Пока противостояние с Брауэром накаляется, Гильберт начинает читать цикл лекций об основаниях математики и своих новых идеях. Он разделяет математику на классические разделы и новую часть, основанную на его формалистском подходе и теории доказательств; в 1923 году он называет ее «метаматематикой», поскольку она изучает саму математику как объект. Это не просто бессмысленное упражнение. В конечном счете она окажется бесценной для практических приложений. Но главная цель Гильберта – обеспечить математике незыблемый фундамент. С его теорией доказательств, утверждает он, это будет достижимо.
Наконец, он разрабатывает то, что станет известно как «программа Гильберта», – сложный и амбициозный набор целей, включающий восемь этапов наступления для освобождения всех ветвей математики от противоречий. Начиная с базовой логики и вычислений, переходя к теории чисел и теории множеств и заканчивая высшей математикой – это был победоносный план с охватом в духе «зацепить локтем Ла-Манш», что от зависти покраснел бы даже великий стратег генерал Альфред фон Шлиффен.
В 1925 году Гильберт представляет зрелую форму своей программы в научной статье. «Окончательное прояснение природы бесконечного стало необходимым, – пишет он в начале, – не просто для частных интересов отдельных наук, но ради чести самого человеческого разума».
Здесь стоит сделать паузу и рассмотреть одну из самых примечательных особенностей Гильберта – его взгляды на бесконечность. Обычно в философии «финитистом» считают того, кто прямо отвергает понятие любой актуальной бесконечности. В практической жизни мы все финитисты, поскольку проживаем лишь малое, временное существование в огромной, но все же конечной Вселенной. Мы разыгрываем карты нашей жизни под неумолимое тиканье часов, сталкиваясь с реальными, конкретными ограничениями на каждом этапе.
Математик-финитист полагает, что реальны лишь те математические утверждения, которые можно доказать за конечное число шагов. Но Гильберт в некотором смысле парадоксальный финитист – он является им лишь постольку, поскольку им не является. Он верит, что по существу все можно доказать чисто конечным, ограниченным способом. Но именно здесь он натыкается на то же серьезное препятствие, которое не давало покоя математикам тысячелетиями: как обращаться с бесконечностью. Как можно манипулировать, обрабатывать и доказывать вещи, связанные с бесконечными совокупностями, используя чисто финитные средства?
«Согласно Гильберту, самым уязвимым местом в крепости математики была бесконечность, – напишет американский математик Стив Симпсон в 1988 году. – Чтобы защитить основания математики, необходимо было прежде всего прояснить и оправдать использование математиками бесконечного».
И почему бы нет? В 1920-х годах физика переживала революцию, так почему бы и математике не пережить ее? Квантовая теория показала, что энергия на субатомном уровне не непрерывна, а дискретна, конкретна и квантована. Теория относительности искривила свет и пространство до неузнаваемости. А теория Большого взрыва вскоре предположит, что пространство, время и сама Вселенная вовсе не бесконечны, а подчиняются классическому сюжету: начало, середина и конец. Согласно Симпсону, это приводит Гильберта к выводу, что «бесконечность не соответствует ничему в физическом мире».
Так какой способ уловить бесконечность может быть лучше, чем маленький бессмысленный значок на странице? Единственная проблема – и ключ к успеху, как знает Гильберт, – это поиск «доказательства непротиворечивости». Нужно показать, что доказательства с участием бесконечных множеств можно подтвердить, сведя их к бессмысленным значкам на бумаге и манипулируя ими исключительно финитными методами. Дайте доказательство этого – и бац! Дело сделано.
Если он сможет это сделать, напишет Симпсон в 1988 году, это покажет, «что финитистски значимые конечные формулы инфинитистских доказательств истинны в реальном мире». Это будет означать, что он проложил путь к доказательству чего угодно, создал прочный фундамент для математики и выиграл Великую математическую войну.
Однако не все согласны с этой идеей – и меньше всего Брауэр. Гильберт был убежден: дайте только время и силы, докажите непротиворечивость – и мы решим любую задачу. Брауэр же смотрел на вещи прагматично, если не сказать с кислой миной. Его настрой напоминал «торжествующий пессимизм» физиолога Эмиля дю Буа-Реймона, философию которого Гильберт на дух не переносил.
Брауэр твердо верит, что некоторые утверждения доказать невозможно. «В математике нет уверенности, вся ли логика допустима, – говорит Брауэр, – и нет уверенности, можно ли решить, вся ли логика допустима». Иными словами, мы не знаем, и в некоторых случаях не можем знать. А в конечном счете мы можем даже не знать, способны ли мы знать. (Это напоминает слова о «неизвестных неизвестных» бывшего министра обороны США Дональда Рамсфелда.)