шара будут неустойчивы из-за растяжения приливными силами, которые растут как R ^–3 — то есть тоже быстрее, чем рост гравитационного притяжения R ^–2.

При сжатии Вселенной со 100 миллиардов световых лет до 10 световых лет ее радиус сокращается на 10 порядков (Вайнберг, 1975), увеличивая левую часть условия (20) на 40 порядков, поэтому можно предположить, что при любой степени несферичности S условие (20) будет непременно выполнено.

Эти процессы должны протекать в черной дыре любого размера, что снимает общую проблему сингулярности: каждая система внутри радиуса Шварцшильда при сжатии испаряется в гравитационные волны и генерирует мощные силы отталкивания раньше, чем достигает сингулярности. Отметим, что это не противоречит теоремам Пенроуза — Хокинга, которые не применимы для систем с антигравитацией или положительной космологической постоянной (Hawking & Penrose, 1970).

Следовательно, Вселенная при коллапсе может сгенерировать достаточное количество гравитационного излучения, что вызовет быстрое уменьшение гравитационной массы, сопутствующую мощную антигравитацию и обратный разлет сжатой и горячей Вселенной. Ускоренное расширение должно приводить к тем же эффектам сглаживания начальных неоднородностей Вселенной, что и инфляционное расширение. Тем самым плодотворная идея ускоренного расширения Вселенной на ранних стадиях сохраняется в новой модели, переходя с гипотетических квантовых полей и микроскопических масштабов на классическое гравитационное поле (или искривление пространства) и астрономические масштабы.

Переменность гравитационной массы приводит к новой интерпретации величины c ⁵/G из (18) и (19), которая обычно рассматривается как предельная мощность гравитационного излучения (Мизнер, Торн, Уилер, 1977). Если взять выражение для массы черной дыры и продифференцировать его по времени, то получим

(21)

Переходя к энергии E  Mc² и полагая, что максимальная скорость изменения радиуса равна скорости света, получим

(22)

Таким образом, величина c ⁵/G характеризует такую скорость изменения массы (или энергии) черной дыры, при которой скорость изменения ее радиуса достигает скорости света. Речь может идти как о росте, так и об уменьшении массы. В последнем случае возникает интересный вопрос о возможности выхода вещества из-под горизонта событий, если он будет сокращаться со сверхсветовой скоростью. Теоретически сверхсветовое движение радиуса Шварцшильда не запрещено специальной теорией относительности, потому что граница черной дыры не является материальным объектом и может двигаться с произвольной скоростью.

Следовательно, переменность гравитационной массы, которая появилась благодаря корректному учету энергии гравитационных волн, решает проблему гравитационных сингулярностей — как космологической, так и внутри черных дыр. Эти расчеты свидетельствуют в пользу модели Вселенной, осциллирующей в черной дыре, которая развивается в работах Patria, 1972; Stuckey, 1994; Poplawski, 2016 и в данной книге.