Многие по сей день считают эту лекцию одним из величайших достижений Гильберта – удивительное утверждение, если учесть, сколько важных оригинальных идей он внесет в математику в грядущие десятилетия. Его именем названы десятки концепций, используемых сегодня: гильбертовы пространства, неравенства Гильберта, преобразования Гильберта, инвариантные интегралы Гильберта, теорема Гильберта о неприводимости, аксиомы Гильберта, гильбертовы поля классов и многое другое.
За следующие 30 лет у Гильберта защитятся около 40 докторантов. Для многих из них он останется самым великим математиком в их жизни. Взять хотя бы немецкого физика Макса фон Лауэ. Он ставил гений Гильберта выше своего собственного, хотя сам в 1914 году получил Нобелевскую премию за открытие дифракции рентгеновских лучей в кристаллах. Это открытие породило структурную биологию и химию и легло в основу современных методов создания лекарств. Но при всем своем блеске и успехе фон Лауэ признавал истинным гением именно Гильберта. «В моей памяти он остался, пожалуй, величайшим гением, которого мне довелось лицезреть», – говорил он.
Друзья и ученики говорили, что над Давидом Гильбертом никогда не заходит солнце, – и восход начался именно тем знойным утром в Париже.
Влияние речи Гильберта трудно преувеличить. В начале 1970-х Американское математическое общество провело целый симпозиум в Университете Северного Иллинойса, посвященный наследию этих проблем (изначально их было 10, но ко времени публикации статьи несколько месяцев спустя список расширился до 23). Итог конференции в Де-Калбе: проблемы породили «изобилие» новых методов и открытий. Именно этого Гильберт и добивался.
Сегодня, по сути, большинство его проблем решены – или же доказано, что они не имеют решения. Один из учеников Гильберта представил первое решение одной из 23 проблем спустя всего пару месяцев после лекции – это была сложная гипотеза о том, как разрезать тетраэдр, чтобы превратить его в куб. В последующие десятилетия решалось все больше проблем. Истории некоторых решений очень увлекательны. Вот несколько примеров.
Тринадцатая проблема Гильберта покорилась группе советских математиков, включая Владимира Игоревича Арнольда, который в послевоенные годы был 19-летним студентом МГУ. Эта проблема ищет нечто похожее на решение квадратного уравнения, но применимое ко всем многочленам, а не только к функциям двух переменных. Ее решение стало пропагандистской победой Советского Союза и подняло авторитет Арнольда – по крайней мере, на первых порах. Позже, в 1960-х, он впадет в немилость властей, когда подпишет письмо в защиту диссидентов. (Кстати, современный постскриптум: недавно к проблеме вернулся один тополог из Чикаго, который утверждает, что на самом деле она до сих пор не решена.)
К решению 10-й проблемы Гильберта после Второй мировой войны подступилась группа, в которую входил Хилари Патнэм – философ, который позже прославится идеей о влиянии контекста на коммуникацию. Будучи студентом-математиком, он участвовал в попытках решить эту задачу: существует ли общий алгоритм для решения определенных алгебраических проблем, названных в честь древнего математика Диофанта. Им не хватило совсем чуть-чуть. Позже, в 1960-х, Патнэм станет «хиппи-интеллектуалом», будет жить в коммуне, организовывать протесты против войны во Вьетнаме и увлекаться коммунизмом. А когда в 1970 году российский математик Юрий Матиясевич действительно решит 10-ю проблему, Патнэм напишет предисловие к его книге.
В 1997 году математик из Мичиганского университета Томас Хейлз представил доказательство 18-й проблемы – гипотезы Кеплера. Она утверждает, что самый эффективный способ укладки апельсинов, пушечных ядер или любых сфер для максимальной плотности – это «гранецентрированная кубическая упаковка» (когда каждый шар лежит на основании из трех других). Хейлз решил задачу методом грубой силы, используя суперкомпьютеры и геометрический анализ для перебора и сравнения мириад вариантов укладки. Это заняло 10 лет и потребовало колоссальных вычислений, но он это сделал.
Ирония в том, что доказательство вышло таким сложным (на 250 страниц!), что никто не мог сказать, верно оно или нет. Кто проверит проверяющего? Журнал Annals of Mathematics, куда Хейлз отправил статью, назначил команду из 20 ведущих экспертов. Задача оказалась такой неподъемной, что им пришлось собирать отдельный симпозиум, чтобы просто понять, как к ней подступиться. Потом рецензенты один за другим начали сходить с дистанции. В 2004 году журнал сдался: проверку свернули и опубликовали статью, заявив, что уверены в ней на 99 %.
Наконец, стоит отметить для вдохновения всех начинающих математиков, читающих эту книгу: одна из самых знаменитых из 23 проблем – 8-я проблема Гильберта, больше известная как гипотеза Римана, – все еще не решена. Мимо этого факта не проходят современные СМИ, которые в последние годы полюбили без тени иронии называть ее «самой важной нерешенной проблемой математики». Вот уже 25 лет, к моменту выхода этой книги, доказательство гипотезы Римана является одной из «Задач тысячелетия» – вызовом, вдохновленным проблемами Гильберта, который поддерживает Институт Клэя. На кону стоит 1 миллион долларов. Так что решайте!
Хотя сказать проще, чем сделать. Гильберт и сам подозревал, что с 8-й проблемой придется повозиться. Много лет спустя после той лекции его спросили: «Что бы вы сделали, если бы очутились в будущем через 500 лет?» Первым делом, ответил Гильберт, я бы отловил какого-нибудь математика и спросил: «Ну что, гипотезу Римана уже доказали?»
Ответ сегодня остается тем же, спустя 125 лет после его доклада и по прошествии более чем пятой части его 500-летнего мысленного эксперимента: Нет!