Во фрактальном мире повторение, встроенное в процесс построения фракталов, производит эффект одинаковой «изрезанности», или «сморщенности» фрактальных фрагментов и фрактала в целом.
Мандельброт задался вопросом: как определить меру изломанности фрактальной структуры?
В мире евклидовой геометрии у любого предмета есть измерения. У точки число измерений — ноль, у прямой — одно, у плоских фигур вроде треугольников и пятиугольников — два, у объемных тел — три. А фрактальные кривые вроде молнии так агрессивно изгибаются, что попадают куда-то между одним и двумя измерениями. Если след молнии относительно гладкий, можно представить себе, что число фрактальных измерений близко к единице, если же он очень извилистый, следует ожидать числа измерений, близкого к двум.
Все эти размышления вылились в вопрос, сделавшийся в наши дни знаменитым:
«Какова длина побережья Британии ?»
Мандельброт дал на это неожиданный ответ:
«Длина береговой линии, оказывается, зависит от длины линейки, которую возьмет измеряющий».
Представьте себе, что вы начинаете со спутниковой карты Британии со стороной в один фут. Измеряете длину побережья, умножаете на нужный коэффициент, исходя из заданного масштаба карты. При таком методе, разумеется, пропадут всякие мелкие извивы береговой линии, которых на карте не видно. Теперь представьте себе, что вы вооружаетесь палкой метровой длины и начинаете долгое путешествие вдоль берегов Британии, тщательно измеряя береговую линию метр за метром. Результат, несомненно, будет гораздо больше прежнего, поскольку вам удастся зафиксировать куда более мелкие извивы и повороты. Однако вы наверняка заметите, что на более мелких участках вы все равно упустите какие-то подробности. Дело в том, что чем меньше будет наша линейка, тем больше окажется результат измерений, потому что всегда оказывается, что при уменьшении масштаба выявляется подструктура. Из этого следует, что, если имеешь дело с фракталами, в пересмотре нуждается даже концепция длины как средства передачи расстояния. Контуры береговой линии при увеличении не становятся прямыми, изгибы присутствуют при любом масштабе, и общая ее длина возрастает бесконечно — по крайней мере, пока мы не дойдем до атомов.
Зависимость длины фрактальной кривой от масштаба измерения
Прекрасный пример такой ситуации — линия «снежинки Коха». «Снежинка Коха» — кривая, которую первым описал в 1904 году шведский математик Нильс Хельге фон Кох. Начертим равносторонний треугольник со стороной в один сантиметр. Теперь в середине каждой стороны достроим треугольники поменьше — со стороной в одну треть сантиметра. В результате на этом этапе у нас получится звезда Давида. Обратите внимание, что периметр первоначального треугольника составлял три сантиметра, а теперь он состоит из двенадцати сегментов по трети сантиметра каждый, так что общая его длина равняется уже четырем сантиметрам. Теперь будем последовательно повторять эту процедуру — на каждой стороне треугольника будем достраивать новый с длиной стороны в одну треть предыдущей. Каждый раз длина периметра будет возрастать с коэффициентом 4/3, и так до бесконечности, несмотря на то что линия ограничивает замкнутое пространство конечной площади (можно доказать, что площадь стремится к 8/5 площади первоначального треугольника).
Мандельброт сформулировал вопрос:
«Насколько быстро увеличиваются длина, площадь или объем, если измерять их на непрерывно уменьшающемся масштабе?»
Мандельброт понимал, что эта скорость равна степени извилистости фрактальной структуры. Такое интуитивное представление кажется очевидным. Продолжая поиски степени извилистости фрактальных форм, Мандельброт пришел к идее, которая далеко не очевидна. Он обнаружил, что степень извилистости описывает размерность Хаусдорфа — Безиковича.
Еще в 1919 году Феликс Хаусдорф выдвинул концепцию дробных измерений. Хотя поначалу подобная идея вызывает некоторую оторопь, оказалось, что именно дробные измерения — прекрасный инструмент, позволяющий охарактеризовать степень неправильности, или фрактальную размерность.
Интуитивно мы чувствуем, что кривая Коха занимает больше пространства, чем одномерная линия, но меньше, чем двухмерный квадрат. Но разве так бывает, чтобы у чего-то было дробное измерение? Ведь между 1 и 2 нет никаких целых чисел. Чтобы получить внятное объяснение, возьмем за основу знакомые представления о целочисленных измерениях, так называемой топологической размерности — 1, 2 и 3. Идея Хаусдорфа в интерпретации Марио Левио заключается в том, что одно и то же деление измерений на части в одномерном, двухмерном и трехмерном пространствах производит разную степень дробления одномерных, двухмерных или трехмерных объектов.
Например, если разделить одномерный отрезок пополам, то получим два сегмента (коэффициент сокращения ƒ = 1/2). Если разделить двухмерный квадрат на «подквадраты» с половинной длиной стороны (коэффициент сокращения опять же ƒ = 1/2), то получим 4 = 22 квадрата. Если же мы возьмем длину стороны в 1/3 первоначальной (ƒ = 1/3), квадратов станет 9 = З2. Если же мы поступим так же с трехмерным кубом, то деление ребра пополам (ƒ = 1/2) даст нам 8 = 23 кубиков, а ребро в 1/3 первоначального — 27 = 33 кубиков. Если изучить все эти примеры, обнаружим, что между количеством «фрагментов» n, коэффициентом сокращения длины ƒ и измерением D есть определенная взаимосвязь. И вот какая:
Если применить эту формулу к «снежинке Коха», получится фрактальное измерение, равное
Ремесленники издавна использовали этот подход на практике. Так, для измерения площади фигуры сложной формы они использовали палетку. Палетка — это прозрачная пластина, на которой нанесена сетка с квадратными ячейками, стороны которых одинаковы и равны некоторой величине δ. Если такую сетку наложить на карту Великобритании и подсчитать количество клеток, попавших в область объекта измерения, то можно оценить его площадь, которая пропорциональна количеству ячеек, попавших в его границы. Точность оценки возрастает с уменьшением шага сетки. Число ячеек, попавших в границы измеряемого объекта N, возрастает с уменьшением стороны ячейки 8. При измерении площади
При аналогичном измерении длины извилистой кривой
а при аналогичном измерении объема некоторого тела
Степень в этих отношениях указывает на топологическую размерность, не правда ли? Однако эта степень не обязана быть целым числом. Она может быть дробной.
Рассмотрим пример. Пусть подопытная частица помещена в прозрачный раствор. Мысленно представим, что в процессе движения она растворяется, оставляя след, который проецируется на плоскость. Вначале там появится ломаная траектория, размерность которой легко определить с помощью палетки. Как у всякой кривой, она будет равна 1. После продолжительного броуновского блуждания в замкнутом объеме траектория полностью «заштрихует» проекцию — не останется ни одного видимого просвета. Размерность такой заполненной траекторией области будет равна 2. Между этими пределами мы можем зафиксировать промежуточное состояние, в котором траектория броуновской частицы уже перестала напоминать линию, но еще не заполнила плоскость. В этот момент она напоминает паутину, которая постоянно уплотняется. Размерность такой паутины принимает промежуточное значение между 1 и 2.
Именно такое обобщенное понятие размерности предложил Хаусдорф. Результатом работ Хаусдорфа и Безиковича стало новое техническое определение размерности, согласно которому при уменьшении величины δ размерность измеряемого объекта равна отношению логарифма от N к логарифму от 1/δ. По существу это показатель степени q в формуле
Такое отношение запросто может быть не только целым, но и дробным, притом что топологическая размерность — всегда целое число — 1, 2, 3.
Суть рассуждений Хаусдорфа и Безиковича заключается в следующем. Пусть у нас есть пластичная универсальная палетка, которая для одномерного объекта трансформируется в отрезок, для двумерного — в квадрат, а для трехмерного — в куб. Мерой ячейки этой палетки будут: для одномерного объекта — длина δ1, для двумерного — площадь δ2, и для трехмерного — объем δ3. В обобщенном случае мерой ячейки является величина δd. Мерой объекта, покрытого такими ячейками, является, очевидно, величина N — число ячеек, соприкасающихся с измеряемым объектом. При условии, что размер ячейки 8 уменьшается, стремясь к нолю, величина
Таким образом, мера N зависит от выбранной наблюдателем размерности палетки — от величины d. Вместе с тем мы видели, что число ячеек N, соприкасающихся с измеряемым объектом, есть величина, обратно пропорциональная размеру ячейки δ в некоторой степени q:
Величина q при этом характеризует структуру измеряемого объекта и не имеет отношения к палетке наблюдателя. Оба условия совмещаются, если
To есть
Знак «~» означает «пропорционально» и может быть заменен знаком равенства при умножении комплекса δd-q на некоторую константу — const:
При δ → 0:
если d - q > 0,
величина N → 0,
а если d - q < 0,
то величина N → ∞. Только при
мера N принимает конечное значение, равное постоянной const, которое и называется размерностью Хаусдорфа — Безиковича. Это своего рода условие, при котором совпадают меры измеряемого и измеряющего объектов.
В практических расчетах для определения размерности Хаусдорфа — Безиковича используются упрощения, вполне обоснованные для большинства сложных форм. Так, на основании приведенной выше формулы
размерность d может быть представлена отношением ln(N) к ln(δ). Рассчитать размерность d можно по двум точкам (N1, δ1)и (N2, δ2):
Алгоритм определения фрактальной размерности обычно сводится к следующему. Строится график зависимости N от δ в логарифмических координатах. Точки на графике обычно ложатся на отрезок прямой, угол наклона которой и равен d (см. рисунок). Например, размерности прибрежных пограничных кривых для западного побережья Норвегии — 1,52; для Великобритании (линия 1) — 1,25; для Германии (линия 2) — 1,15; для Австралии (линия 3) — 1,13; для сравнительно гладкого побережья Южной Африки (линия 4) — 1,02 и, наконец, для идеально гладкой окружности (линия 5) — 1,0.
Размерность Хаусдорфа — Безиковича отличается от евклидовой. Она может принимать нецелые значения. Она неизменна (инвариантна) при рассмотрении объекта «вблизи или издалека». Будучи трансмасштабной, она не имеет отношения к геометрии фрагмента или фрактала в целом. Фрактальная размерность, если она отражает геометрию, то прежде всего геометрию трансформации фрагмента при переходе от одного масштаба к другому.
Обратим внимание на то, что дробная размерность не имеет ничего общего с «дырами» в пространстве. Дробность связана с тем, как сетка наблюдателя соотносится со структурой объекта наблюдения.
Как бы ни приближались друг к другу меры измерения и измеряемого, между ними всегда возможно некоторое различие. Различие проявляет себя в дробной размерности, выраженной рациональными или иррациональными числами. Появление последних говорит о несоразмерности мер измеряющего и измеряемого, но это не исключает их соизмеримости.
Ведь суть иррационального числа — соизмерять несоразмерное.
Греческие мыслители внимательно и тщательно изучали иррациональные числа. Постигая гармонию сфер и правильных фигур, греческая цивилизация сделала следующий шаг. Греки обратили внимание на такое качество окружающих их вещей и явлений, как симметрия. Греческое слово ΣYM-METPIA означает «совместно измеренное». Греки интуитивно угадывали, что такое качество, как иррациональность чисел и такое качество, как симметрия структур, оба имеют отношение к процессу «совместного измерения».