Впоследствии он получил: Эти биографические подробности в целом и этот список достижений в частности взяты из книги Антоньяццы Leibniz: An Intellectual Biography.
«Прежде чем я достиг»: Цитируется по книге Ариу G. W. Leibniz, Life and Works, с. 18.
Его университетская диссертация: См., например: Knobloch and Berlin, “The Mathematical Studies of G. W. Leibniz on Combinatorics”. Лейбниц был не первым, кто исследовал комбинации как способ выражения мыслей. Средневековый майоркский философ Раймунд Луллий развивал схожие идеи в тринадцатом веке (см. Bonner, The Art and Logic of Ramon Llull: A User’s Guide); возможно, его вдохновили еще более ранние исламские философы (см. Link, “Scrambling TRUTH: Rotating Letters as a Material Form of Thought”).
серия заметок: собраны под названием «Образцы численной характеристики» в книге Ариу и Гарбера G. W. Leibniz: Philosophical Essays.
в тот же период: Хронология приводится по книге Антоньяццы Leibniz: An Intellectual Biography.
в Индии и Китае: См. Vidyabhusana, A History of Indian Logic: Ancient, Mediaeval and Modern Schools, и Schwartz, The World of Thought in Ancient China.
Аристотель провел свою жизнь: См. «Жизнь Аристотеля» в книге Бэмбро The Philosophy of Aristotle.
менее правдоподобные посылки: Эти утверждения взяты из книги Кэрролла Symbolic Logic: Part 1, Elementary.
письмо, которое он написал: Декарт — Мерсенну, 20 ноября 1629 года, в книге Кенни Descartes: Philosophical Letters, с. 3–6.
выявлять ложные утверждения: Стоит также отметить, что это, по всей видимости, помогло бы суждениям каждого человека, а не только мужчин.
«избавить от проклятия смешения языков»: Уилкинс подробно описывает эту мотивацию в своем посвящении, где он обосновывает свои усилия перед покровителем так же, как современный ученый пишет отчет о проделанной работе для исследовательского гранта.
Лейбницу в конечном итоге удалось: Мытарства Лейбница с калькулятором описаны в книге Антоньяццы Leibniz: An Intellectual Biography. Описанное устройство было его вторым прототипом, который выставлен в Земельной библиотеке Нижней Саксонии в Ганновере (Германия).
«Как только характеристические числа»: Из «Предисловия к всеобщей характеристике» в книге Ариу и Гарбера G. W. Leibniz: Philosophical Essays, с. 8–10.
он начал выходить за рамки арифметики: Эти рукописи содержатся в книге Паркинсона Leibniz: Logical Papers, а их связь с трудами Джорджа Буля обсуждается в работе Хейлперина «Algebraical Logic: Leibniz and Boole».
«если бы я был менее отвлечен»: Письмо Лейбница к Ремону (1714), цитируется по работе: Rutherford, “Philosophy and Language in Leibniz”, с. 239.
распространенное определение: Это определение взято из книги Хаугеленда Mind Design II: Philosophy, Psychology, Artificial Intelligence.
архаичные руководства: У меня есть коллекция старых учебников по фехтованию, которые приятно почитать тем, кому интересно увидеть пределы возможностей языка при описании движений человеческого тела. Мое любимое, по очевидным причинам, — это руководство Гриффитса The Modern Fencer: The Most Recent Means of Attack and Defence When Engaged with an Adversary.
выраженную в алгебраической форме: Это видение наиболее подробно описано в биографии Джорджа Буля, написанной его женой Мэри Эверест Буль, — «Home-side of a Scientific Mind».
Буль родился: Если не указано иное, биографические подробности в этой главе взяты из книги Макхейла The Life and Work of George Boole: A Prelude to the Digital Age.
флейта и фортепиано: Сестра Буля Мэри-Энн описывает его музыкальные интересы в написанной ею биографии, которая приведена в книге Макхейла и Коэна New Light on George Boole. Она также отмечала: «Некоторое время он посвятил изобретению новой системы нотной записи, которая была весьма остроумной, но он не нашел ей большого практического применения» (с. 58).
открыв для себя их общую страсть: Жена Буля, Мэри Эверест Буль, описывает его реакцию на с. 1142 своей работы «Letters to a Reformer’s Children»: «Кто-то написал моему мужу, сообщив, что при чтении старого трактата Лейбница (который жил в одно время с Ньютоном) он наткнулся на ту же формулу, которую кембриджцы называют „уравнением Буля“. Мой муж разыскал труды Лейбница, нашел там свое уравнение и пришел в совершенный восторг; он почувствовал себя так, словно Лейбниц явился к нему и пожал ему руку через века».
Краткие упоминания Лейбница также появляются в качестве фрагментов 4 и 6 в книге Граттан-Гиннесса и Борне George Boole: Selected Manuscripts on Logic and Its Philosophy. Подробное обсуждение параллелей между Булем и Лейбницем см. в работе Hailperin, “Algebraical Logic: Leibniz and Boole”.
«Когда он только начинал»: Из биографии ее брата, написанной Мэри-Энн Буль и воспроизведенной в книге Макхейла и Коэна New Light on George Boole.
«Замысел настоящего трактата»: Джордж Буль, Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей, с. 1.
«Так, если x один»: Джордж Буль, Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей, с. 28.
Затем мы можем доказать: Это упрощенное доказательство принадлежит Дэвису, автору книги The Universal Computer: The Road from Leibniz to Turing, которая отлично подходит для более глубокого знакомства с Лейбницем, Булем и их преемниками в развитии логики и компьютерных наук. Сам Буль записывал «Каждое A есть B» как a = vb, где v выступает в качестве абстрактного представления класса, содержащего те объекты из B, которые также входят в A. Таким образом, рассуждение Аристотеля «Каждое A есть B, каждое B есть C, следовательно, каждое A есть C» имеет посылки a = vb и b = wc, где w обозначает класс, содержащий те объекты из C, которые также входят в B. Отсюда следует, что a = vwc, что и означает «Каждое A есть C», при этом vw представляет собой еще один абстрактный класс. Дэвис отмечает, что представление посылок подобным образом, предложенное другим математиком, «было действительно ужасной идеей и совершенно ненужным усложнением системы Буля» (примечание 24, с. 214).
разработал пересмотренную систему: Джевонс, Pure Logic: Or, The Logic of Quality Apart from Quantity; with Remarks on Boole’s System and on the Relation of Logic and Mathematics.
Доказательства Буля также содержали ошибки: Особенно пессимистичный взгляд на вклад Буля представлен в рецензии Даммитта на книгу «Исследования по логике и теории вероятностей» Джорджа Буля, на которую ответил Ван Эвра в статье «Переоценка логической теории Джорджа Буля». Подробный математический анализ того, что Буль сделал и чего не сделал, см. в работах Коркорана и Вуда «Критерии Буля для логической правильности и неправильности» и Хейлперина «Алгебра Буля — это не булева алгебра».
Что означают ˄ и ˅ ?: Если вы хотите блеснуть знанием логики, вы можете называть ˄ символом конъюнкции, а ˅ — символом дизъюнкции. Точные названия для этих символов полезны, поскольку они не полностью совпадают с нашим интуитивным использованием союзов «и» и «или».
еще три специальных символа: Научные названия для ¬ и → — это отрицание и импликация соответственно.
modus ponens: Строго говоря, это следовало бы записать как
(α→β) α β
где α и β — произвольные высказывания, а не конкретные суждения вроде P и Q.
правила вывода: Чтобы правила вывода были корректными, их также следует выражать с помощью произвольных формул α и β, как и в случае с modus ponens.
что делает логику особенной: В этой книге я рассматриваю логику (математическую систему) как описание формы рассуждения (процесса изменения убеждений). Однако стоит отметить, что их взаимосвязь на самом деле гораздо сложнее. См., например: Harman, Change in View: Principles of Reasoning.
первая женщина: Макхейл, «Жизнь и труды Джорджа Буля: прелюдия к цифровой эпохе».
невероятное влияние: Совершенно безумная история потомков Джорджа и Мэри Буль рассказана в книге Кеннеди «Семейства Буль и Хинтон: две династии, которые помогли сформировать современный мир» — я привел лишь несколько наиболее ярких моментов. Еще больше подробностей с отличными историческими фотографиями можно найти в статье Час «Необычайное дело семьи Буль» (The Extraordinary Case of the Boole Family).
она много писала: Подробный разбор ее вклада см. в работе Валенте «Даруя логике крылья: распространение и воплощение наследия Мэри Эверест Буль» (Giving Wings to Logic: Mary Everest Boole’s Propagation and Fulfilment of a Legacy).
пороховая машина для подачи мячей: Это было весьма примечательное устройство, описание которого приведено на с. 409 выпуска журнала Scientific American от 26 июня 1897 года. Я наводил справки, но, к сожалению, бейсбольная команда Принстона понятия не имеет, что с ней стало.