Как подчеркивает Джейнс, теоремы байесовской теории вероятностей — это всего лишь математические теоремы, неизбежно вытекающие из байесовских аксиом.¹ Наивный человек мог бы подумать, что вокруг математических теорем не может быть споров. Но когда эти теоремы применимы? Как использовать их в задачах реального мира? «Интуитивное объяснение» пытается избегать спорных тем, но «Техническое объяснение» сознательно шагает прямо под вращающиеся лопасти вертолета. Проще говоря, рассуждения в «Техническом объяснении» не отражают единогласный консенсус всего планетарного сообщества байесовских исследователей Земли. По крайней мере, пока.

Если «Интуитивное объяснение» было сосредоточено на том, чтобы дать твердое понимание основ байесианства, то «Техническое объяснение технического объяснения» выстраивает на байесовском фундаменте тезисы о человеческой рациональности и философии науки. «Техническое объяснение технического объяснения» называется так потому, что оно начинается со следующего вопроса:

«В чем разница между техническим пониманием и вербальным пониманием?»

В детстве я читал научно-популярные книги по физике и воображал себя знатоком; мне казалось, я знаю, что звук — это колебания воздуха, свет — электромагнитные волны, а материя — волны сложных амплитуд вероятности. Когда я вырос, я прочитал «Фейнмановские лекции по физике» и не пожалел времени на то, чтобы разобраться в «волновом уравнении».² И тогда я понял, что до этого момента я и близко не понимал утверждение «звук — это волны» и не верил в него так, как понимает и верит в эту фразу физик.

Вот в этом и заключается разница между техническим пониманием и вербальным пониманием.

Вы в это верите? Если так, вам следовало применить это знание и спросить: «Но почему же вы тогда дали вербальное объяснение вместо технического?»

Представьте себе плотность вероятности или вероятностную массу — вероятность как комок глины, который вам нужно распределить по возможным исходам.

Представим, что у нас есть маленькая лампочка, которая может загораться красным, синим или зеленым цветом при каждом нажатии на кнопку. При каждом нажатии загорается один и только один цвет; эти варианты взаимоисключающие. Вы пытаетесь предсказать цвет следующей вспышки. Перед каждой попыткой у вас есть определенный вес глины — вероятностная масса, которую вы должны распределить по вариантам: красный, зеленый и синий. Вы можете положить четверть глины на зеленый вариант, четверть на синий и половину на красный — это аналогично присвоению вероятности в 25% зеленому, 25% синему и 50% красному. Суть метафоры в том, что вероятность — это сохраняющийся ресурс, который нужно распределять экономно. Если вы считаете, что при следующем испытании вероятнее загорится синий, вы можете присвоить синему более высокую вероятность, но вам придется забрать часть вероятностной массы у других гипотез — например, «украсть» немного глины у красного и добавить ее к синему. Получить дополнительную глину невозможно. Сумма ваших вероятностей не может превышать 1,0 (100%). Нельзя одновременно предсказать 75-процентный шанс увидеть красный и 80-процентный шанс увидеть синий.

Зачем вообще бережно относиться к вероятностной массе или распределять ее экономно? Почему бы не разбрасываться вероятностью направо и налево? Давайте заменим метафору с глиной на метафору с деньгами. При каждом нажатии кнопки вы можете поставить до одного игрового доллара. Рядом стоит экспериментатор и выплачивает вам сумму в реальных деньгах, которая зависит от того, сколько игровых денег вы поставили на выигравший цвет. Нам не важно, как вы распределили оставшиеся игровые деньги между проигравшими цветами. Значение имеет лишь то, сколько вы поставили на тот цвет, который действительно загорелся.

Но если мы хотим, чтобы игроки делали ставки обдуманно, нам нужно тщательно продумать правило начисления очков, по которому выплачивается выигрыш. Предположим, экспериментатор выплачивает каждому игроку реальные деньги в размере ставки игровых денег на выигравший цвет. При таком правиле, если вы заметили, что красный выпадает в шести случаях из десяти, вашей лучшей стратегией будет поставить не 60 центов на красный, а весь доллар целиком, и вам будет совершенно все равно, с какой частотой выпадают синий и зеленый. Почему? Допустим, синий и зеленый выпадают примерно по два раза из десяти. И предположим, вы поставили 60 центов на красный, 20 центов на синий и 20 центов на зеленый. В этом случае в шести случаях из десяти вы выиграли бы 60 центов, а в четырех случаях из десяти — 20 центов, что дает средний выигрыш в 44 цента. При таком правиле начисления очков разумнее поставить весь доллар на красный и выигрывать целый доллар в шести случаях из десяти. В четырех случаях из десяти вы ничего не выиграете. Ваш средний выигрыш составит 60 центов.

Если бы мы записали функцию выплаты, она выглядела бы так: Выплата = P(победитель), где P(победитель) — это сумма игровых денег, которую вы поставили на выигравший в этом раунде цвет. Если бы мы записали функцию математического ожидания выплаты для этого правила, она выглядела бы так:

P(цвет) — это сумма игровых денег, которую вы ставите на цвет, а F(цвет) — частота, с которой этот цвет побеждает.

Предположим, что реальные частоты выпадения цветов составляют 30% для синего, 20% для зеленого и 50% для красного. И предположим, что в каждом раунде я ставлю 40% на синий, 50% на зеленый и 10% на красный. В 30% случаев я буду получать 40 центов, в 20% случаев — 50 центов, и в 50% случаев — 10 центов, что даст средний выигрыш $0,12 + $0,10 + $0,05, то есть $0,27. То есть:

P(цвет) = игровые деньги, выделенные на этот цвет

F(цвет) = частота, с которой этот цвет побеждает

Выплата = P(победитель) = сумма игровых денег, выделенная на выигравший цвет.

Реальные частоты побед:

F(синий) = 30%

F(зеленый) = 20%

F(красный) = 50%.

В долгосрочной перспективе красный побеждает в 50% случаев, зеленый — в 20%, а синий — в 30%. Таким образом, наш средний выигрыш в каждом раунде складывается из 50% от выигрыша в случае победы красного, плюс 20% от выигрыша в случае победы зеленого, плюс 30% от выигрыша в случае победы синего.

Выигрыш является функцией от победного цвета и схемы ставок. Мы хотим вычислить средний выигрыш при заданной схеме ставок и известных частотах побед каждого цвета. Математический термин для подобного рода вычислений — когда берется функция от каждого исхода и взвешивается по его частоте — это математическое ожидание. Таким образом, чтобы рассчитать наш ожидаемый выигрыш, мы вычисляем:

= P(blue) × F(blue) + P(green) × F(green) + P(red) × F(red)

= $0,40 × 30% + $0,50 × 20% + $0,10 × 50%

= $0,12 + $0,10 + $0,05

= $0,27.

При такой схеме ставок я буду выигрывать в среднем около 27 центов за раунд.

Я распределил свои игровые деньги крайне произвольно, и возникает вопрос: могу ли я увеличить свой ожидаемый выигрыш, распределив деньги более разумно? При данном правиле начисления очков я максимизирую свой ожидаемый выигрыш, если поставлю весь доллар на красный. Несмотря на то, что мой ожидаемый выигрыш составляет 50 центов за раунд, лампа может на самом деле вспыхнуть в таком порядке: зеленый, синий, синий, зеленый, зеленый — и я получу фактический выигрыш, равный нулю. Однако вероятность того, что в пяти раундах подряд лампа загорится не красным, составляет примерно 3%. Сравните это с карточной игрой «красное/синее» в главе «Закономерная неопределенность».

Собственное правило начисления очков — это такое правило оценки ставок, при котором вы максимизируете свой ожидаемый выигрыш, распределяя игровые деньги в точном соответствии с вероятностью вспышки каждого цвета. Нам нужно такое правило оценки, при котором, если лампы на самом деле загораются с частотой 30% для синего, 20% для зеленого и 50% для красного, вы сможете максимизировать свой средний выигрыш только тогда, когда поставите 30 центов на синий, 20 центов на зеленый и 50 центов на красный. Собственное правило начисления очков — это то, которое заставляет вашу оптимальную ставку в точности отражать вашу оценку вероятностей. (Иногда его также называют строго собственным правилом начисления очков.) Как мы уже видели, далеко не все правила оценки обладают этим свойством; и если вы придумаете случайное, на первый взгляд разумное правило, оно, скорее всего, им обладать не будет.

Одно из правил, обладающих этим свойством, состоит в том, чтобы выплачивать доллар за вычетом квадрата ошибки ставки, а не саму ставку: если вы поставите 30 центов на загоревшийся цвет, ваша ошибка составит 70 центов, квадрат ошибки составит 49 центов (0,7² = 0,49), а доллар минус квадрат ошибки — 51 цент.³ (Предположительно, ваши игровые деньги выражены в квадратных корнях из центов, так что квадрат ошибки является денежной суммой.)

Мы не будем использовать правило квадрата ошибки. Обычные статистики вычисляют квадрат ошибки для всего, что видят вокруг, но только не байесовские статистики.

Мы добавим новое требование: нам нужно не просто собственное правило начисления очков, а чтобы оно давало один и тот же результат независимо от того, применяем ли мы его к раундам по отдельности или ко всем вместе. Вот что делают байесовцы вместо того, чтобы возводить ошибки в квадрат: мы требуем инвариантности.

Предположим, я нажимаю кнопку дважды подряд. Существует девять возможных исходов: зеленый-зеленый, зеленый-синий, зеленый-красный, синий-зеленый, синий-синий, синий-красный, красный-зеленый, красный-синий и красный-красный. Предположим, что выигрывает зеленый, а затем синий. Экспериментатор начислит первые очки на основе назначенной нами вероятности P(зеленый₁), а вторые — на основе P(синий₂|зеленый₁).⁴ Мы сделаем два прогноза и получим две оценки. Наш первый прогноз — это вероятность, которую мы присвоили цвету, победившему в первом раунде (зеленому). Наш второй прогноз — вероятность того, что синий победит во втором раунде, при условии, что в первом раунде победил зеленый. Почему нам нужно писать P(синий₂|зеленый₁) вместо простого P(синий₂)? Потому что у вас может быть гипотеза о мигании лампы, гласящая, что «синий никогда не следует за зеленым», «синий всегда следует за зеленым» или «синий следует за зеленым с вероятностью 70%». В таком случае, увидев зеленый в первом раунде, вы, возможно, захотите пересмотреть свой прогноз — изменить свои ставки — на второй раунд. Вы всегда можете скорректировать свои прогнозы вплоть до момента, когда экспериментатор нажмет на кнопку, используя любые крупицы информации; но когда лампа вспыхнет, менять ставку будет уже поздно.

Предположим, что фактический исход — зеленый₁, за которым следует синий₂. Мы требуем следующей инвариантности: я должен получить одинаковую сумму очков независимо от того:

Оценивают ли меня дважды — сначала за прогноз P(зеленый₁), а затем за прогноз P(синий₂|зеленый₁).

Или же меня оценивают один раз за совместный прогноз P(зеленый₁ и синий₂).

Предположим, я приписываю вероятность 60% исходу зеленый₁, и действительно загорается зеленый свет. Теперь я должен предложить вероятности для цветов во втором раунде. Я оцениваю вероятность исхода синий₂ и выделяю под него 25% своей вероятностной массы. И вот — во втором раунде лампа загорается синим. Таким образом, в первом раунде моя ставка на победивший цвет составила 60%, а во втором — 25%. Но я мог также в самом начале эксперимента, сразу после назначения P(зеленый₁), вообразить, что лампа сначала загорится зеленым, представить, как я обновлю свои теории на основе этой информации, и сказать, какую уверенность я припишу синему цвету на следующем раунде, если первый раунд окажется зеленым. То есть я создаю вероятности P(зеленый₁) и P(синий₂|зеленый₁). Перемножив эти две вероятности, мы получим совместную вероятность: P(зеленый₁ и синий₂) = 15%.

У двойного эксперимента есть девять возможных исходов. Если я задам девять вероятностей для P(зеленый₁, зеленый₂), P(зеленый₁, синий₂), ..., P(красный₁, синий₂), P(красный₁, красный₂), то вся вероятностная масса в сумме должна составлять не более единицы. Я даю прогнозы для девяти взаимоисключающих исходов «двойного эксперимента».

Нам нужно такое правило начисления очков (и оно, возможно, будет совсем не похоже на то, чем пользуются обычные букмекеры), при котором мой результат не менялся бы независимо от того, рассматриваем ли мы двойной исход как два прогноза или как один. Я могу относиться к последовательности из двух исходов как к единому эксперименту «нажать кнопку дважды» и получить очки за прогноз P(синий₂, зеленый₁) = 15%. Либо же я могу получить очки один раз за свой первый прогноз P(зеленый₁) = 60%, а затем еще раз — за прогноз P(синий₂|зеленый₁) = 25%. Мы требуем, чтобы суммарный балл в обоих случаях был одинаковым, так чтобы не имело значения, как именно мы делим эксперименты и прогнозы, — суммарный балл всегда должен оставаться абсолютно тем же самым. В этом и заключается наша инвариантность.

Мы только что потребовали следующее:

Очки[P(зеленый₁, синий₂)] = Очки[P(зеленый₁)] + Очки[P(синий₂|зеленый₁)].

И мы уже знаем, что:

P(зеленый₁, синий₂) = P(зеленый₁) × P(синий₂|зеленый₁).

Единственное возможное правило начисления очков — это:

Очки(P) = log(P).

Согласно новому правилу, ваши очки — это логарифм вероятности, которую вы приписали выигравшему исходу.

Основание логарифма произвольно — используем ли мы десятичный логарифм или двоичный, правило начисления очков сохраняет желаемую инвариантность. Но нам нужно выбрать какое-то конкретное основание. Математик выбрал бы основание *e*; инженер — основание десять; специалист по информатике — основание два. Если мы возьмем десятичное основание, то сможем переводить значения в децибелы, как в «Интуитивном объяснении»; но иногда проще оперировать битами.

Логарифмическое правило начисления очков является собственным — ожидаемый максимум достигается тогда, когда мы сообщаем свои точные ожидания; оно вознаграждает за честность. Если мы считаем, что синяя лампа загорится с вероятностью 60%, и рассчитаем ожидаемый выигрыш для различных схем ставок, то обнаружим, что максимизируем свой ожидаемый выигрыш, сказав экспериментатору «60%». (Читатели, знакомые с математическим анализом, могут это проверить). Это правило оценки также дает инвариантный суммарный балл независимо от того, считается ли двойное нажатие кнопки «одним экспериментом» или «двумя экспериментами». Однако все выигрыши теперь отрицательные, поскольку мы берем логарифм вероятности, а вероятность лежит в диапазоне от нуля до единицы. Десятичный логарифм от 0,1 равен -1; десятичный логарифм от 0,01 равен -2. Ничего страшного. Мы уже согласились, что это правило может быть совсем не похоже на то, что используют настоящие букмекеры. При желании вы можете представить, что у экспериментатора есть куча денег, и в конце эксперимента он выплачивает вам некоторую сумму минус ваш большой отрицательный балл. (Эм, точнее, сумму плюс ваш отрицательный балл). Скажем, у экспериментатора есть сто долларов, а к концу ста раундов вы набрали -48 очков, так что вы получаете 52 доллара.

Очки в размере -48 по какому основанию? Мы можем устранить двусмысленность в оценке, указав единицы измерения. Десять децибел соответствуют коэффициенту 10; минус десять децибел соответствуют коэффициенту 1/10. Приписывание вероятности 0,01 реальному исходу принесет -20 децибел. Вероятность 0,03 даст около -15 децибел. Иногда мы можем использовать биты: 1 бит — это коэффициент 2, -1 бит — это коэффициент 1/2. Вероятность 0,25 принесет -2 бита; вероятность 0,03 — около -5 бит.

Если вы приходите к оценке вероятности P для каждого цвета — P(красный), P(синий), P(зеленый), — то ваше ожидаемое количество очков составит:

Очки(P) = log(P)

Предположим, вы оценили вероятности в 25% для красного, 50% для синего и 25% для зеленого. Давайте на минуту перейдем к основанию 2, чтобы упростить задачу. Ваше ожидаемое количество очков составит:

Очки(красный) = −2 бита, загорается в 25% случаев,

Очки(синий) = −1 бит, загорается в 50% случаев,

Очки(зеленый) = −2 бита, загорается в 25% случаев,

Математическое ожидание(Очки) = −1,5 бита.

Сравните наше байесовское правило оценки с обычным, разговорным способом выражения степени уверенности, когда кто-то может небрежно бросить: «Я на 98% уверен, что в рапсовом масле содержится больше омега-3 жиров, чем в оливковом». На самом деле под этим подразумевается, что человек *чувствует* себя уверенным на 98% — словно внутри него есть шкала прогресса, измеряющая силу эмоции уверенности, и эта шкала заполнена на 98%. Да и сама эта шкала вряд ли показала бы ровно 98%, будь у нас способ ее измерить. Слово «98%» — это просто разговорный способ сказать: «Я почти уверен, но не до конца». Это вовсе не значит, что вы получите максимальный ожидаемый выигрыш, если поставите на этот исход ровно 98 центов игровых денег. Вам следует присваивать калиброванную уверенность в 98% только в том случае, если вы уверены в своих силах настолько, что, ответив подряд на сотню подобных вопросов равной сложности (независимых друг от друга), вы ошибетесь в среднем лишь дважды. Со временем мы начнем отслеживать, как часто вы оказываетесь правы, и если выяснится, что при заявлении «уверен на 90%» вы правы примерно в семи случаях из десяти, мы скажем, что вы плохо откалиброваны.

Если вы тысячу раз скажете «вероятность 98%» и окажетесь удивлены всего пять раз, мы все равно оштрафуем вас за плохую калибровку. Вы выделяете слишком много вероятностной массы под возможность того, что ошибаетесь. Чтобы максимизировать свои очки, вам следовало говорить «вероятность 99,5%». Правило оценки вознаграждает точную калибровку, не поощряя ни излишнюю скромность, ни высокомерие.

На этом этапе некоторым читателям может прийти в голову очевидный способ достичь идеальной калибровки: просто подбрасывать монетку для каждого бинарного вопроса (с ответами «да/нет») и оценивать свою уверенность в ответе в 50%. Вы говорите «50%» и оказываетесь правы в половине случаев. Разве это не идеальная калибровка? Да. Но калибровка — лишь один из компонентов нашей байесовской оценки; вторым компонентом является различительная способность.

Предположим, я задам вам десять вопросов с ответами «да/нет». Вы абсолютно ничего не знаете по теме, поэтому для каждого вопроса делите свою вероятностную массу поровну (пятьдесят на пятьдесят) между «Да» и «Нет». Поздравляю, вы идеально откалиброваны — ответы, для которых вы указали «вероятность 50%», оказывались верными ровно в половине случаев. Это так независимо от последовательности правильных ответов или от того, сколько именно ответов было «Да». В десяти экспериментах вы произнесли «50%» двадцать раз — вы сказали «50%» для Да₁, Нет₁, Да₂, Нет₂, Да₃, Нет₃... В десяти из этих случаев ответ оказался верным, а именно: Да₁, Нет₂, Нет₃... И в десяти из этих случаев ответ был неверным: Нет₁, Да₂, Да₃...

Теперь я даю собственные ответы, прилагая больше усилий и пытаясь различить, является ли верным ответом «Да» или «Нет». Я присваиваю 90-процентную уверенность каждому из выбранных мной ответов, и выбранный мной ответ оказывается неверным дважды. Я откалиброван хуже вас. Я сказал «90%» в десяти случаях и ошибся два раза. В следующий раз, когда кто-то будет меня слушать, он может мысленно переводить «90%» как «80%», зная, что, когда я уверен на 90%, я прав примерно в 80% случаев. Но вероятность, которую вы присвоили итоговому результату, составляет 1/2 в десятой степени, то есть 0,001 или 1/1024. Вероятность, которую итоговому результату присвоил я, равна 90% в восьмой степени, умноженным на 10% во второй степени, 0,9⁸ × 0,1², что дает 0,004 или 0,4%. Ваша калибровка идеальна, а моя нет, но моя более высокая различительная способность между правильными и неправильными ответами с лихвой это компенсирует. Моя итоговая оценка выше — я присвоил бо́льшую совместную вероятность итоговому результату всего эксперимента. Будь я менее самоуверенным и лучше откалиброванным, вероятность, присвоенная мной итоговому результату, составила бы 0,8⁸ × 0,2², что равняется 0,006 или 6%.

Можно ли добиться еще лучшего результата? Конечно. Вы могли угадать абсолютно все ответы правильно и присвоить каждому из них вероятность 99%. Тогда вероятность, которую вы присвоили итоговому результату всего эксперимента, составила бы 0,99¹⁰ ≈ 90%.

Ваша оценка составила бы log (90%), что равно -0,45 децибела или -0,15 бита. Нам необходимо брать логарифм, чтобы при попытке максимизировать мою ожидаемую оценку, ∑ P × log (P), у меня не было стимула жульничать. Без логарифмического правила я бы максимизировал свою ожидаемую оценку, отдавая всю вероятностную массу наиболее вероятному исходу. Кроме того, без логарифмического правила моя итоговая оценка различалась бы в зависимости от того, считаем ли мы несколько раундов за несколько отдельных экспериментов или за один общий эксперимент.

Простое преобразование может исправить плохую калибровку за счет снижения различительной способности. Если у вас есть привычка говорить «миллион к одному» при 90 правильных и 10 неправильных ответах на каждые сто вопросов, мы можем сделать вашу калибровку идеальной, заменив «миллион к одному» на «девять к одному». Напротив, простого способа повысить (успешную) различительную способность не существует. Если вы обычно говорите «девять к одному» при 90 правильных ответах на каждые сто вопросов, я легко могу увеличить вашу заявленную различительную способность, заменив «девять к одному» на «миллион к одному». Но никакое простое преобразование не способно увеличить вашу фактическую различительную способность так, чтобы ваши ответы различали 95 правильных и 5 неправильных ответов. Из Йейтса и др.:⁵ «В то время как хорошей калибровки часто можно достичь с помощью простых математических преобразований (например, прибавлением константы к каждому суждению о вероятности), хорошая различительная способность требует доступа к весомым прогностическим свидетельствам и умения эти свидетельства использовать, что трудно обрести в любой реальной, практической ситуации». Если у вас нет способности отличать истину от лжи, вы можете достичь идеальной калибровки, признав свое незнание; однако само по себе признание незнания не поможет вам отличить истину от лжи.

Таким образом мы избавляемся от еще одного ложного стереотипа о рациональности — будто она заключается в смирении, скромности и признании своего бессилия перед неведомым. Это всего лишь уловка для жуликов — присваивать вероятность в 50% всем вопросам типа «да/нет». Наше правило оценки побуждает вас стремиться к лучшему результату, если это в ваших силах. Если вы чего-то не знаете — признайте свое незнание; если вы уверены — признайте свою уверенность. Мы штрафуем вас за уверенность, когда вы неправы, но и вознаграждаем за уверенность, когда вы правы. В этом и заключается достоинство надлежащего правила оценки.

Предположим, я подбрасываю монетку двадцать раз. Если я считаю монетку честной, лучший прогноз, который я могу сделать — это предсказать равные шансы на орла или решку при каждом броске. Если я считаю монетку честной, я присвою одинаковую вероятность любой возможной последовательности из двадцати бросков. Существует примерно миллион (1 048 576) возможных последовательностей из двадцати бросков монетки, а в моем распоряжении есть всего 1,0 вероятностной массы. Поэтому каждой отдельной возможной последовательности я присваиваю вероятность (1/2)²⁰ — шансы примерно миллион к одному; -20 бит или -60 децибел.

Я сделал экспериментальное предсказание и получил оценку в -60 децибел! Разве это не опровергает гипотезу? Интуитивно кажется, что нет. Мы ведь не отшатываемся в изумлении, когда после двадцати бросков монетки выпадает случайный с виду результат, восклицая: «Надо же, шанс на это был один на миллион!» Но шансы против выпадения именно этой конкретной последовательности действительно составляют миллион к одному, в чем я легко убедился бы, если бы наивно предсказал точно такой же исход для следующей серии из двадцати бросков. Вполне нормально иметь теории, которые присваивают исходам ничтожно малые вероятности — до тех пор, пока ни одна другая теория не справляется лучше. Но если бы кто-то, используя альтернативную гипотезу, заранее записал точную последовательность в запечатанном конверте и присвоил бы ей вероятность в 99%, я бы усомнился в честности монетки. При условии, конечно, что она запечатала всего один конверт, а не миллион.

Это показывает, что нам следует ответить, руководствуясь здравым смыслом, но не объясняет, как этот ответ здравого смысла вытекает из математики. Чтобы объяснить, почему здравый смысл здесь прав, нам нужно объединить всё сказанное до сих пор в единую систему байесовского обновления убеждений. Когда мы закончим, у нас появится техническое понимание разницы между чисто вербальным и строгим техническим пониманием.

Представьте себе эксперимент, результатом которого является целое число от 0 до 99. Например, экспериментом может быть счетчик частиц, фиксирующий количество частиц, пролетевших за минуту. Или же эксперимент может заключаться в том, чтобы зайти в супермаркет в среду, посмотреть цену 10-унцового пакета дробленых грецких орехов и записать две последние цифры этой цены.

Мы тестируем несколько различных гипотез, пытающихся предсказать результат эксперимента. Каждая гипотеза дает распределение вероятностей по всем возможным исходам — в данном случае целым числам от 0 до 99. Исходы взаимно исключают друг друга, поэтому сумма вероятностной массы в распределении должна быть равна единице (или меньше); мы не можем предсказать 90-процентную вероятность выпадения числа 42 и одновременно 90-процентную вероятность выпадения 43.

Предположим, существует точная гипотеза, предсказывающая 90-процентный шанс получить результат 51. (То есть гипотеза состоит в том, что супермаркет обычно устанавливает цену на грецкие орехи в размере «X долларов и 51 цент».) Точная теория поставила 90% своей вероятностной массы на исход 51. В результате остается еще 10% вероятностной массы, которую нужно распределить по 99 другим возможным исходам — всем числам от 0 до 99, кроме 51. Теория больше ничего не конкретизирует, поэтому мы равномерно распределяем оставшиеся 10% вероятностной массы по 99 возможностям, присваивая вероятность 1/990 каждому результату, отличному от 51. Для удобства записи мы округлим 1/990 до 0,1%.

Это распределение вероятностей аналогично правдоподобию или условной вероятности результата при условии данной гипотезы. Назовем его распределением правдоподобия для этой гипотезы — нашими шансами увидеть каждый конкретный исход, если гипотеза верна. Распределение правдоподобия для гипотезы H — это функция, состоящая из всех условных вероятностей для P(0|H) = 0,001, P(1|H) = 0,001, . . . , P(51|H) = 0,9, . . . , P(99|H) = 0,001.

Точная теория предсказывает 90-процентную вероятность выпадения 51. Пусть также существует расплывчатая теория, предсказывающая «90-процентную вероятность увидеть число от 50 до 59».

Увидев результат 51, мы не станем утверждать, что этот исход подтверждает обе теории в равной степени. Обе теории сделали предсказания, обе присвоили вероятность в 90%, и результат 51 подтверждает оба предсказания. Однако у точной теории есть преимущество, поскольку она концентрирует свою вероятностную массу в более острой точке. Если расплывчатая теория не содержит дальнейших уточнений, мы трактуем «90-процентную вероятность увидеть число от 50 до 59» как 9-процентную вероятность увидеть каждое конкретное число от 50 до 59.

Предположим, мы начали с равных шансов в пользу точной и расплывчатой теорий — шансов 1:1, то есть 50-процентной вероятности истинности каждой из гипотез. Каковы будут апостериорные шансы в пользу истинности точной теории после того, как мы увидим результат 51? Предсказания двух теорий аналогичны их значениям правдоподобия — условной вероятности увидеть результат при условии, что теория верна. Каково же отношение правдоподобия этих двух теорий? Первая теория распределила 90% вероятностной массы на точный исход. Расплывчатая теория выделила на точный исход лишь 9% вероятностной массы. Отношение правдоподобия составляет 10:1. Таким образом, если мы начинали с равных шансов 1:1, апостериорные шансы составят 10:1 в пользу точной теории. Разница в давлении двух условных вероятностей сдвинула нашу априорную уверенность с 50% до апостериорной уверенности примерно в 91% в том, что точная теория верна. При условии, что тестируются только эти две гипотезы, что рассматриваются только эти свидетельства и так далее.

Почему же расплывчатая теория проиграла, если свидетельству соответствовали обе? Расплывчатая теория робка; она делает широкое предсказание, подстраховывается и допускает множество вариантов, которые опровергли бы точную теорию. В этом нет никакого достоинства для научной теории. Философы науки говорят нам, что теории должны быть смелыми и добровольно подставляться под фальсификацию в случае неудачи их предсказания.⁶ Теперь мы видим почему. Точная теория концентрирует свою вероятностную массу в более острой точке и тем самым подставляется под удар опровержения, если реальный исход окажется иным; но если предсказанный исход оказывается верным, точность дает колоссальное преимущество в правдоподобии перед расплывчатостью.

Законы теории вероятностей не оставляют лазеек для жульничества — невозможно сформулировать расплывчатую гипотезу так, чтобы любой результат между 50 и 59 давал такое же весомое подтверждение, какое получает точная теория, ведь для этого потребовалось бы, чтобы сумма вероятностной массы составила 900%. Сжульничать невозможно — при условии, что вы фиксируете свое предсказание заранее, чтобы потом нельзя было заявить, будто ваша теория присваивала 90-процентную вероятность именно тому результату, который в итоге и получился. Люди очень любят делать предсказания задним числом, поэтому социальный процесс науки требует предварительного предсказания, прежде чем мы сможем сказать, что результат подтверждает теорию. Но то, как именно люди могут действовать в гармонии с путем Байеса и тем самым обретать силу — это отдельный вопрос, не связанный с тем, работает ли математика. Когда мы занимаемся математикой, мы просто принимаем как должное, что функции плотности правдоподобия являются фиксированными свойствами гипотезы, сумма вероятностной массы равна 1, и нам даже в голову не придет поступать как-то иначе.

Возможно, вы захотите уделить минуту, чтобы представить себе, что если мы определяем вероятность через калибровку, то теорема Байеса связывает между собой именно калибровки. Предположим, я считаю, что вероятность истинности Теории 1 составляет 50%, и вероятность истинности Теории 2 — тоже 50%. Предположим, что я хорошо откалиброван: когда я произношу слова «пятьдесят процентов», событие действительно происходит примерно в половине случаев. И вот я наблюдаю результат R, который в рамках Теории 1 должен происходить примерно в девяти случаях из десяти, а в рамках Теории 2 — примерно в девяти случаях из ста; я знаю это и применяю байесовское рассуждение. Если изначально я был идеально откалиброван (несмотря на слабую различительную способность заявления «50 на 50»), то я останусь идеально откалиброванным (и получу лучшую различительную способность) после того, как заявлю, что моя уверенность в Теории 1 теперь составляет 91%. Если бы я повторял подобные ситуации многократно, я оказывался бы прав примерно в десяти случаях из одиннадцати, когда говорил «91%». Если я рассуждаю по байесовским правилам и начинаю с хорошо откалиброванных априорных вероятностей, то и мои выводы будут хорошо откалиброваны. Это справедливо только в том случае, если мы определяем вероятность через калибровку! Если же интерпретировать «уверенность на 90%» как, скажем, силу эмоции убежденности, нет никаких оснований ожидать, что апостериорная эмоция будет находиться в точном байесовском соотношении с априорной эмоцией.

Пусть априорные шансы составляют десять к одному в пользу расплывчатой теории. Почему? Предположим, наш способ описания гипотез позволяет нам либо указывать точное число, либо просто указывать первую цифру; мы можем сказать «51», «63», «72» или «из пятидесятых/шестидесятых/семидесятых». Предположим, мы считаем, что истинный ответ с равной вероятностью может относиться как к первому типу, так и ко второму. Однако, исходя из условий задачи, существует сто возможных гипотез первого типа и только десять гипотез второго типа. Таким образом, если мы считаем, что у любого класса гипотез примерно равные априорные шансы оказаться верным, нам придется распределить априорную вероятность по точным теориям, которых в десять раз больше, чем расплывчатых. Следовательно, точная теория, предсказывающая именно 51, будет иметь априорную вероятность в десять раз меньшую, чем расплывчатая теория, предсказывающая число из пятидесятых. После того как мы увидим 51, шансы изменятся с 1:10 в пользу расплывчатой теории до 1:1, то есть станут равными для точной и расплывчатой теорий.

Если присмотреться внимательнее, это в точности соответствует тому, чего ожидает здравый смысл. Вначале вы не уверены, относится ли явление к такому типу, который каждый раз дает один и тот же точный результат, или к такому, который каждый раз дает результат в каком-то диапазоне «десятков». (Возможно, это явление — диапазон цен в супермаркете, если вам нужно какое-то обоснование того, почему диапазон 50–59 допустим, а 49–58 — нет.) Вы делаете одно измерение, и результат равен 51. Что ж, это может быть потому, что значение явления составляет ровно 51, или потому, что оно лежит в пределах пятидесяти. Таким образом, оставшаяся точная теория имеет те же шансы, что и оставшаяся расплывчатая теория, а это требует, чтобы расплывчатая теория изначально была в десять раз более вероятной, чем эта точная теория, поскольку точная теория точнее соответствует свидетельству.

Если мы просто видим одно число, например 51, это не меняет априорную вероятность того, было ли само явление «точным» или «расплывчатым». Но фактически это концентрирует всю вероятность этих двух классов гипотез в единственную уцелевшую гипотезу каждого класса.

Разумеется, называть само явление точным или расплывчатым — грубая ошибка, пример того, что Джейнс называет ошибкой проекции разума.⁷ Точность или расплывчатость — это свойство карт, а не территорий. Скорее нам стоит спросить, остается ли цена в супермаркете постоянной или же колеблется. Гипотеза «расплывчатого» типа — хорошее описание для колеблющейся цены. Точная же карта подойдет для неизменной территории.

Другой пример: вы подбрасываете монету десять раз и получаете последовательность ООРРО:РРРРО. Возможно, вы изначально думали, что вероятность того, что монета подстроена, составляет 1%. Разве гипотеза «Эта монета подстроена так, чтобы выдавать ООРРО:РРРРО» не распределяет в тысячу раз больше массы правдоподобия на наблюдаемый результат по сравнению с гипотезой о честной монете? Да. Разве апостериорные шансы того, что монета подстроена, не меняются на 10:1? Нет. Априорная вероятность в 1% того, что «монета подстроена», должна распределяться по всем возможным видам подстроек: монета подстроена выдавать ООРРО:РРРРО, монета подстроена выдавать РРООР:ООООР и так далее. Априорная вероятность того, что монета подстроена именно под ООРРО:РРРРО, составляет не 1%, а одну тысячную процента. В итоге апостериорная вероятность того, что монета подстроена выдавать ООРРО:РРРРО, составит один процент. Иными словами: вы думали, что монета, скорее всего, честная, но с вероятностью в один процент она могла быть подстроена под какую-то случайную последовательность; вы подбросили монету; монета выдала внешне случайную последовательность; и это ровным счетом ничего не говорит вам о том, честная она или подстроенная. Но это все же говорит вам о том, под какую последовательность она подстроена, если она действительно подстроена.

Эта притча помогает проиллюстрировать, почему байесианцы должны думать об априорных вероятностях. Существует направление в статистике, которое иногда называют «ортодоксальной» или «классической» статистикой; оно настаивает на том, чтобы обращать внимание только на правдоподобия. Но если обращать внимание только на правдоподобия, то в конечном итоге какая-нибудь гипотеза о подстроенной монете всегда будет побеждать гипотезу о честной монете — явление, известное как «переобучение» теории под данные. После тридцати бросков правдоподобие гипотезы о подстроенной под эту последовательность монете будет в миллиард раз выше, чем гипотезы о честной монете. Только если гипотеза о подстроенной монете (точнее, конкретно эта гипотеза о подстроенной монете) априори в миллиард раз менее вероятна, у нее появляется шанс проиграть гипотезе о честной монете.

Если вы встряхнете монету, чтобы сбросить результат, и начнете подбрасывать ее снова, и монета снова выдаст ООРРО:РРРРО — это совсем другое дело. Это действительно поднимет апостериорные шансы гипотезы о подстроенной монете до 10:1, даже если начальная вероятность составляла всего 1%.

Точно так же, если мы проведем два последовательных измерения счетчика частиц (или цены в супермаркете по средам) и оба измерения покажут 51, то точная теория победит с шансами 10:1.

Итак, точная теория побеждает, но расплывчатая теория все равно показала бы себя лучше, чем отсутствие какой-либо теории. Рассмотрим третью теорию — гипотезу нулевого знания, или распределение с максимальной энтропией, согласно которой любой результат от нуля до 99 равновероятен. Предположим, мы видим результат 51. Расплывчатая теория дала лучший прогноз, чем распределение с максимальной энтропией, — присвоила большее правдоподобие наблюдаемому нами исходу. Расплывчатая теория буквально лучше, чем ничего. Предположим, мы начали с шансов 1:20 в пользу гипотезы о полном неведении. (Почему шансы 1:20? Существует только одна гипотеза о полном неведении, и, кроме того, это особенно простой и интуитивно понятный вид гипотезы — бритва Оккама.) После того как мы увидели результат 51, которому расплывчатая теория предсказывала 9% вероятности, а гипотеза полного неведения — 1%, апостериорные шансы сдвигаются к 10:20, или 1:2. Если затем мы увидим еще один результат 51, апостериорные шансы составят 10:2, что означает 83% вероятности в пользу расплывчатой теории — при условии, что мы не рассматриваем более точную теорию.

И все же робость расплывчатой теории — ее нежелание давать точное предсказание и рисковать опровержением при любом другом результате — делает ее уязвимой перед смелой, точной теорией. (Разумеется, при условии, что смелая теория угадает результат правильно!) Предположим, априорные шансы точной, расплывчатой и невежественной теорий составляли 1:10:200 — априорные вероятности в 0,5%, 4,7% и 94,8% соответственно. Эти цифры отражают наше априорное распределение вероятностей по классам гипотез, где масса вероятности распределена по целым классам следующим образом: 50% на то, что явление колеблется по всем цифрам, 25% на то, что оно колеблется в пределах некоторого десятка, и 25% на то, что оно каждый раз повторяет одно и то же число. Одна гипотеза полного неведения, 10 возможных гипотез для диапазона десятков, 100 возможных гипотез для повторяющегося числа. Таким образом, априорные шансы точной гипотезы «51», расплывчатой гипотезы «пятидесятые» и гипотезы полного неведения составляют 1:10:200.

После получения результата 51 с предсказанными вероятностями 90%, 9% и 1% апостериорные шансы становятся равными 90:90:200 = 9:9:20. После получения еще одного результата 51 апостериорные шансы становятся равными 810:81:20, или 89%, 9% и 2%. Теперь точная теория предпочтительнее расплывчатой, которая, в свою очередь, предпочтительнее невежественной.

Теперь рассмотрим глупую теорию, которая предсказывает 90%-ную вероятность увидеть результат от нуля до девяти. Глупая теория присваивает фактическому исходу — числу 51 — вероятность 0,1%. Если изначально шансы для точной, расплывчатой, невежественной и глупой теорий составляли 1:10:200:10, то после однократного наблюдения 51 апостериорные шансы составят 90:90:200:1. Глупая теория была опровергнута (ее апостериорная вероятность составила всего 0,2%).

Вполне возможно иметь настолько плохую модель, что она будет хуже, чем ничего — если эта модель концентрирует массу вероятности в стороне от фактического исхода, уверенно предсказывая неверные ответы. Такая гипотеза настолько слаба, что проигрывает даже гипотезе полного неведения. Неведение лучше, чем антизнание.

К слову: в области искусственного интеллекта порой возникает мода воспевать величие случайности. Время от времени какой-нибудь исследователь ИИ обнаруживает, что если добавить шум в один из его алгоритмов, алгоритм начинает работать лучше. Об этом результате сообщается с огромным энтузиазмом, за чем следует поток слащавых восторгов по поводу творческих сил хаоса, непредсказуемости, спонтанности, незнания того, что творит твой собственный ИИ, и так далее. (См. в качестве примера The Imagination Engine; согласно их рекламным проспектам, они продают израненные и умирающие нейросети.⁸) Но насколько же жалок алгоритм, если можно повысить его эффективность, впрыскивая энтропию в промежуточные стадии обработки данных? Алгоритм, должно быть, настолько разлажен, что часть его работы уходит на концентрацию массы вероятности в стороне от хороших решений. Если добавление случайности приводит к стабильному улучшению, то какая-то часть алгоритма должна стабильно работать хуже, чем случайный выбор. Только в области ИИ люди умудряются разрабатывать алгоритмы буквально глупее мешка кирпичей, слегка подтягивать результаты обратно в сторону неведения, а затем рассуждать о целебной силе шума.

Предположим, что в нашем эксперименте мы получаем результаты 52, 51 и 58. Точная теория дает этому совместному событию вероятность как один к тысяче, помноженное на 90%, помноженное на один к тысяче, в то время как более расплывчатая теория дает этому совместному событию вероятность как 9% в кубе, что составляет... так... эм... давайте посчитаем... миллион к одному при точной теории против одной тысячи к одному при расплывчатой теории. Или около того; мы считаем грубо, по степеням десятки. Против миллиона к одному при распределении нулевого знания, которое присваивает равную вероятность всем исходам. Против миллиарда к одному при модели, которая хуже, чем ничего — глупой гипотезе, утверждающей 90%-ную вероятность увидеть число меньше 10. Используя эти приблизительные числа, расплывчатая теория набирает -30 децибел (вероятность 1/1000 для всего исхода эксперимента) против -60 децибел у точной теории, -60 децибел у теории неведения и -90 децибел у глупой теории. Не всегда побеждает тот, у кого наибольшее число очков, поскольку нам нужно учесть наши априорные шансы 1:10:200:10, то есть уверенность в -23, -13, 0 и -13 децибел соответственно. Расплывчатая теория все равно лидирует с наивысшим итоговым результатом в -43 децибела. (Если бы мы игнорировали априорные вероятности, каждый новый эксперимент перечеркивал бы накопленные результаты всех предыдущих; мы не смогли бы накапливать знание. Более того, гипотеза о фиксированной монете всегда бы побеждала.)

Как всегда, нас не должно пугать то, что даже лучшая теория все еще имеет низкий результат — вспомните притчу о честной монете. Теории — это приближения. В принципе, мы могли бы предсказать точную последовательность бросков монеты. Но для этого потребовались бы более точные измерения и больше вычислительной мощности, чем мы готовы потратить. Возможно, с достаточно хорошей моделью мы могли бы добиться предсказания бросков с точностью 60 на 40... ? Мы выбираем лучшее приближение из имеющихся и пытаемся достичь хорошей калибровки, даже если различающая способность не идеальна.

До этого момента мы проводили анализ по правилам байесовской теории вероятностей, в которой невозможно получить более 100% массы вероятности, а значит, невозможно смухлевать так, чтобы любой исход считался «подтверждением» вашей теории. По байесовским законам игрушечные деньги нельзя подделать; у вас есть лишь строго ограниченное количество глины.

К сожалению, люди — не байесовцы. Люди странным образом пытаются защищать гипотезы, прикладывая сознательные усилия, чтобы доказать их или предотвратить опровержение. У этого поведения нет аналогов в законах теории вероятностей или теории принятия решений. В формальной теории вероятностей гипотеза просто есть, и свидетельство просто есть, и гипотеза либо подтверждается, либо нет. В формальной теории принятия решений агент может приложить усилия для исследования какого-то вопроса, в котором он сейчас не уверен, не зная, склонится ли свидетельство в одну или в другую сторону. Ни в том, ни в другом случае никто никогда намеренно не пытается доказать идею или избежать её опровержения. Можно проверять идеи, в которых искренне сомневаешься, но нельзя иметь «предпочтительный» исход исследования. Нельзя пытаться ни доказывать гипотезы, ни препятствовать их доказательству. Я не могу в полной мере передать, насколько нелепой показалась бы эта концепция истинному байесовцу; на байесовском языке даже нет слов, чтобы описать эту ошибку...

Каждому ожиданию свидетельства соответствует равное и противоположное ожидание контрсвидетельства. Если А — свидетельство в пользу Б, то не-А должно быть свидетельством в пользу не-Б. Сила этих свидетельств не обязательно должна быть равной; редкое, но веское свидетельство в одну сторону может уравновешиваться частым, но слабым свидетельством в другую сторону. Но невозможно, чтобы и А, и не-А одновременно были свидетельствами в пользу Б. То есть это невозможно по законам теории вероятностей.

Люди часто ведут себя так, будто хотят и пирог сохранить, и съесть его. Какой бы результат мы ни увидели, именно он и доказывает нашу теорию. Как выразился Шпее, священник из главы «Закон сохранения ожидаемого свидетельства»: «Следственный комитет посчитал бы себя опозоренным, если бы оправдал женщину; раз уж она арестована и закована в цепи, она должна быть виновна, всеми правдами и неправдами».⁹

Человеческая психология, похоже, устроена так: сначала мы видим, как что-то происходит, а затем пытаемся доказать, что это соответствует той гипотезе, которую мы держали в уме заранее. Вместо сохраняющейся массы вероятности, которую нужно распределять по предварительным предсказаниям, у нас есть чувство совместимости — степень, в которой объяснение и событие «соответствуют» друг другу. Это «соответствие» не сохраняется. Здесь нет аналога правила, согласно которому сумма масс вероятностей должна равняться единице. Психоаналитик может объяснить любое возможное поведение пациента, выстроив подходящую структуру «рационализаций» и «защит»: раз подходит, значит, это правда.

Теперь вспомните басню из эссе «Ложные объяснения» — о студентах, которые видят батарею отопления и металлическую пластину рядом с ней. Студенты никогда бы заранее не предсказали, что сторона пластины, обращенная к батарее, окажется холоднее. И всё же, столкнувшись с этим фактом, они умудрились «подогнать» свои объяснения под него. Они упустили свой драгоценный шанс удивиться и осознать, что их модели не предсказывали наблюдаемое явление. Они пожертвовали своей способностью испытывать большее замешательство от вымысла, чем от истины. И они не поняли, что слова вроде «тепловая индукция, бла-бла-бла, поэтому ближняя сторона холоднее» — это расплывчатое вербальное предсказание, размазанное по огромному диапазону возможных значений конкретных измеряемых температур. Применение уравнений диффузии и термодинамического равновесия дало бы точное предсказание для возможных совместных значений. Оно могло бы не определять самые первые измеренные вами значения, но, зная несколько значений, вы могли бы составить точное предсказание для всех остальных. Результат для всего исхода эксперимента оказался бы намного выше, чем у любой менее точной альтернативы, особенно у расплывчатого вербального предсказания.

Теперь у вас есть техническое объяснение разницы между вербальным и техническим объяснениями. Оно техническое, потому что позволяет вам вычислить, насколько именно техническим является объяснение. Расплывчатые гипотезы могут быть настолько туманными, что только сверхчеловеческий интеллект мог бы рассчитать, насколько именно они расплывчаты. Возможно, достаточно мощный интеллект мог бы экстраполировать каждый возможный экспериментальный результат и каждый возможный вердикт расплывчато мыслящего человека о том, насколько хорошо «соответствует» расплывчатая гипотеза, а затем ренормировать распределение «соответствия» в распределение правдоподобия, дающее в сумме единицу. Но в принципе вычислить, насколько именно расплывчата та или иная гипотеза, всё же возможно. Этот расчёт просто вычислительно неосуществим, подобно тому как вычислительно неосуществим расчёт траектории самолёта методами квантовой механики.

Я утверждаю, что каждому необходимо изучить хотя бы одну техническую дисциплину: физику, компьютерные науки, эволюционную биологию, байесовскую теорию вероятностей или что-то подобное. Человек, у которого за плечами нет ни одной технической дисциплины, не имеет эталона для понимания того, что значит «объяснить» что-либо. Он может думать, будто «всё есть огонь» — это объяснение, как думал древнегреческий философ Гераклит. Именно поэтому я выступаю за то, чтобы байесовскую теорию вероятностей преподавали в старших классах школы. Байесовская теория вероятностей — единственный известный мне раздел математики, который доступен на уровне старшей школы и позволяет получить техническое понимание предмета (динамики убеждений), который относится к повседневной реальности и имеет эмоционально значимые последствия. Изучение байесовской вероятности дало бы ученикам эталон того, что значит «объяснить» что-либо.

Слишком многие академики думают, что быть «техническим» означает изъясняться сухими многосложными словами. Вот вам «техническое» объяснение технического объяснения:

Уравнения теории вероятностей отдают предпочтение гипотезам, которые уверенно предсказывают точные наблюдаемые данные. Сильные модели смело концентрируют свою плотность вероятности на точных исходах, что делает их фальсифицируемыми, если данные окажутся иными, и даёт им колоссальное преимущество в правдоподобии над моделями менее смелыми и менее точными. Вербальное объяснение опирается на психологическую оценку несохраняющегося соответствия post facto вместо сохраняющейся плотности вероятности ante facto. К тому же вербальное объяснение не рисует чётко детализированных картин, подразумевая гладкое распределение правдоподобия в окрестности данных.

Удовлетворительно? Нет. Прислушайтесь к этим внушительным и веским фразам, звучащим с глухим стуком экспертности. Посмотрите на несчастных студентов, прилежно записывающих эти фразы на листке бумаги. Даже услышав эти ритуальные слова, слушатели не могут произвести никаких расчётов. Вы знаете математику, поэтому эти слова наполнены для вас смыслом. Вы можете произвести расчёты после того, как услышали эти впечатляющие слова, точно так же, как могли сделать это и до того. Но как быть тому, кто вообще не видел, как выполняются эти расчёты? Какие новые навыки они приобрели благодаря этой «технической» лекции, кроме умения повторять интригующие слова?

«Байесовский» — безусловно интригующее слово, не так ли? Давайте выпустим пар: Байес Байес Байес Байес Байес Байес Байес Байес Байес . . .

Этот священный слог бессмысленен, за исключением того, что он предписывает применить математику. Следовательно, тот, кто его слышит, уже должен знать эту математику.

И наоборот: если вы знаете математику, вы можете валять дурака сколько угодно и всё равно оставаться техничным.

Тем самым мы избавляемся от ещё одного стереотипа о рациональности — будто она состоит из сухой формальности и угрюмой торжественности. Какое отношение это имеет к задаче отделения истины от лжи? Какое отношение это имеет к получению карты, отражающей территорию? Учёный, достойный своего лабораторного халата, должен быть способен делать оригинальные открытия в костюме клоуна или читать лекцию высоким писклявым голосом, надышавшись гелием. В математике теории вероятностей нигде не написано, что развлекаться запрещено. Клинок, прорубающий путь к правильному ответу, сам по себе не обладает ни достоинством, ни глупостью, хотя он вполне может прийтись по руке несерьёзному владельцу.

Полезная модель — это не просто знание вроде того, что самолёт состоит из атомов. Полезная модель — это знание, которое вы можете рассчитать за разумное время, чтобы предсказать события реального мира, которые вы умеете наблюдать. Возможно, кто-то обнаружит, что с помощью модели, которая слегка нарушает закон сохранения импульса, можно рассчитать аэродинамику «Боинга-747» гораздо дешевле, чем если бы мы настаивали на строгом сохранении импульса. Так что если у вас есть два компьютера, соревнующихся в точности предсказания, может оказаться, что лучшее предсказание выдаст модель, нарушающая закон сохранения импульса. Это не означает, что настоящий «Боинг-747» нарушает закон сохранения импульса в реальности. Ни одна из этих моделей не учитывает отдельные атомы, но из этого не следует, что самолёт не состоит из атомов. Физики используют разные модели для прогнозирования поведения самолётов и столкновений частиц, потому что рассчитывать самолёт поатомно было бы слишком дорого.

Вы могли бы доказать, что «Боинг-747» состоит из атомов, с помощью экспериментальных данных, с которыми аэродинамические модели не справятся; например, направить сканирующий туннельный микроскоп на участок крыла и рассмотреть атомы. Точно так же вы могли бы использовать более точный измерительный прибор, чтобы отличить «Боинг-747», который действительно нарушает закон сохранения импульса, как предсказывает дешёвая аппроксимация, от «Боинга-747», который подчиняется закону сохранения импульса, как предсказывает фундаментальная физика. Побеждает та теория, которая лучше всего предсказывает результаты всех экспериментов в совокупности. Наше байесовское правило оценки даёт нам способ объединить результаты всех наших экспериментов, даже тех, в которых используются разные методы.

Более того, атомарная теория допускает, принимает и в некотором смысле предписывает использование аэродинамической модели. Размышляя абстрактно о допущениях атомарной теории, мы понимаем, что аэродинамическая модель должна быть хорошим (и гораздо более дешёвым) приближением атомарной теории, и поэтому атомарная теория поддерживает аэродинамическую модель, а не конкурирует с ней. Успешная теория может включать в себя множество моделей для различных областей, если эти модели признаются приближениями и в каждом случае модель совместима с лежащей в её основе теорией (а в идеале — предписывается ею).

Наша фундаментальная физика — квантовая механика, стандартное семейство частиц и теория относительности — это теория, которая охватывает огромное семейство моделей макроскопических физических явлений. Существует физика жидкостей, твердых тел и газов; но это не означает, что в мире есть фундаментальные сущности, обладающие внутренним свойством жидкостности.

По видимости существует цвет, по видимости — сладкое, по видимости — горькое, а в действительности существуют только атомы и пустота.

— Демокрит, 420 г. до н. э., по Робинсону и Гроувзу¹⁰

Утверждая, что «техническая» теория должна определяться как теория, резко концентрирующая вероятность в конкретных заблаговременных предсказаниях, я устанавливаю чрезвычайно высокую планку строгости. Мы видели, что туманная теория может быть лучше, чем ничего. Туманная теория может одержать верх над гипотезой неведения, если с ней не конкурируют точные теории.

Существует огромное семейство моделей, относящихся к центральной фундаментальной теории жизни и биологии — теории, которую иногда называют неодарвинизмом, естественным отбором или эволюцией. Некоторые модели в эволюционной теории количественные. Способ, которым ДНК кодирует белки, избыточен: две разные последовательности ДНК могут кодировать один и тот же белок. Существует четыре основания ДНК {А, Т, Ц, Г} и 64 возможные комбинации из трех оснований ДНК. Но эти 64 возможных кодона описывают лишь 20 аминокислот и стоп-кодон. Следовательно, генетический дрейф должен приводить к нефункциональным изменениям в геномах видов посредством мутаций, которые случайно закрепляются в генофонде. Скорость накопления нефункциональных различий между геномами двух видов с общим предком зависит от таких параметров, как число прошедших поколений и интенсивность отбора в данном генетическом локусе. Это пример модели из семейства эволюционных моделей, которая дает количественные предсказания. Сюда же относятся неравновесные частоты аллелей под действием отбора, стабильные равновесия для теоретико-игровых стратегий, соотношение полов и так далее.

Все это относится к категории «завораживающих слов». К сожалению, существуют определенные религиозные фракции, которые распространяют грубую дезинформацию об эволюционной теории. Поэтому я подчеркиваю, что многие модели в рамках эволюционной теории дают количественные предсказания, подтвержденные экспериментально, и таких моделей более чем достаточно, чтобы доказать, что, к примеру, люди и шимпанзе происходят от общего предка. Если вы пали жертвой креационистской дезинформации — то есть если вы слышали любые намеки на то, что теория эволюции спорна, непроверяема, является «всего лишь теорией», нестрога, нетехнична или вообще не подтверждена невообразимо огромной горой экспериментальных доказательств, — я рекомендую вам почитать TalkOrigins FAQ¹¹ и изучить эволюционную биологию с математической стороны.

Но представьте, что мы перенеслись в прошлое, в девятнадцатый век, когда теорию естественного отбора только-только открыли Чарльз Дарвин и Альфред Рассел Уоллес. Представьте эволюционизм сразу после его зарождения, когда у этой теории не было и близко ничего похожего на современный свод количественных моделей и колоссальные горы экспериментальных доказательств. Невозможно было знать, что у человека и шимпанзе обнаружится 95% общего генетического материала. Никто не знал о существовании ДНК. И тем не менее, ученые потянулись к новой теории естественного отбора. А позже выяснилось, что точно копируемый генетический материал с возможностью мутации действительно существует, что родство человека и шимпанзе доказуемо и так далее.

Таким образом, тот очень строгий, очень высокий стандарт, который я предложил для «технической» теории, слишком строг. Исторически все же удавалось успешно отличать истинные теории от ложных на основе предсказаний того типа, который я назвал «туманными». Туманные предсказания с, скажем, 80%-й уверенностью при достаточном количестве экспериментов могут обеспечить огромное преимущество над альтернативными гипотезами. Возможно, теорию подобного рода, которая дает не детально точные, но тем не менее верные предсказания, можно назвать «полутехнической»?

Но ведь технические теории наверняка надежнее полутехнических? Наверняка технические теории должны иметь приоритет, вызывать большее уважение? Физика, дающая чрезвычайно точные предсказания, наверняка в некотором смысле лучше подтверждена, чем эволюционная теория? Конечно, я не хочу сказать, что теория эволюции неверна; но какими бы огромными ни были горы свидетельств в пользу эволюции, разве физика не превосходит ее благодаря огромным горам точных экспериментальных подтверждений? Наблюдения за нейтронными звездами подтверждают предсказания общей теории относительности с точностью до одной стотриллионной доли (10¹⁴). Что может противопоставить этому эволюционная теория?

Дэниел Деннет однажды сказал, что если судить по простоте теории и объему сложности, которую она объясняет, Дарвину принадлежит величайшая идея за всю историю.¹²

Когда-то возник конфликт между физикой и эволюционизмом девятнадцатого века. Согласно лучшим физическим моделям того времени, Солнце не могло гореть очень долго. Три тысячи лет на химической энергии или 40 миллионов лет на гравитационной энергии. Физике девятнадцатого века не был известен ни один источник энергии, который позволил бы Солнцу гореть дольше. Физика девятнадцатого века была не совсем такой мощной, как современная — она не давала предсказаний с точностью до одной стотриллионной (10¹⁴). Но физика девятнадцатого века все же обладала математическим характером современной физики — дисциплины, чьи модели давали детальные, точные количественные предсказания. Эволюционная теория девятнадцатого века была полностью полутехнической, в ней не было ни капли количественного моделирования. Тогда еще не было известно даже об экспериментах Менделя с горохом. И все же казалось весьма вероятным, что для работы эволюции потребуется гораздо больше времени, чем жалкие 40 миллионов лет — сотни миллионов или даже миллиарды лет. Древность Земли была туманным полутехническим предсказанием туманной полутехнической теории. Физики же девятнадцатого века, напротив, располагали точной количественной моделью, которая путем формальных расчетов приводила к точному количественному выводу: Солнце просто не могло гореть так долго.

«Ограничения геологических периодов, накладываемые физической наукой, разумеется, не могут опровергнуть гипотезу трансмутации видов; однако они кажутся достаточными для того, чтобы опровергнуть доктрину о том, что трансмутация происходила путем „происхождения с изменениями посредством естественного отбора“».

— Лорд Кельвин, по Лайлу Запато¹³

История зафиксировала, кто победил.

В чем мораль? Если вы можете давать заблаговременные предсказания с 80-процентной уверенностью на вопросы, требующие ответа «да» или «нет», теория может казаться «расплывчатой», она может ошибаться в одном случае из пяти, но вы все равно сможете набрать чертовски огромное преимущество по очкам перед гипотезой неведения. Этого достаточно для подтверждения теории, если нет более сильных конкурентов. Реальность непротиворечива; каждая верная теория о Вселенной совместима со всякой другой верной теорией. Несовершенные карты могут конфликтовать, но территория только одна. Эволюционизм XIX века, возможно, и был полутехнической дисциплиной, но все же оставался верным (как мы теперь знаем) и безусловно лучшим объяснением (даже в то время). Любой конфликт между эволюционизмом и другой хорошо подтвержденной теорией должен был отражать какую-то аномалию, ошибку в утверждении, будто эти две теории несовместимы. Физика XIX века не могла смоделировать динамику Солнца — тогда еще не знали о ядерных реакциях. Физики не могли доказать, что их понимание Солнца верно в технических деталях, как не могли и провести расчеты на основе подтвержденной модели Солнца, чтобы определить, как долго оно просуществовало. Так что, оглядываясь назад, мы можем сказать нечто вроде: «Оставалась вероятность того, что физика девятнадцатого века просто не понимала, как устроено Солнце».

Но это лишь знание задним числом. Настоящий урок состоит в том, что, хотя физика девятнадцатого века была и точной, и количественной, она не имела автоматического превосходства над полутехнической теорией эволюционизма девятнадцатого века. Обе теории были хорошо подкреплены. Обе они были верны в тех областях, на которые распространялись их обобщения. Кажущийся конфликт между ними был аномалией, и выяснилось, что эта аномалия проистекала из неполноты и неверного применения физики девятнадцатого века, а не из неполноты и неверного применения эволюционизма девятнадцатого века. Но было бы бессмысленно сталкивать гору доказательств в пользу одной теории с горой доказательств в пользу другой. Даже в то время обе горы были слишком велики, чтобы предположить, будто какая-то из теорий была попросту ошибочной. Такие огромные горы доказательств нельзя стравливать в борьбе, будто одна опровергает другую. Значит, вы либо неверно применяете одну из теорий, либо используете модель за пределами той области, которую она хорошо предсказывает.

Поэтому не стоит обязательно смотреть свысока на теорию только потому, что она полутехническая. Полутехнические теории могут набрать достаточно высокое количество очков по сравнению со всеми имеющимися альтернативами, чтобы вы поняли: эта теория как минимум приблизительно верна. Когда-нибудь полутехническую теорию может заменить или даже опровергнуть более точный конкурент, но это верно и для чисто технических теорий. Вспомните, как общая теория относительности Эйнштейна поглотила ньютоновскую теорию тяготения.

Но истинность полутехнической теории — теории, у которой на данный момент нет точных, вычислительно реализуемых моделей, проверяемых осуществимыми экспериментами, — может быть гораздо менее очевидной, чем истинность теории технической. Требуются мастерство, терпение и тщательный анализ, чтобы отличить хорошие полутехнические теории от тех, в которых царит полнейшая путаница. Люди не умеют делать это интуитивно, вот почему у нас есть Наука.

Люди охотно спешат с выводами и хватаются за любой повод, чтобы отвергнуть несимпатичную им теорию. Вот почему я привел в пример эволюционизм девятнадцатого века — чтобы показать, почему не следует спешить и с ходу отвергать «нетехнические» теории. С точки зрения моральных устоев науки, эволюционизм девятнадцатого века был повинен не в одном грехе. Эволюционизм девятнадцатого века не делал количественных предсказаний. Его было нелегко подвергнуть фальсификации. По большей части он лишь объяснял то, что уже было известно. У него отсутствовал базовый механизм, поскольку о ДНК тогда никто еще не знал. Он даже противоречил законам физики девятнадцатого века. И все же естественный отбор был настолько потрясающе хорошим объяснением постфактум, что люди массово его приняли, и в итоге оказались правы. Наука как человеческая деятельность требует заблаговременных предсказаний. Теория вероятностей как математическая дисциплина не делает различий между предсказаниями постфактум и заблаговременными, поскольку предполагает, что вероятностные распределения — это фиксированные свойства гипотезы.

Правило о заблаговременных предсказаниях — это правило социального процесса науки, моральный устой, а не теорема. Этот моральный устой существует для того, чтобы уберечь людей от сугубо человеческих ошибок, которые трудно даже описать на языке теории вероятностей, — например, от подгонки задним числом того, что, как вы утверждаете, предсказывает ваша гипотеза. Люди пришли к выводу, что эволюционизм девятнадцатого века был отличным объяснением, пусть даже и постфактум. С точки зрения теории вероятностей это рассуждение было верным, именно поэтому оно сработало, вопреки всем научным грехам. Теория вероятностей — это математика. Социальный процесс науки — это свод юридических правил, призванных не позволить людям жульничать с математикой.

Однако верно и то, что по сравнению с современным эволюционистом, теоретики эволюции конца девятнадцатого — начала двадцатого века часто, к сожалению, сбивались с пути. Дарвин, ума которого хватило на то, чтобы изобрести эту теорию, оказался поразительно точен в огромном множестве вещей. Но преемники Дарвина, ума которых хватило лишь на то, чтобы принять теорию, понимали эволюцию превратно, часто и самым серьезным образом. Чтобы исправить их ошибки, потребовался обычный научный процесс. Просто невероятно, как мало логических ошибок допустил Дарвин¹⁴ в «Происхождении видов» и «Происхождении человека» по сравнению с теми, кто шел за ним.

В этом же кроется и опасность полутехнических теорий. Даже после того как гениальное озарение подтверждено, рядовые ученые в отсутствие формальных моделей могут оказаться неспособны применять его идеи правильно. Еще в 1960-х годах биологи говорили о том, что эволюция работает «на благо вида», или предполагали, что отдельные особи сдерживают свое размножение, дабы предотвратить перенаселение среды обитания. Лучшие эволюционисты понимали, что к чему, но средние теоретики — нет.¹⁵

Поэтому гораздо лучше иметь техническую теорию, чем полутехническую. К сожалению, Природа далеко не всегда настолько любезна, чтобы позволить описать Себя изящными, формальными, вычислительно реализуемыми моделями, и не всегда Она снабжает Своих исследователей измерительными приборами, способными напрямую зондировать Ее явления. Иногда это лишь вопрос времени. Эволюционизм девятнадцатого века был полутехническим, но позже появилась математика популяционной генетики и, в конце концов, секвенирование ДНК. Природа не всегда подбрасывает вам явление, которое вы можете описать с помощью технических моделей спустя пятнадцать секунд после того, как к вам пришло базовое озарение.

И все же передний край науки, область полемики, чаще всего касается именно полутехнических теорий или же чепухи, которая под них маскируется. К тому времени как теория обретает технический статус, она обычно перестает быть спорной (среди ученых). Так что вопрос о том, как отличить хорошие полутехнические теории от бессмыслицы, чрезвычайно важен для ученых, и решить его не так просто, как огульно отвергнуть любую нетехническую теорию. Ради того, чтобы отличать истину от лжи, и существует вся дисциплина рациональности. Это искусство невозможно свести к контрольному списку — во всяком случае, к такому, который средний ученый сможет надежно применять после часовой подготовки. Будь все так просто, наука нам бы не понадобилась.

Зачем вы вообще следите за научными спорами? Зачем пастись на том скудном и подгнившем корме, который предлагают СМИ, когда в учебниках вас ждет столько полноценной пищи? Наука из учебников прекрасна! Наука из учебников постижима, в отличие от просто завораживающих слов, которые никогда не смогут стать по-настоящему красивыми. Без математики у завораживающих слов нет ни силы, ни даже смысла. Завораживающие слова — это не знание, а лишь иллюзия знания, именно поэтому знание о том, что «гравитация возникает из-за искривления пространства-времени», приносит так мало удовлетворения. Наука заключается не в завораживающих словах, хотя в горячих новостях вы только их и прочитаете.

Следить за научными спорами бывает оправданно. Возможно, вы эксперт в этой области, и тогда эти споры — ваша законная пища. Или же эти научные споры — то, что вам необходимо знать прямо сейчас, потому что это влияет на вашу жизнь. Представьте, что на дворе девятнадцатый век, вы с вожделением разглядываете представителя подходящего пола в купальном костюме девятнадцатого века, и вам крайне важно знать: ваше сексуальное влечение — следствие психологии, сформированной естественным отбором, или искушение, подстроенное дьяволом, дабы завлечь вас в адское пламя?

Нельзя полностью исключать, что мы столкнемся с научным спором, который затрагивает нас лично, и обнаружим, что нам до зареза нужна правильная разгадка. Поэтому я рассмотрю некоторые тревожные признаки, которые исторически отличали расплывчатые гипотезы, оказавшиеся в итоге антинаучной галиматьей, от расплывчатых гипотез, которые со временем переросли в подтвержденные теории. Только помните исторический урок эволюционизма девятнадцатого века и не поддавайтесь искушению ставить крест на любой теории, которая не соответствует хотя бы одному пункту из вашего чек-листа. В мои намерения не входит давать людям очередной повод отвергать хорошую науку, если она доставляет им дискомфорт. Если вы применяете более строгие критерии к теориям, которые вам не нравятся, чем к тем, которые вам по душе (или наоборот!), то каждая новая придирка, которую вы научитесь находить, каждый новый логический изъян, который вы научитесь замечать, делает вас ровно настолько же глупее. Разум, чтобы приносить пользу, должен быть направлен на что-то другое, нежели на борьбу с самим собой.

Один из классических признаков плохой гипотезы заключается в том, что ей приходится тратить огромные усилия во избежание фальсификации — изобретать объяснения, почему гипотеза совместима с явлением, даже если явление повело себя не так, как ожидалось. Карл Саган приводит в пример человека, который утверждает, что в его гараже живет дракон. Саган вынес из этого урок, что плохим гипотезам приходится изворачиваться на ходу, чтобы избежать опровержения — сохранить видимость «соответствия».¹⁶

Я бы заметил, что у заявляющего это человека явно имеется хорошая модель ситуации где-то в голове, потому что он может заранее предсказать, какие именно оправдания ему понадобятся. Для байесовца гипотеза — это не то, о чем заявляют громким, уверенным голосом. Гипотеза — это то, что управляет вашими ожиданиями, вероятностями, которые вы приписываете будущему опыту. Именно этим для байесовца вероятность и является — это то, за за что вы получаете очки, то, что вы калибруете. Так что, хотя наш заявитель может громко, уверенно и искренне утверждать, что он верит в невидимого дракона в гараже, он не ожидает увидеть невидимого дракона в гараже — его ожидания полностью совпадают с ожиданиями скептика.

Когда я оцениваю предсказания гипотезы, я спрашиваю, какого опыта я ожидаю, а не в какие факты я буду верить.

Обратная сторона:

Недавно я спорил с другом по одному вопросу теории эволюции. Мой друг утверждал, что кластеризация изменений в палеонтологической летописи (судя по всему, периоды относительного затишья сменяются сравнительно резкими изменениями; само по себе это спорное наблюдение, известное как «прерывистое равновесие») показывает, что с нашим пониманием видообразования что-то не так. Мой друг полагал, что здесь действует некая неведомая сила — не сверхъестественная, а какой-то природный фактор, который стандартная теория эволюции не учитывает. Поскольку мой друг не предложил конкретной альтернативной гипотезы, которая давала бы более точные предсказания, его тезис сводился к тому, что стандартная эволюционная модель глупа по отношению к имеющимся данным — что стандартная модель сделала конкретное неверное предсказание; что эта модель показала себя хуже, чем полное неведение или любой другой соперник по умолчанию.

Сначала я попался в ловушку: я принял неявное допущение, что стандартная модель предсказывает плавность, и строил свои аргументы на воспоминании о том, что изменения в палеонтологической летописи не были столь резкими, как он утверждал. Он предложил мне найти промежуточное эволюционное звено между Homo erectus и Homo sapiens; я погуглил и нашёл Homo heidelbergensis. Он поздравил меня и признал, что я заработал важное очко, но всё же продолжал настаивать на том, что изменения были слишком резкими и недостаточно постепенными. Я начал объяснять, почему, по моему мнению, неравномерный характер изменений мог следовать из стандартной модели: давление отбора со стороны окружающей среды могло быть непостоянным... «Ага! — сказал мой друг. — Ты заранее готовишь оправдания».

Но предположим, что палеонтологическая летопись вместо этого показывала бы плавную и постепенную последовательность изменений. Разве не мог бы мой друг тогда заявить, что стандартная модель эволюции как хаотичный и зашумлённый процесс не способна объяснить подобную плавность? Если заявлять постфактум, будто наша любимая гипотеза предсказывает полученные данные, — это научный грех, то разве не такой же грех утверждать постфактум, будто конкурирующая гипотеза глупа по отношению к этим данным?

Если гипотеза обладает чисто технической моделью, проблем не возникает: мы можем рассчитать предсказания модели формально, без неформальных переменных, за которые можно ухватиться ради манипуляций постфактум. Но как быть с полутехническими теориями? Очевидно, что полутехническая теория должна давать какие-то хорошие предварительные предсказания о чём-то, иначе зачем вообще с ней возиться? Но после того, как теория наполовину подтверждена, могут ли критики заявлять, будто данные указывают на проблему в ней, если эта «проблема» сконструирована постфактум? Как минимум, критики должны предельно конкретно указать, какие именно данные подтверждённая модель предсказывает глупо и почему она обязана делать (постфактум) это глупое предсказание. Насколько резкое изменение количественно является «слишком резким» для стандартной модели эволюции? Какую именно степень постепенности, по-вашему, предсказывает стандартная модель эволюции? Откуда вы это знаете? И не поздно ли говорить об этом после того, как вы уже увидели данные?

Когда мой друг обвинил меня в том, что я придумываю оправдания, я помедлил и спросил себя, какие именно оправдания мне, по моим ожиданиям, придётся придумывать. Я решил, что моё текущее понимание теории эволюции ничего не говорит о том, должна ли скорость эволюционных изменений быть прерывистой и скачкообразной или же плавной и постепенной. Если бы я не видел этот график заранее, я бы не смог его предсказать. (К сожалению, даже этот вердикт я вынес уже после того, как увидел данные...) Возможно, в семействе эволюционных моделей и существуют такие, которые дают предварительные предсказания о постепенности или изменчивости, но если они и есть, мне о них ничего не известно. И что ещё важнее, мой друг тоже этого не знал.

Не всегда разумно спрашивать оппонентов теории о том, что предсказывают их соперники. Узнавайте о предсказаниях теории от лучших её сторонников. Только обязательно записывайте их предсказания заранее. Да, иногда сторонники теории пытаются «подогнать» её под свидетельства, которые явно ей не соответствуют. Но если вы задаётесь вопросом, что предсказывает теория, расспросите сначала её сторонников, а затем попросите критиков устроить перекрёстный допрос.

Кроме того, модели могут содержать шум. Если мы выдвигаем гипотезу, что данные медленно и неуклонно растут, но наш измерительный прибор имеет погрешность в 5%, то нет никакого смысла указывать на точку данных, которая оказалась ниже предыдущей, и торжествующе кричать: «Смотрите! Она пошла вниз! Вниз, вниз, вниз! И не надо объяснять мне, как ваша теория укладывается в этот спад, вы просто ищете оправдания!» Формальные, технические модели часто включают в себя явные слагаемые погрешности. Слагаемое погрешности «размазывает» плотность правдоподобия, снижает точность модели и уменьшает количество очков теории, но байесовское правило начисления очков всё равно остаётся в силе. Техническая модель может допускать возможность ошибок, совершать ошибки и при этом показывать себя лучше, чем полное неведение. В нашем примере с супермаркетом даже точная гипотеза о числе 51 ставит на 51 лишь 90% своей вероятностной массы; эта точная гипотеза утверждает лишь то, что 51 выпадает в девяти случаях из десяти. Игнорировать девять случаев выпадения 51, указывать на один случай 82 и победно кукарекать — ещё не значит опровергнуть теорию. Это не оправдание, а явное предварительное предсказание технической модели.

Слагаемое погрешности делает «точную» теорию уязвимой перед сверхточной альтернативой, которая предсказала бы появление 82. Стандартная модель также была бы уязвима перед моделью точного неведения, которая предсказала бы 60-процентную вероятность выпадения 51 в том раунде, где мы увидели 82, распределив правдоподобие для этой конкретной ошибки более энтропийно. Какой бы хорошей ни была теория, в науке всегда найдётся место для соперника, набирающего больше очков. Но если вы не предлагаете лучшей альтернативы, а пытаетесь лишь показать, что общепринятая теория глупа по отношению к имеющимся данным, эта научная задача может оказаться более сложной, чем простая замена старой теории новой.

Астрономы зафиксировали необъяснимое смещение перигелия Меркурия, которое не укладывалось в ньютоновскую физику — точнее, ньютоновская физика предсказывала 5557 угловых секунд за столетие, тогда как наблюдаемая величина составляла 5600.¹⁷ Но следовало ли ученым того времени отказаться от ньютоновской гравитации из-за столь мелкого, необъяснимого противоречия? Что бы они использовали взамен? В конце концов от ньютоновской теории гравитации действительно отказались — после того как общая теория относительности Эйнштейна точно объяснила орбитальную аномалию Меркурия, а также сделала успешные предварительные предсказания. Но заранее знать, что всё обернётся именно так, было невозможно.

В девятнадцатом веке наблюдалась устойчивая аномалия в орбите Урана. Люди говорили: «Возможно, закон Ньютона перестаёт работать на больших расстояниях». В конце концов несколько светлых голов взглянули на аномалию и спросили: «А не может ли это быть неизвестная внешняя планета?» Урбен Леверье и Джон Куч Адамс независимо друг от друга провели расчёты, используя стандартную теорию Ньютона, и предсказали положение Нептуна с точностью до одного углового градуса, тем самым триумфально подтвердив ньютоновскую гравитацию.¹⁸

Только после того как общая теория относительности точно рассчитала смещение перигелия Меркурия, мы поняли, что ньютоновская гравитация никогда не сможет его объяснить.

В «Интуитивном объяснении» мы видели, как догадка Карла Поппера о том, что фальсификация сильнее подтверждения, переводится на байесовский язык как истина об отношениях правдоподобия. Поппер ошибался, считая, что фальсификация качественно отличается от подтверждения; оба эти процесса подчиняются одним и тем же байесовским правилам. Однако философия Поппера отражала важную истину о количественном различии между фальсификацией и подтверждением.

На Поппера произвело глубокое впечатление различие между якобы «научными» теориями Фрейда и Адлера и революцией, которую произвела в физике теория относительности Эйнштейна в первые два десятилетия этого века. Главное различие между ними, как видел его Поппер, заключалось в том, что в то время как теория Эйнштейна была крайне «рискованной» — в том смысле, что из неё можно было вывести следствия, крайне невероятные с точки зрения господствовавшей тогда ньютоновской физики (например, что свет отклоняется в сторону массивных тел, что подтвердилось экспериментами Эддингтона в 1919 году), и опровергавшие всю теорию целиком в случае их ложности, — психоаналитические теории ничто не могло опровергнуть даже в принципе. Последние, как пришёл к выводу Поппер, имеют больше общего с первобытными мифами, нежели с подлинной наукой. То есть он понял, что кажущийся главный источник силы психоанализа и основное основание, на котором зиждется его претензия на научный статус, а именно способность приспосабливаться к любой возможной форме человеческого поведения и объяснять её — на самом деле является его критической слабостью, поскольку из этого следует, что он не имеет и не может иметь подлинно предсказательной силы. Психоаналитические теории по своей природе недостаточно точны, чтобы иметь негативные следствия, а потому они защищены от эмпирического опровержения…

Таким образом, Поппер отвергает индукцию, не соглашается с мнением, будто она является характерным методом научного исследования и вывода, и предлагает взамен фальсифицируемость. Он утверждает, что получить подтверждения в пользу практически любой теории очень легко, и поэтому считает, что подобное «подкрепление» (corroboration, как он его называет) должно иметь научный вес лишь в том случае, если оно является положительным результатом подлинно «рискованного» предсказания, которое вполне могло бы оказаться ложным. Для Поппера теория является научной лишь тогда, когда её может опровергнуть какое-либо мыслимое событие. Соответственно, любая подлинная проверка научной теории логически представляет собой попытку опровергнуть или фальсифицировать её…

Таким образом, всякая подлинная научная теория, по мнению Поппера, является запретительной в том смысле, что она имплицитно запрещает определённые события или явления.¹⁹

Согласно философии Поппера, сила научной теории заключается не в том, как много она объясняет, а в том, чего она не объясняет. Достоинство научной теории кроется не в тех исходах, которые она разрешает, а в тех, которые она запрещает. Теории Фрейда, которые, казалось, объясняли всё, не запрещали ничего.

Переводя это на байесовский язык, мы увидим, что чем больше исходов модель запрещает, тем большую плотность вероятности она концентрирует на оставшихся, разрешённых исходах. Чем больше исходов запрещает теория, тем больше содержащегося в ней знания. Чем смелее теория подставляется под фальсификацию, тем определённее она говорит вам, каких наблюдений следует ожидать.

Теория, способная объяснить любой опыт, соответствует гипотезе полного неведения — равномерному распределению, при котором плотность вероятности ровным слоем размазана по всем возможным исходам.

Флогистон стал ответом восемнадцатого века на Стихийный Огонь греческих алхимиков. Теорию флогистона нельзя было использовать для предсказания результата химического превращения: сначала вы смотрели на результат, а затем привлекали флогистон, чтобы его объяснить. Теория флогистона была бесконечно гибкой — замаскированной гипотезой нулевого знания. Точно так же теория витализма не объясняет, как двигается рука, и не говорит, каких превращений ожидать от органической химии; и уж конечно витализм не позволяет проводить никаких количественных расчётов.

Обратная сторона:

Остерегайтесь мышления «по списку»: наличие священной тайны или таинственного ответа — это вовсе не то же самое, что отказ от объяснений. Некоторые элементы нашей физики принимаются как «фундаментальные» — пока ещё не сведённые к чему-то более простому и не объяснённые глубже. Но эти фундаментальные элементы нашей физики подчиняются чётко определённым, математически простым, формально вычислимым причинно-следственным правилам.

Время от времени какой-нибудь лжеучёный возражает против современной физики на том основании, что она не предлагает «лежащего в основе механизма» для математического закона, который в настоящее время считается фундаментальным. (Утверждение, что математическому закону не хватает «лежащего в основе механизма» — один из пунктов в Индексе фричества Джона Баэза.²⁰) «Лежащий в основе механизм», который предлагает взамен этот лжеучёный, — туманный, чисто вербальный и не даёт никакого прироста предсказательной силы, иначе мы бы не причисляли его к лжеучёным.

Наша нынешняя физика считает электромагнитное поле фундаментальным и отказывается объяснять его дальше. Но «электромагнитное поле» — это фундаментальное понятие, подчиняющееся чётким математическим правилам, не имеющее никаких свойств за их пределами и поддающееся формальным вычислениям, описывающим его причинно-следственное воздействие на мир. Возможно, когда-нибудь кто-то предложит более совершенный математический аппарат, дающий лучшие предсказания, но я бы не стал обвинять нынешнюю модель в «таинственности». Теория, которая содержит фундаментальные элементы, — это совсем не то же самое, что теория, содержащая таинственные элементы.

Фундаментальные понятия должны быть простыми. «Жизнь» — плохое фундаментальное понятие, «кислород» — хорошее фундаментальное понятие, а «электромагнитное поле» — ещё лучше. Виталисту жизнь может казаться простой — это ведь всего лишь простая, магическая способность ваших мышц двигаться под управлением разума. Почему бы не объяснить жизнь простой, магической фундаментальной субстанцией вроде élan vital? Но явления, которые кажутся психологически очень простыми — крошечные светящиеся точки в небе, ярко-оранжевое горячее пламя, плоть, движущаяся по велению мысли, — часто скрывают под собой огромную глубину. Утверждение, что жизнь — это сложное явление, может показаться невероятным виталисту, созерцающему глухую, непроницаемую тайну, за которую непонятно как ухватиться. Но да, Вирджиния, скрытая сложность действительно существует. Критерий простоты, имеющий отношение к бритве Оккама, — это математическая или вычислительная простота. Как только мы сводим нашу модель к математически простым фундаментальным элементам, которые сами по себе не разделяют таинственных свойств разгадываемой загадки и взаимодействуют строго определённым образом, порождая ранее загадочное явление в виде детального предсказания, это становится настолько свободным от мистики, насколько человечество вообще научилось что-либо объяснять.

Многие люди в этом мире верят, что после смерти предстанут перед суровым мужчиной по имени святой Пётр, который изучит их земные поступки и начислит им баллы за нравственность. Надо полагать, правило начисления очков у святого Петра уникально и инвариантно к тривиальным изменениям перспективы. К сожалению, верующие не могут получить количественную, точно вычисляемую спецификацию этого правила, что кажется довольно несправедливым.

Религия байесианства утверждает, что ваша вечная участь зависит от вероятностных суждений, которые вы выносили при жизни. В отличие от менее развитых верований, байесианство может дать количественную, точно вычисляемую спецификацию того, как именно определяется ваша вечная судьба.

Наше собственное байесовское правило начисления очков позволяет суммировать баллы по разным экспериментам, и этот результат инвариантен независимо от того, как мы разделяем «эксперименты» или в каком порядке суммируем результаты. Мы складываем логарифмы вероятностей. Это эквивалентно перемножению вероятностей, приписанных исходу каждого эксперимента, для нахождения их совместной вероятности. Мы берём логарифм, чтобы упростить наше интуитивное понимание накопленного балла, чтобы не терять из виду ничтожно малые доли и чтобы гарантировать максимизацию нашего ожидаемого балла, заявляя свои истинные вероятности, а не ставя все фишки на самый вероятный исход.

Байесианство утверждает, что когда вы умираете, Пьер-Симон Лаплас изучает абсолютно каждое событие в вашей жизни — от нахождения туфель у кровати поутру до обнаружения своего рабочего места на привычном месте. Каждый проигрышный лотерейный билет означает, что вам было не всё равно и вы решили сыграть. Лаплас оценивает априорную вероятность, которую вы приписали каждому событию. В тех случаях, когда вы не устанавливали точную численную вероятность заранее, Лаплас изучает вашу степень предвкушения или удивления, экстраполирует другие возможные исходы и ваши гипотетические реакции, а затем нормирует ваши экстраполированные эмоции до распределения правдоподобия по возможным исходам. (Отсюда и пошло выражение «лапласовский сверхразум».)

Затем Лаплас берёт каждое событие в вашей жизни и каждую приписанную вами вероятность и перемножает их все. Это ваш Страшный суд — вероятность, которую вы приписали собственной жизни.

Те, кто следует байесианству, всю жизнь стремятся максимизировать свой Страшный суд. Это единственная добродетель байесианства. Всё остальное — просто математика.

Помните: путь байесианства суров. Какую вероятность вы должны приписывать каждое утро утверждению «Солнце взойдёт»? (Мы опустим такие придирки, как пасмурные дни или тот факт, что Земля вращается вокруг Солнца.) Возможно, тот, кто не следует байесианству, проявил бы скромность и дал вероятность в 99,9%. Но мы, приверженцы байесианства, отбросим все соображения о скромности или высокомерии и будем строить планы лишь ради того, чтобы максимизировать результат Страшного суда. Как одержимые геймеры, мы печёмся только об этом числовом показателе. С вопросом «взойдёт ли Солнце» мы сталкиваемся 365 раз в году, поэтому мы могли бы значительно улучшить свой Страшный суд, слегка подкорректировав наши оценки вероятности.

В нынешнем виде, даже если Солнце встаёт каждое утро, каждый год результат нашего Страшного суда будет уменьшаться в 0,999³⁶⁵ = 0,7 раза, то есть примерно на -0,52 бита. Каждые два года оценка нашего Страшного суда будет снижаться сильнее, чем если бы мы оказались в полном неведении относительно результата подбрасывания монетки! Недопустимо. Если мы увеличим ежедневную вероятность восхода Солнца до 99,99%, то каждый год наш Страшный суд будет уменьшаться лишь в 0,964 раза. Уже лучше. И всё же, в маловероятном случае, если мы проживём ровно 70 лет и умрём, наш Страшный суд составит всего 7,75% от того, каким он мог бы быть. Что, если мы припишем восходу Солнца вероятность 99,999%? Тогда через 70 лет результат нашего Страшного суда будет умножен на 77,4%.

Почему бы не присвоить вероятность 1,0?

Тот, кто следует байесианству, никогда не присвоит вероятность 1,0 ничему. Присвоение вероятности 1,0 какому-то исходу расходует всю вашу вероятностную массу. Если вы присвоите вероятность 1,0 какому-то исходу, а реальность принесёт другой ответ, значит, фактическому исходу вы должны были присвоить вероятность ноль. Это единственный смертный грех байесианства. Ноль, умноженный на что угодно, равен нулю. Когда Лаплас перемножит все вероятности вашей жизни, итоговая вероятность будет равна нулю. Результат вашего Страшного суда окажется дыркой от бублика, шишом, зеро, абсолютным ничем. Независимо от того, насколько рациональными были ваши догадки в течение всей остальной жизни, вы проведёте вечность бок о бок с парнем, который верил в летающие тарелки и черпал всю информацию из Weekly World News. И снова мы убеждаемся в полезности логарифмирования, которое являет невинно звучащий «ноль» в его истинном обличье. Рисковать нулевой вероятностью исхода — всё равно что соглашаться на пари с выплатой в минус бесконечность.

А что, если человечество решит разобрать Солнце на вещество (звёздная инженерия) или выключить Солнце из-за того, что оно попусту расходует энтропию? Ну, скажете вы, такое-то событие можно предвидеть, у вас будет шанс скорректировать свою оценку вероятности до того, как всё произойдёт. А что, если искусственный интеллект в чьём-то подвале рекурсивно самосовершенствуется до сверхинтеллекта, скрытно разрабатывает нанотехнологии и в одно прекрасное утро он разбирает Солнце? Если в последнюю ночь этого мира вы припишете завтрашнему восходу Солнца вероятность 99,999%, результат вашего Страшного суда уменьшится в 100 000 раз. Минус 50 децибел! Ужасно, правда?

Какова же в таком случае ваша лучшая стратегия? Что ж, предположим, вы на 50% ожидаете, что выросший в подвале ИИ-сверхинтеллект разберёт Солнце в ближайшие десять лет, и полагаете, что вероятность этого события одинакова для любого дня в этот период. Тогда в любую конкретную ночь вы будете ожидать завтрашнего восхода Солнца с вероятностью 99,98%. Если это действительно то, чего вы ожидаете, то у вас нет причин называть в качестве своей вероятности какую-либо иную цифру, кроме 99,98%. Если вы нервничаете, что это ожидание слишком занижено или завышено, значит, с учётом этого беспокойства ваше истинное ожидание выглядит иначе.

Но более глубокая истина байесианства такова: систему нельзя обыграть. Вы не можете дать ни скромный ответ, ни уверенный. Вы должны точно определить, насколько сильно вы ожидаете завтрашнего восхода Солнца, и назвать именно это число. Вы должны сбрить до единого волоска скромность или высокомерие и спросить себя: рассчитываете ли вы в итоге получить оценку за то, что Солнце взойдёт, или за то, что оно не взойдёт? Не ищите оправданий, лучше спросите себя, какие именно оправдания вам могут понадобиться. Как только вы определите точную степень своего ожидания, единственный способ ещё больше улучшить результат Страшного суда — повысить точность, калибровку и различительную способность ваших ожиданий. Вы не сможете добиться большего, не научившись лучше угадывать и точнее прогнозировать.

Э-э, ну, разве что вы могли покончить с собой в пятилетнем возрасте и тем самым предотвратить дальнейшее снижение оценки на вашем Страшном суде. Или, если мы добавим в функцию полезности заплатку в виде нового греха, запрещающего самоубийство, вы могли бы бежать от тайн, избегая любых ситуаций, где, по вашему мнению, вы можете знать не всё. Вот вам и вся религия.

В идеале мы предсказываем исход эксперимента заранее, используя нашу модель, а затем проводим эксперимент, чтобы увидеть, согласуется ли результат с ней. К сожалению, мы не всегда можем контролировать информационный поток. Иногда Природа подбрасывает нам наблюдения, и к тому времени, когда мы придумываем объяснение, мы уже увидели те самые данные, которые должны объяснить. В этом состоял один из научных грехов эволюционизма девятнадцатого века: Дарвин заметил сходство многих видов и их приспособленность к конкретным местным условиям обитания до того, как ему в голову пришла гипотеза естественного отбора. Эволюционизм девятнадцатого века начинался как объяснение постфактум, а не как опережающее предсказание.

И это проблема не только полутехнических теорий. В 1846 году успешный вывод о существовании Нептуна из гравитационных возмущений орбиты Урана было сочтено великим триумфом ньютоновской теории тяготения. Почему? Потому что открытие Нептуна стало первым наблюдением, подтвердившим опережающее предсказание ньютоновской гравитации. Все остальные явления, которые объяснил Ньютон — орбиты, орбитальные возмущения, приливы — были подробно изучены ещё до того, как Ньютон их объяснил. Никто всерьёз не сомневался в правильности теории Ньютона. Теория Ньютона объясняла слишком многое и слишком точно, заменив целый набор моделей ad hoc единым универсальным математическим законом. И всё же опережающее предсказание существования Нептуна, за которым последовало его обнаружение практически в точности в указанном месте, сочли первым великим триумфом теории Ньютона в прогнозировании того, чего не могла предсказать ни одна предыдущая модель. Между всеобщим признанием теории Ньютона и первым впечатляющим опережающим предсказанием ньютоновской гравитации прошло немало времени. К моменту, когда Ньютон создал свою теорию, учёные уже детально наблюдали большую часть явлений, которые предсказывала ньютоновская гравитация.

Однако правило опережающего предсказания — это научная этика, а не закон теории вероятностей. Если вы уже видели данные, которые должны объяснить, Наука может слать вас ко всем чертям, но ваше затруднительное положение не отменяет законов теории вероятностей. Происходит лишь то, что несчастному человеку становится гораздо труднее соблюдать законы теории вероятностей. Когда вы решаете, какую оценку поставить гипотезе в соответствии с байесовским правилом начисления очков, вам нужно определить, какую долю вероятностной массы эта гипотеза выделяет на наблюдаемый исход. Если мы обязаны делать предсказания заранее, становится легче заметить, когда кто-то пытается выдать любой возможный исход за своё опережающее предсказание, тратит слишком много вероятностной массы, намеренно напускает туману, чтобы избежать опровержения, и так далее.

Ни один нумеролог не способен предсказать выигрышные номера лотереи на следующую неделю, но зато он с радостью объяснит мистическое значение выигрышных номеров на прошлой. Допустим, в лотерее на прошлой неделе выигрышным «Мегашаром» стала семёрка из 52 возможных вариантов. Очевидно, это произошло потому, что семь — счастливое число. Значит ли это, что на следующей неделе «Мегашаром» тоже выпадет семёрка? Разумеется, мы понимаем, что это не гарантировано, но раз уж это счастливое число, вам следует приписать ему вероятность выше 1/52... а потом мы будем оценивать ваши догадки на протяжении нескольких лет, и если ваш результат окажется слишком низким, мы вас высечем... что вы говорите? Вы хотите присвоить вероятность ровно 1/52? Но это же точно такая же вероятность, как и для любого другого числа; куда же делась удачливость семёрки? Нет, извините, нельзя приписать вероятность 90% семёрке и одновременно 90% — одиннадцати. Мы понимаем, что они оба счастливые. Да, мы понимаем, что они очень счастливые. Но так это не работает.

Даже если слушатель не знаком с путем Байеса и не требует формальных вероятностей, он, скорее всего, заподозрит неладное, если вы попытаетесь подстраховаться со всех сторон. Предположим, вас просят предсказать выигрышный «Мегашар» на следующую неделю, и вы с помощью нумерологии объясняете, почему шар номер один отлично укладывается в вашу теорию, почему шар номер два отлично укладывается в вашу теорию, почему шар номер три отлично укладывается в вашу теорию... даже у самого доверчивого слушателя могут возникнуть вопросы к тому моменту, когда вы доберётесь до двенадцати. Может, вы тогда скажете, какие числа несчастливые и точно не выиграют в лотерею? Что ж, тринадцать — число несчастливое, но это не то чтобы абсолютно невозможно (вы перестраховываетесь, заранее предвидя, какая отговорка может вам понадобиться).

Но если попросить вас объяснить номера лотереи за прошлую неделю — о, тут семёрка была практически неизбежна. Эта семёрка определённо должна считаться колоссальным успехом для модели лотереи, основанной на «счастливых числах». И тринадцати там никак не могло оказаться; теория удачи это напрочь исключает.

Представьте, что однажды утром вы просыпаетесь и обнаруживаете, что вместо вашей левой руки появилось синее щупальце. Синее щупальце подчиняется вашим двигательным командам — вы можете брать им стаканы, вести машину и так далее. Как бы вы объяснили этот гипотетический сценарий? Прежде чем читать дальше, уделите минуту размышлениям над этой загадкой.

(Отступ для защиты от спойлеров...)

Как бы я объяснил тот факт, что вместо моей левой руки появилось синее щупальце? Ответ прост: никак. Этого не случится.

Было бы достаточно легко сочинить вербальное объяснение, которое «подошло» бы под этот гипотетический сценарий. Существует множество объяснений, способных «подойти» к чему угодно, включая (как частный случай «чего угодно») появление синего щупальца вместо руки. Божественное вмешательство — отличный универсальный вариант. Или инопланетяне с произвольными мотивами и возможностями. Или я мог сойти с ума, галлюцинировать, грезить на больничной койке, пока проходит моя жизнь. Подобные объяснения «подходят» под любые исходы одинаково хорошо — и одинаково плохо, что приравнивает их к гипотезам полного неведения.

Проверка того, «объясняет» ли модель реальности превращение моей руки в синее щупальце, заключается в том, концентрирует ли она значительную долю вероятностной массы на этом конкретном исходе. Почему именно этот сон в больнице? Зачем инопланетянам делать со мной именно это, а не любой другой миллиард вещей, которые они могли бы сделать? Почему моя рука превратилась в щупальце именно в это утро, после того как оставалась рукой во все остальные утра моей жизни? И во всех случаях я должен искать аргумент, достаточно убедительный, чтобы сделать это конкретное предсказание заранее, а не довольствоваться простой совместимостью. Как только я узнаю исход, мне станет гораздо труднее перебирать гипотезы в поисках хорошего объяснения. Какую бы гипотезу я ни пробовал, мне будет крайне сложно не выделить на вчерашний исход с синим щупальцем больше вероятностной массы, чем если бы я экстраполировал вслепую, пытаясь найти наиболее вероятное предсказание модели на завтра.

Модель не всегда предсказывает все особенности данных. У природы нет предрасположенности подбрасывать мне исключительно разрешимые задачи. Возможно, со мной забавляется божество, чей разум вычислительно непостижим. Если я подбрасываю симметричную монету, результат невозможно объяснить подробнее — не существует модели, которая дала бы лучшее предсказание, чем гипотеза максимальной энтропии. Но если я выберу наугад модель без внутренних деталей или модель, которая не делает никаких дальнейших предсказаний, у меня не только не будет причин верить в эту догадку, мне вообще не будет до неё никакого дела. Прошлой ночью мою руку заменило синее щупальце. Почему? Инопланетяне! И что же они сделают завтра? Точно так же, если я припишу синее щупальце галлюцинации, пока моя жизнь проходит в коме, я всё равно не узнаю ничего нового о том, что мне привидится завтра. Так какая мне разница, инопланетяне это были или галлюцинация?

Что же тогда могло бы стать хорошим объяснением, если бы я однажды проснулся утром и обнаружил, что моя рука превратилась в синее щупальце? Чтобы претендовать на «хорошее объяснение» этого гипотетического опыта, потребовался бы такой аргумент, размышляя над которым сейчас, до того, как моя рука превратилась в синее щупальце, я ложился бы спать в тревоге, что моя рука действительно превратится в щупальце.

Люди играют в игры с правдоподобием, объясняя события, с которыми они никогда не рассчитывают столкнуться в реальности, однако это неизбежно нарушает законы теории вероятностей. Многие ли из тех, кто считает, будто может «объяснить» гипотетическое пробуждение со щупальцем вместо руки, ложились бы спать с мыслью: а вдруг это действительно случится со мной? Будь у них мужество следовать своим убеждениям, они бы сказали: «Я не ожидаю когда-либо столкнуться с этим гипотетическим опытом, поэтому я не могу его объяснить, и у меня нет причин пытаться. Подобные вещи случаются только в веб-комиксах, и мне незачем готовить объяснения, ведь в реальной жизни у меня никогда не будет шанса ими воспользоваться. Если я когда-нибудь окажусь в этой невозможной ситуации, пусть я не упущу ни единой йоты моего драгоценного недоумения».

Для байесовца вероятности — это ожидания, а не просто убеждения, о которых нужно трубить на каждом углу. Если моя модель распределяет вероятностную массу на то, что я проснусь с синим щупальцем, то я буду нервничать из-за возможности проснуться с синим щупальцем. Что если модель фантастична — например, ведьма наложила заклинание, переносящее меня в случайно выбранный веб-комикс? Тогда априорная вероятность колдовства из веб-комиксов настолько мала, что моё понимание реального мира не приписывает этой гипотезе сколько-нибудь значимого веса. Гипотеза о колдовстве, если принять её как данность, могла бы приписать вполне заметное правдоподобие тому, что я проснусь с синим щупальцем. Но моё ожидание этой гипотезы настолько мало, что я не ожидаю ни одного из её предсказаний. То, что я вообще могу помыслить гипотезу о колдовстве, никоим образом не должно уменьшить моё полное недоумение, если я действительно проснусь со щупальцем, поскольку вероятность, которую я приписываю гипотезе о колдовстве в реальном мире, фактически равна нулю. Моя гипотеза с нулевой вероятностью не помогла бы мне объяснить пробуждение со щупальцем, потому что этот аргумент недостаточно хорош, чтобы заставить меня ожидать пробуждения со щупальцем.

В законах теории вероятностей распределения правдоподобия — это фиксированные свойства гипотезы. В искусстве рациональности объяснять — значит ожидать. Ожидать — значит объяснять. Представьте, что я медицинский исследователь, и в обычном ходе своей научной работы я замечаю, что моя новая остроумная теория анатомии, похоже, допускает небольшую и смутную вероятность того, что моя рука превратится в синее щупальце. «Ха-ха! — говорю я, — как забавно и глупо!» — и чувствую легчайший укол беспокойства. Вот это было бы хорошим объяснением пробуждения со щупальцем, если бы такое вообще произошло.

Если цепочка рассуждений не заставляет меня заранее нервничать из-за перспективы проснуться со щупальцем, то такое рассуждение было бы плохим объяснением, если бы это событие действительно произошло, поскольку сочетание априорной вероятности и правдоподобия было слишком мало, чтобы заставить меня выделить хоть какую-то значимую долю вероятностной массы в реальном мире на этот исход.

Если вы начнёте с хорошо откалиброванных априорных вероятностей и примените байесовские рассуждения, вы придёте к столь же хорошо откалиброванным выводам. Представьте, что два миллиона существ, рассеянных по разным планетам вселенной, имеют шанс столкнуться с чем-то столь же странным, как пробуждение со щупальцем (или — о ужас! — с десятью пальцами). Один миллион этих существ оценивают как «один на тысячу» априорную вероятность некоторой гипотезы X, и каждая гипотеза X даёт «один на сотню» для правдоподобия пробуждения со щупальцем. А другой миллион этих существ оценивают как «один на сотню» априорную вероятность некоторой гипотезы Y, и каждая гипотеза Y даёт «один на десять» для правдоподобия пробуждения со щупальцем. Если мы предположим, что все существа хорошо откалиброваны, то, взглянув на вселенную, мы обнаружим десять существ, которые в итоге получили щупальце из-за гипотез класса правдоподобия X, и тысячу существ, которые получили щупальца из-за гипотез класса правдоподобия Y. Так что если вы обнаружили у себя щупальце и если ваши вероятности хорошо откалиброваны, то появление щупальца, скорее всего, вытекает из гипотезы, которую вы сочли бы вероятной, а не из гипотезы, которую вы сочли бы невероятной. (А что, если ваши вероятности откалиброваны плохо, так что когда вы говорите «один на миллион», событие происходит в одном случае из двадцати? Тогда вы чрезвычайно самоуверенны, и мы скорректируем ваши вероятности в сторону меньшей различительной способности и большей энтропии.)

Гипотеза о переносе в веб-комикс, даже если она «объясняет» сценарий пробуждения со щупальцем, является плохим объяснением из-за её низкой априорной вероятности. Гипотеза о веб-комиксе никак не помогает объяснить появление щупальца, потому что она не заставляет вас ожидать пробуждения со щупальцем.

Если начать с квадриллиона разумных существ, рассеянных по вселенной, то весьма многие существа столкнутся с событиями, которые очень вероятны; лишь какой-то жалкий миллион существ переживут за свою жизнь события с вероятностью один на миллиард (как мы и ожидали бы, обозревая всё бесконечным взором и обладая идеальной калибровкой); и ни одно существо не столкнётся с невозможным.

Если вы каким-то образом действительно проснулись со щупальцем, то, скорее всего, из-за чего-то гораздо более вероятного, чем «перенос в веб-комикс» — из-за какой-то совершенно нормальной причины проснуться со щупальцем, которую вы просто не предвидели. Что это за причина? Я не знаю. Никакой. Я не ожидаю, что проснусь со щупальцем, поэтому не могу дать этому никакого хорошего объяснения. Зачем мне утруждать себя придумыванием оправданий, которыми я не рассчитываю воспользоваться? Если бы я беспокоился, что когда-нибудь мне понадобится остроумное оправдание для пробуждения со щупальцем, то причина моего беспокойства по поводу этой возможности и была бы моим объяснением.

Реальность распределяет опыт, используя вероятность, а не правдоподобность. Если вы обнаружите, что ваш ноутбук не подчиняется закону сохранения импульса, значит, реальность считает, что поступить так с вами — совершенно нормально. Как нарушение закона сохранения импульса вообще может быть совершенно нормальным? Я ожидаю, что у этого вопроса нет ответа, и отвечать на него никогда не понадобится. Аналогично, люди не просыпаются со щупальцами, так что, судя по всему, это не совершенно нормально.

Существует потрясающая истина, столь удивительная и ужасающая, что люди изо всех сил сопротивляются её следствиям. И всё же есть немногие одиночки, у которых хватает мужества принять это сатори. Вот вам мудрость, если хотите быть мудрыми:

С самого начала

Ни одного необычного события

Так и не произошло.

Увы тем, кто отворачивается от зебр и грезит о драконах! Если мы не научимся радоваться просто реальному, наша жизнь и впрямь окажется пустой.

*

1. Эдвин Т. Джейнс, Probability Theory: The Logic of Science, под ред. Джорджа Ларри Бретхорста (New York: Cambridge University Press, 2003), doi:10.2277/0521592712.

2. Фейнман, Лейтон и Сэндс, Фейнмановские лекции по физике.

3. Читатели, знакомые с математическим анализом, могут убедиться, что в более простом случае лампочки, имеющей всего два цвета, где p — ставка на первый цвет, а f — частота первого цвета, ожидаемый выигрыш f × (1 - (1 - p)²) + (1 - f) × (1 - p²) при переменной p и постоянной f достигает своего глобального максимума, когда мы полагаем p = f.

4. Не помните, как читается P(A|B)? См. статью «Интуитивное объяснение байесовского рассуждения».

5. Дж. Фрэнк Йейтс и др., «Оценка вероятностей в разных культурах», в сборнике под ред. Гиловича, Гриффина и Канемана Heuristics and Biases, 271–291.

6. Карл Р. Поппер, The Logic of Scientific Discovery (New York: Basic Books, 1959).

7. Джейнс, Probability Theory.

8. Imagination Engines, Inc., «The Imagination Engine™; or Imagitron™», 2011, http://www.imagination-engines.com/ie.htm.

9. Фридрих Шпее, Cautio Criminalis; or, A Book on Witch Trials, под ред. и в пер. Маркуса Хеллайера, Studies in Early Modern German History (1631; Charlottesville: University of Virginia Press, 2003).

10. цитируется по: Дейв Робинсон и Джуди Гроувз, Philosophy for Beginners, 1st ed. (Cambridge: Icon Books, 1998).

11. Фонд TalkOrigins, «Часто задаваемые вопросы о креационизме и эволюции», http://www.talkorigins.org/origins/faqs-qa.html.

12. Дэниел К. Деннет, Darwin’s Dangerous Idea: Evolution and the Meanings of Life (Simon & Schuster, 1995).

13. цитируется по: Лайл Запато, «Цитаты лорда Кельвина», 2008, http://zapatopi.net/kelvin/quotes/.

14. Чарльз Дарвин, On the Origin of Species by Means of Natural Selection; or, The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life, 1st ed. (London: John Murray, 1859), http://darwin-online.org.uk/content/frameset?viewtype=text&itemID=F373&pageseq=1; Чарльз Дарвин, The Descent of Man, and Selection in Relation to Sex, 2nd ed. (London: John Murray, 1874), http://darwin-online.org.uk/content/frameset?itemID=F944&viewtype=text&pageseq=1.

15. Уильямс, Adaptation and Natural Selection.

16. Карл Саган, The Demon-Haunted World: Science as a Candle in the Dark, 1st ed. (New York: Random House, 1995).

17. Кевин Браун, Reflections On Relativity (Raleigh, NC: printed by author, 2011), 405–414, http://www.mathpages.com/rr/rrtoc.htm.

18. Там же, 405–414.

19. Стивен Торнтон, «Карл Поппер», в The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Winter 2002, под ред. Эдварда Н. Залты (Stanford University), http://plato.stanford.edu/archives/win2002/entries/popper/.

20. Джон Баэс, «Индекс фричества», 1998, http://math.ucr.edu/home/baez/crackpot.html.