9.1. Ярче к краю

В верхних слоях Солнца и других звезд температура сначала достигает минимума у верхней границы фотосферы, а затем начинает возрастать с высотой до значений порядка 10⁶ К в солнечной короне. Поэтому на снимках в белом свете, излучаемом фотосферой, мы видим потемнение к краю солнечного диска. А на снимках в коротковолновом излучении, характерном для верхних слоев солнечной атмосферы, видим увеличение яркости к краю.

Рис. 75, 76. Эффекты потемнения и поярчания к краю солнечного диска при фотографировании в разных диапазонах спектра

Дело в том, что чем ближе наблюдаемая область к краю диска, тем выше слои, излучение которых мы видим. При переходе к краю диска увеличивается число атомов между наблюдателем и данным уровнем атмосферы. А для непрозрачности требуется определенное число атомов на луче зрения. Поэтому на краю диска наш взгляд проникает на меньшую глубину, чем в центре. Белый свет исходит из тех слоев фотосферы, где температура падает с высотой, поэтому виден эффект потемнения к краю. Ультрафиолет и мягкий рентген исходят из хромосферы и нижней короны, где температура растет с высотой, поэтому виден эффект поярчания к краю.

Кстати, край изображения планеты или звезды астрономы называют лимбом. Поэтому лучше говорить: потемнение/поярчание к лимбу.

9.2. Разноцветные зонды

Вблизи Венеры поток солнечного света в четыре с половиной раза сильнее, чем вблизи Марса. Поэтому зонд здесь легко перегревается, а белый цвет корпуса помогает отражать избыточное солнечное тепло. С другой стороны, вблизи Марса зонд может замерзнуть, если его поверхность не будет поглощать весь падающий на нее солнечный свет, поэтому ее красят в черный цвет.

Выходит, чем дальше от Солнца отправляется зонд, тем темнее должен быть его корпус? Нет! Ведь абсолютно черная поверхность не только хорошо поглощает свет, но и хорошо излучает тепло. Теперь подумайте: если зонд отправляется к планетам-гигантам, то в какой цвет его нужно красить? Там главным источником тепла служат уже не солнечные лучи, а ядерный генератор самого зонда. Поэтому, покрасив корпус в черный цвет, мы лишь усилим потерю тепла, а этого делать нельзя.

9.3. Внутренняя жизнь звезды

Массивные звезды почти полностью конвективны, поэтому перенос энергии под фотосферой в основном осуществляется конвекцией и только в малой степени излучением. Условие эддингтоновской светимости под фотосферой не достигается. И только вблизи поверхности звезды, где плотность газа быстро убывает и конвекция становится неэффективной, перенос энергии становится радиативным. При этом давление излучения резко возрастает, достигая эддингтоновского предела.

9.4. Солнце сжимается?

Не используя интегральное исчисление, можно лишь приблизительно оценить энергию, которая выделяется при гравитационном сжатии газового шара звезды. Пусть M и R – масса и радиус шара. У поверхности шара сила притяжения, действующая на массу m, составляет GMm/R². Поскольку эта сила быстро убывает с расстоянием, будем считать ее постоянной до расстояния R от поверхности шара, а далее – нулевой. Тогда работа этой силы по перемещению массы m издалека к поверхности шара составит E(m) = R · GMm/R² = GMm/R. Поскольку перемещается вещество самого шара, в качестве m возьмем его полную массу M. Тогда работа гравитации по сжатию шара составит GM²/R. Поскольку при сжатии газовый шар нагревается, часть этой работа пойдет на нагрев, а другая часть уйдет в форме излучения. В случае идеального газа эти две части равны друг другу. Следовательно, в виде излучения будет потеряна энергия E = GM²/2R. Если мощность излучения звезды составляет L, то длительность свечения будет t = E/L = GM²/2RL. Для Солнца (M = 2 ∙ 10³⁰ кг, R = 7 ∙ 10⁸ м и L = 4 ∙ 10²⁶ Вт) это время составит около 15 млн лет.

9.5. Солнце погасло?

Если в нашем распоряжении имеется детектор нейтрино, то через 8 минут 20 секунд (плюс время срабатывания самого детектора) он отметит прекращение термоядерных реакций в центре Солнца. Но если нейтринного детектора нет, то по изменению оптической светимости Солнца этого долго не удастся заметить (см. задачу и решение 9.4).

9.6. Вселенная как термоядерный реактор

В недрах звезд нет свободных нейтронов, поскольку время их жизни в свободном состоянии около 10 минут. Поэтому при синтезе гелия в звездах необходима реакция превращения протона в нейтрон, самая медленная в цепи термоядерных реакций. А в ранней Вселенной в первые минуты после ее рождения нейтронов было почти столько же, сколько и протонов, благодаря чему их объединение в дейтерий и далее в гелий шло очень быстро. Через 5 минут из-за расширения Вселенной температура и плотность вещества снизились и реакция синтеза гелия из водорода прекратилась. А еще через несколько минут распались оставшиеся свободными нейтроны. Состав вещества надолго (до появления первых звезд) «заморозился»: по массе это примерно 75% водорода, 25% гелия–4 и совсем чуть-чуть дейтерия, гелия–3 и лития.

Рис. 77. Изменение химического состава Вселенной в ходе первичного нуклеосинтеза. Главным компонентом всегда остается водород (протоны), а содержание прочих указано по отношению к нему

9.7. Солнце худеет

Удельный поток массы солнечного ветра равен

m_pnv = 1,67 · 10^–27 кг × 10⁷ м^–3 × 4,5 · 10⁵ м/с = 7,5 · 10^–15 кг м^–2 с^–1.

Для солнечного света эквивалентный удельный поток массы составляет

I/c² = 1400 Вт м^–2/(3 · 10⁸ м/с)² = 1,6 · 10^–14 кг м^–2 с^–1.

То есть в форме излучения через площадку в 1 м² Солнце теряет вдвое больше массы, чем в форме корпускулярного потока.

Считаем солнечный ветер сферически-симметричным с такими же параметрами, как у орбиты Земли (хотя это не совсем так). Тогда, сложив оба потока (2,4 ∙ 10^–14 кг м^–2 с^–1) и умножив на площадь сферы радиусом 1 а.е. [4π(150 млн км)² = 2,8 ∙ 10²³ м²], получим полный темп потери массы Солнцем: 6,8 ∙ 10⁹ кг/с, или 2 ∙ 10¹⁷ кг/год. Учитывая полную массу Солнца (2 ∙ 10³⁰ кг), видим, что относительная потеря массы в нашу эпоху составляет 10^–13/год.

9.8. Карманная Вселенная

Современный возраст Вселенной около 14 млрд лет. Следовательно, современный радиус наблюдаемой Вселенной около 14 млрд св. лет = 1,3 ∙ 10²⁸ см = 1,3⋅10²⁶ м. Современная средняя плотность Вселенной около 10^–29 г/см³ = 10^–26 кг/м³. Современная масса наблюдаемой Вселенной: М = 10^–26 кг/м³ × (4π/3) (1,3 ∙ 10²⁶ м)³ = 9,2 ∙ 10⁵² кг. Ядерная плотность (протон = ядро водорода): ρ = 1,7 ∙ 10^–27 кг/(1 фм = 10^–15 м)³ = 1,7 ∙ 10¹⁸ кг/м³. Радиус наблюдаемой Вселенной при ядерной плотности: R = (3M/4πρ)^1/3 = (3 × 9,2 ∙ 10⁵² кг / 4π 1,7 ∙ 10¹⁸ кг/м³)^1/3 = 2,4 ∙ 10¹¹ м = 1,6 а.е. Таким образом, размер современной наблюдаемой Вселенной в ту эпоху, которую еще может описать современная физика, был чуть больше земной орбиты.

При этом следует иметь в виду, что в эпоху ядерной плотности, когда возраст Вселенной был порядка 1 секунды, ее наблюдаемый размер составлял около 300 000 км (то есть около 1 световой секунды) – это намного меньше современного. Таким образом, в ту эпоху в пределах современной наблюдаемой Вселенной было много причинно не связанных областей. Однако сегодня их средняя плотность приблизительно одинаковая. Объяснить этот факт без предположения о ранней эпохе инфляции весьма затруднительно.

9.9. К звездам!

Кванты света обладают импульсом E/c, а отражаясь от зеркального паруса, передают ему импульс 2E/c. Полный импульс, переданный за секунду, составит 2W/c. Следовательно, ускорение зонда

a = 2W/mc.

Подставим значения: W = 100 ГВт = 10¹¹ Вт, m = 0,01 кг, с = 3 · 10⁸ м/с.

a = 2/3 · 10⁵ м/с² ≈ 10⁴ g.

Современный микрочип выдерживает ускорение до 10⁵ g. Поэтому если парус не испарится, то зонд выдержит такое ускорение. Длительность разгона составит

t = 0,2 ⋅ 300 000 км/с / (2/3 · 10⁵ м/с²) = 900 с = 15 мин.

9.10. Куда делась энергия?

Ответ вы найдете сами, если проведете такой мысленный эксперимент. Два корабля удаляются друг от друга, один из них стреляет и попадает ядром в другой. Ядро ударяет со скоростью меньше, чем скорость вылета из пушки (аналог эффекта Доплера). Куда делась часть энергии и импульса ядра?

Легко понять, что энергия сохранилась у ядра, поскольку оно продолжает двигаться относительно пушки, застряв в борту корабля-цели.

9.11. Мал золотник, да дорог!

Сначала выясним, каков главный источник света, попадающего в ночной телескоп. Поверхностная яркость ночного неба (в пространстве между яркими звездами) в зените вдали от городов составляет 13,5–14,0 звездной величины с квадратной угловой минуты. Обсерватории сооружают в самых темных местах, поэтому примем яркость неба равной 14,0 зв. вел. /кв. угл. мин (14^m/☐’).

Чтобы убедиться, что индивидуальные звезды добавляют к этому не очень много света, рассчитаем полную освещенность от всего небосвода. Полная площадь сферы составляет 41 253 кв. градуса = 1,4851 × 10⁸ ☐’. Сравнивая освещенность, создаваемую излучением всей небесной сферы, с освещенностью от 1 ☐’ неба, получим, что полный поток света от небесной сферы без ярких звезд эквивалентен 14,0^m – 2,5 lg(1,485 × 10⁸) = –6,4^m. Звезды добавляют приблизительно столько же. Поэтому можно принять типичную эквивалентную яркость наблюдаемого телескопом ночного неба равной 13^m/☐’.

Диаметр поля зрения крупных современных телескопов около 10 угловых минут, площадь порядка 100 ☐’. Следовательно, они собирают на своих детекторах энергию, эквивалентную свету звезды, примерно 8^m. Вычислим ее. Звезда нулевой видимой величины создает освещенность в 2,5 × 10^–6 люкс. Световой поток от такой звезды примерно равен 10³ квантов/(см² · с · Å) в зеленом свете (полоса V системы UBV) или 10⁶ квантов/(см² · с) во всем видимом диапазоне света.

Энергия видимого кванта составляет около 2 эВ, или 3 × 10^–19 Дж. Значит, от звезды нулевой видимой величины приходит 3 × 10^–13 Дж/(см² · с), а от звезды 8^m в 2,512⁸ = 1,6 × 10³ раз меньше, то есть 2 × 10^–16 Дж/(см² · с). По суммарной площади объективов профессиональные телескопы в 2025 г. эквивалентны одному объективу диаметром около 50 м, то есть их площадь около 2000 м² = 2 × 10⁷ см².

Следовательно, все телескопы вместе в хорошую ночь получают поток 2 × 10^–16 ∙ 2 × 10⁷ = 4 × 10^–9 Дж/с и накапливают за 12 ночных часов примерно 4 × 10^–9 ∙ 43 200 ≈ 0,2 мДж энергии. Подобные крупные телескопы работают последние 25–30 лет. Они установлены в очень хороших местах земного шара, где много ясной погоды. Если они наблюдают каждую ночь, то за время своей работы накопили примерно 0,2 мДж ∙ 30 ∙ 365 ≈ 2 Дж = 2 Н ∙ м = 0,2 кг ∙ м. Это все равно что поднять кирпич на высоту 10 см.

Итак, в виде света с ночного неба астрономы-оптики собрали значительно больше энергии, чем радиоастрономы. Поэтому и данных о Вселенной они получили значительно больше, чем радиоастрономы.

9.12. Летят нейтрино

День весеннего равноденствия – 21 марта. Солнце в нижней кульминации в этот день пересекает небесный экватор. Следовательно, в полночь нейтрино летят на юг в направлении точки осеннего равноденствия. Ее географический азимут равен 180°. А для Москвы (широта 55,8°) высота над горизонтом равна 90° – 55,8° = 34,2°.

9.13. Телескоп в «Собаке Баскервилей»

Хорошо видно, что объектив этого телескопа имеет зеркально-линзовую оптическую схему. Такие были изобретены и запатентованы еще в XIX в., но тогда не производились. Работоспособные зеркально-линзовые, или катадиоптрические, системы появились лишь в ХХ в.: это система Шмидта (1930) и система Максутова (1941). На фото мы видим телескоп Максутова – Кассегрена, у которого вторичное зеркало создано путем алюминирования центральной части мениска. По-видимому, это фотообъектив МТО–1000 советского производства. Детективная повесть английского писателя Артура Конан Дойла «Собака Баскервилей» впервые публиковалась с августа 1901 по апрель 1902 г. Судя по описанию реалий, ее действие происходит в конце XIX в. В ту пору подобных зрительных труб не существовало.

9.14. Следы на Луне

Если по интерферометрической картине удастся полностью восстановить изображение, то его разрешение будет таким же, как у объектива соответствующего диаметра (D = 80 м). В оптическом диапазоне угловое разрешение интерферометра «Кек» составляет около 10˝/D (см), то есть около 0,001˝. При расстоянии до Луны около 400 000 км это даст линейное разрешение на поверхности около 400 000 000 м × 0,001˝/206 265 = 2 м. При таком разрешении с большим трудом можно заметить тень от посадочной ступени лунного модуля «Аполлона», но уж точно нельзя увидеть следы человека. Впрочем, в тексте есть намек: сотрудники обсерватории говорили это в шутку. Очевидно, они верно оценивали возможности своего прибора.

Добавим, что интерферометр, имеющий в своем составе два неподвижных телескопа, дает высокое угловое разрешение только вдоль оси, которая их соединяет. А в перпендикулярном направлении разрешение будет определяться диаметром объектива телескопа. Поэтому след увидеть не удалось бы даже при достаточном разрешении интерферометра.

9.15. Солнце Китая

Площадь круга диаметром D составляет S = (π/4)D², откуда D = (4S/π)^1/2. При площади круга 30 000 км² его диаметр составит 195 км. На геостационарной орбите, с расстояния 36 000 км, он будет виден под углом 195/36 000 = 0,0054 рад = 18,6 мин дуги.

Если зеркало идеальное и плоское, то в нем отразится поверхность Солнца с его нормальной поверхностной яркостью. Но при этом для наблюдения будет доступен не весь солнечный диск, поскольку его различимый с Земли диаметр составит около 32 минут дуги. Пропорционально видимой площади уменьшится и поток света: в (18,6/32)² = 0,34 раза. Таким образом, плоское зеркало даст освещенность лишь в треть солнечной. Малые поправки могут быть внесены, если учесть географическую широту места наблюдения, положение Солнца на эклиптике и положение зеркала на орбите, но они незначительны.

Казалось бы, освещенность, равную солнечной или даже превышающую ее, можно создать, если придать зеркалу не плоскую, а вогнутую форму, то есть сфокусировать отраженный свет на небольшом участке земной поверхности. Но и это не получится сделать, так как размер изображения Солнца на поверхности Земли при фокусном расстоянии 36 000 км будет примерно 330 км – больше, чем размер собирающей свет поверхности зеркала диаметром 195 км. Значит, освещенность в изображении будет меньше исходной.

9.16. Рефлектор или рефрактор?

Телескоп-рефрактор с диаметром объектива более метра практически невозможно изготовить. Во-первых, трудно отлить столь крупный диск оптически идеального стекла. Во-вторых, чем больше диаметр линзы, тем она толще и тем больше в ней поглощение света. В-третьих, каждое прохождение света через оптическую поверхность линзы приводит к потере 4–6% энергии. А у объектива рефрактора четыре такие поверхности (двухлинзовый ахромат). К тому же тяжелая линза деформируется собственным весом и созданное ею изображение портится. Телескоп-рефлектор лишен всех этих недостатков, поэтому он может быть значительно крупнее и иметь больший диаметр объектива. Для астрономов это очень важно, поскольку позволяет собрать больше света. С начала ХХ в. продолжение роста диаметра телескопов стало возможным только благодаря использованию зеркальной оптики.

9.17. Вакуум в трубе

Вакуумные трубы используют только в солнечных телескопах. Солнечное излучение сильно нагревает трубу телескопа, отчего в ней возникают мощные турбулентные потоки воздуха, портящие изображение Солнца. Телескоп с вакуумной трубой лишен этого недостатка. Крупнейшие такие телескопы работают в Китае, России и США.

9.18. Телескоп в космосе

Атмосфера Земли портит оптические изображения, получаемые наземными телескопами, и полностью поглощает многие виды электромагнитных лучей (рентгеновские, ультрафиолетовые, инфракрасные). В космосе все эти помехи отсутствуют. К тому же в космосе яркость фона неба в оптическом диапазоне примерно на 50% ниже, чем с поверхности Земли. И в космосе всегда ясная погода.

9.19. Все выше и выше!

Для этого есть несколько причин: 1) чтобы уменьшить влияние атмосферы, которая поглощает свет, увеличивает яркость фона и искажает изображения, полученные телескопом; 2) чтобы удалиться от густонаселенных мест, где ночное освещение делает звездное небо недостаточно темным.

9.20. Черная дыра падает к центру Земли

Сначала оценим массу черной дыры. Большой адронный коллайдер (БАК) способен сталкивать протоны с суммарной энергией 13 ТэВ в системе центра масс налетающих частиц. В более привычных единицах это энергия 13 ТэВ = 2,1 ∙ 10^–6 Дж. Если вся она идет на создание черной дыры, то ее масса (E = mc²) составит 2,1 ∙ 10^–6 Дж / (3 ∙ 10⁸ м/с)² = 2,3 ∙ 10^–23 кг. Радиус ее горизонта событий составит

R = 2GM/c² = 2 × 6,67 × 10^–11 м³/с² кг × 2,3 × 10^–23 кг / (3 × 10⁸ м/с)² = 3 ∙ 10^–50 м.

Должен напомнить, что современная физика не работает на масштабах менее 10^–35 м (планковская длина). Но все же представим, что миниатюрная черная дыра родилась, обладая лишь массой, но не имея электрического заряда (куда делся заряд двух протонов, мы не знаем).

1. Оценим время падения черной дыры к центру Земли. По причине малого размера дыры это будет свободное падение с пролетом через центр планеты до диаметрально противоположной точки. Затем обратно, и так очень долго, пока черная дыра еще будет существовать. Если на столь малых масштабах излучение Хокинга действует, то дыра должна испариться в момент рождения. Но предположим, что оно не действует и дыра долгоживущая.

Пусть М – масса Земли и R – радиус Земли. Представим, что вдоль траектории дыры прорыта шахта, то есть сопротивления движению нет. Определим продолжительность полета дыры через шахту. Поскольку распределение плотности вещества внутри Земли имеет довольно сложный вид, мы рассмотрим два крайних случая:

Рис. 78. К расчету полета черной дыры

А. Пусть Земля – однородный шар. Согласно теореме Ньютона о гравитации внутри сферически симметричного тела, на расстоянии r от центра Земли дыра испытывает притяжение только от внутренней части планеты (рис. 78б) радиусом r и массой M(r) = M (r/R)³. Следовательно, она движется с ускорением а = – GM(r)/r² = – GMr/R³ (знак минус говорит здесь о том, что направления векторов r и a противоположны). Как видим, это уравнение простых гармонических колебаний, возникающих в том случае, когда возвращающая сила пропорциональна отклонению тела от точки равновесия (рис. 78а). В нашем случае эта точка – центр Земли.

Решить это уравнение можно по аналогии с уравнением малых колебаний маятника: а = – gr/L, где g – ускорение свободного падения, L – длина маятника, r – его отклонение. Как известно, период колебаний маятника составляет

Значит, период колебаний дыры в шахте (независимо от их амплитуды) составит

А пролет от поверхности до центра произойдет в четыре раза быстрее, то есть примерно за 26 минут.

Однако известно, что к центру Земли плотность увеличивается, поэтому рассмотрим другой крайний случай.

Б. Пусть вся масса Земли сосредоточена в ее центре. Тогда ускорение тела a = GM/r². Такое же уравнение движения имеют тела Солнечной системы (см. задачу и решение 4.7). Движение нашего тела по радиальной орбите можно представить как движение по вырожденному эллипсу с эксцентриситетом, практически равным единице (рис. 78в). Тогда большая полуось этого эллипса равна R/2, а орбитальный период

Очевидно, что истинное значение времени полета от поверхности до центра лежит в интервале от 18 до 26 минут. Значит, черная дыра достигнет центра Земли отнюдь не мгновенно.

Что же касается вопроса 2 для любителей астрофизики, то дыра либо мгновенно испарится из-за механизма Хокинга, либо (если он не работает) будет постепенно увеличивать свою массу в результате аккреции, но ей понадобится практически бесконечное время, чтобы «потолстеть» до 1 г. Скорость аккреции ограничивает предел Эддингтона.