Поскольку Кантор делает актуальную бесконечность доступной, это ведет к странным последствиям и вызывает бурные споры. Почему? Во-первых, он строго доказывает, что существует не один тип бесконечности, и одни из них больше других. И он находит способ их сравнивать.

Меньшие бесконечные множества, согласно его теории, – это те, что эквивалентны коллекции всех натуральных чисел: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…}. Кантор доказывает именно то, чего страшился Галилей: подмножество натуральных чисел может быть равно по своему бесконечному размеру исходному множеству. Так, множество всех четных чисел имеет точно такой же размер, как и множество четных и нечетных, вместе взятых. То, от чего стонал Галилей, теперь вызывает у Кантора улыбку.

Но этот результат настолько контринтуитивен, что многим кажется абсурдным, и пять лет перед 1883 годом идеи Кантора подвергаются резкой критике. Почему? Подумайте об этом так: представьте, что вы берете каждое натуральное число и кладете его в ведро – единым, завершенным актом. Теперь представьте второе ведро. Положите в него только некоторые числа, например все простые (которые делятся только на единицу и на само себя: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…}). Или возьмите все нечетные числа {1, 3, 5…}. Или все четные {2, 4, 6…}. Или только числа Фибоначчи – множество чисел, придуманное для описания размножения кроликов, где каждое число в ряду представляет собой сумму двух предыдущих {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…}. Наполните разные ведра и сравните их. Какое ведро самое тяжелое? Здравый смысл скажет, что первое. В нем есть все числа, поэтому оно должно быть тяжелее. Галилей отчаянно хочет, чтобы это было так.

Это имеет смысл с точки зрения нашей повседневной, конечной логики. Если у вас есть ведро со всеми молотками из строительного супермаркета и вы сравниваете его с подмножеством – скажем, только с розовыми молотками (которых совсем мало), – здравый смысл скажет, что первое ведро намного тяжелее. Так и есть. Но это ошибка, основанная на ограниченном мышлении реального мира, и она не работает с бесконечными множествами.

Бесконечные множества устроены совершенно иначе. Когда вы сравниваете две завершенные бесконечные коллекции чисел, одна из которых является подмножеством другой, они обе одинаково бесконечны. Фактически само определение завершенного, «счетного» множества, по Кантору, состоит именно в том, что его элементы можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с натуральными числами. Кантор не просто утверждает, что бесконечное подмножество равно своему бесконечному исходному множеству, – он это доказывает. Какого черта, Кантор?!

Здесь все становится по-настоящему интересным, потому что Кантор не останавливается на достигнутом. Он также показывает, что не все бесконечности равны. Есть более крупный тип бесконечности: множество всех десятичных чисел – «вещественные числа». Он говорит, что это множество является несчетным.

Представьте числовую прямую. На ней лежит бесконечно много натуральных чисел. Но между любыми двумя числами можно втиснуть бесконечное множество дробей: {1; 1,000001; 1,00001; 1,0001; 1,001; 1,01; 1,1…}.

Я сказал, что здесь становится интересно? На самом деле, здесь все становится по-настоящему странным. Кантор уже бросил вызов здравому смыслу с помощью бесконечных множеств натуральных чисел. Теперь он собирается нарушить один из базовых принципов геометрии, которого придерживались с древних времен, – если не бросить вызов самой реальности.